Bài tập Tích vô hướng của hai vecto có đáp án
18 câu hỏi
Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vecto AB→ và AC→. Hãy tìm số đo các góc giữa BC→ và BD→, DA→ và DB→.
Số đo góc giữa BC→ và BD→ là góc CBD bằng 300.
Xét tam giác BCD, có:
BCA^=CBD^+CDB^⇔CDB^=BCA^−CBD^=800−300=500
Suy ra số đo góc giữa DA→ và DB→ là góc CDB bằng 500.
Vậy số đo góc giữa BC→ và BD→ bằng 300, số đo góc giữa DA→ và DB→ là góc CDB bằng 500.
Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 00, bằng 1800.
Góc giữa hai vectơ bằng 00 khi hai vecto cùng hướng.
Góc giữa hai vectơ bằng 1800 khi hai vecto ngược hướng (hoặc đối nhau).
Cho tam giác đều ABC. Tính AB→,BC→.
Lấy điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành, khi đó: AD→=BC→.
Vì tam giác ABC đều nên ABC^=ACB^=BAC^=600
⇒DAC^=ACB^=600 (hai góc so le trong)
⇒BAD^=1200
Ta có: AB→,BC→=AB→,AD→=BAD^=1200.
Vậy AB→,BC→=1200.
Khi nào tích vô hướng của hai vecto khác vectơ không u→,v→ là một số dương? Là một số âm?
Tích vô hướng của hai vecto u→,v→≠0→ được tính bởi công thức sau:
u→.v→=u→.v→.cosu→,v→.
Vì u→>0,v→>0 nên dấu của u→.v→ phụ thuộc vào dấu của cosu→,v→.
Nếu tích vô hướng của hai vecto u→,v→ là một số dương thì cosu→,v→>0. Do đó góc giữa hai vecto u→,v→ là góc nhọn hoặc bằng 00.
Nếu tích vô hướng của hai vecto u→,v→ là một số âm thì cosu→,v→<0. Do đó góc giữa hai vecto u→,v→ là góc tù hoặc bằng 1800.
Khi nào thì u→.v→2=u→2.v→2?
Ta có: u→.v→=u→.v→.cosu→,v→
⇔u→.v→2=u→.v→.cosu→,v→2=u→2.v→2.cos2u→,v→
Để u→.v→2=u→2.v→2 thì cos2u→,v→=1⇔cosu→,v→=1cosu→,v→=−1⇔u→,v→=00u→,v→=1800
Vậy khi góc giữa hai vecto u→,v→ là 00 hoặc 1800 thì u→.v→2=u→2.v→2.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính AB→.AC→ theo a, b, c.
Ta có:
AB→.AC→=AB.AC.cosAB→.AC→⇒AB→.AC→=AB.AC.cosBAC^⇒AB→.AC→=bc.cosBAC^
Theo định lí côsin, ta có:
cosBAC=b2+c2−a22bc⇒AB→.AC→=bc.b2+c2−a22bc=b2+c2−a22.
Vậy AB→.AC→=b2+c2−a22.
Cho hai vecto cùng phương u→=x;y và v→=kx;ky. Hãy kiểm tra công thức u→.v→=kx2+y2 theo từng trường hợp sau:
a) u→=0→;
b) u→≠0→ và k≥0;
c) u→≠0→ và k < 0.
a) Ta có: u→=0→⇒x=0y=0
Mà 0→ vuông góc với mọi vecto nên ta có: u→.v→=0
Ta lại có: kx2+y2=k02+02=0
⇒u→.v→=kx2+y2
Vậy với u→=0→ công thức đã cho đúng.
b) Vì k ≥ 0 nên hai vecto u→,v→ cùng hướng
⇒u→,v→=00
Ta có:
u→.v→=u→v→cosu→,v→=x2+y2.kx2+ky2.cosu→,v→=kx2+y2.cos00=kx2+y2.
Vậy với u→≠0→ và k≥0 công thức đã cho đúng.
c) Vì k < 0 nên hai vecto u→,v→ ngược hướng
⇒u→,v→=1800
Ta có:
u→.v→=u→v→cosu→,v→=x2+y2.kx2+ky2.cosu→,v→=kx2+y2.cos1800
Vậy với u→≠0→ và k < 0 công thức đã cho đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vecto không cùng phương u→x;y và v→x';y'.
a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho OA→=u→,OB→=v→.
b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.
c) Tính OA→.OB→ theo tọa độ của A, B.
a) Vì OA→=u→ mà u→=x;y nên OA→=x;y suy ra A(x; y).
Vì OB→=v→ mà v→=x';y' nên OB→=x';y' suy ra B(x'; y').
b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y')⇒AB→=x'−x;y'−y
⇒AB=x'−x2+y'−y2
⇒AB2=x'−x2+y'−y2.
+) Ta có: OA→=x;y⇒OA=x2+y2⇒OA2=x2+y2.
+) Ta có: OB→=x';y'⇒OB=x'2+y'2⇒OB2=x'2+y'2.
Vậy AB2=x'−x2+y'−y2; OA2=x2+y2 và OB2=x'2+y'2.
c) Ta có: OA→.=OA.OB.cosOA→,OB→=OA.OB.cosAOB^
Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có: cosAOB^=OA2+OB2−AB22.OA.OB
⇒cosAOB^=x2+y2+x'2+y'2−x'−x2+y'−y22.x2+y2.x'2+y'2
⇒cosAOB^=x2+y2+x'2+y'2−x'2−2x'x+x2+y'2−2y'y+y22.x2+y2.x'2+y'2⇒cosAOB^=x2+y2+x'2+y'2−x'2+2x'x−x2−y'2+2y'y−y22.x2+y2.x'2+y'2⇒cosAOB^=2x'x+2y'y2.x2+y2.x'2+y'2⇒cosAOB^=2.x'x+y'y2.x2+y2.x'2+y'2⇒cosAOB^=x'x+y'yx2+y2.x'2+y'2
Do đó OA→.OB→=OA.OB.cosAOB^
Vậy OA→.OB→=x'x+y'y.
Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto u→0;−5,v→3;1.
Với u→=0;−5,v→=3;1
Suy ra:
+) u→=02+−52=5;
+) v→=32+12=4=2;
Tích vô hướng của hai vecto u→.v→=0.3−5.1=−5.
Ta có:u→.v→=cosu→.v→=u→.v→u→.v→=−55.2=−12
⇒u→,v→=120°
Vậy u→.v→=−5 và góc giữa hai vectơ u→,v→ bằng 1200.
Cho ba vecto u→x1;y1,v→x2;y2,w→x3;y3.
a) Tính u.→v→+w→,u→.v→+u→.w→ theo tọa độ các vecto u→,v→,w→.
b) So sánh u→.v→+w→ và u→.v→+u→.w→.
c) So sánh u→.v→ và v→.u→.
a) Với u→=x1;y1, v→=x2;y2 và w→=x3;y3 ta có:
+) v→+w→=x2+x3;y2+y3
⇒u→v→+w→=x1.x2+x3+y1y2+y3=x1x2+x1x3+y1.y2+y1.y3
+) u→.v→=x1.x2+y1.y2 và u→.w→=x1.x3+y1.y3
⇒u→.v→+u→.w→=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3
b) u→.v→+w→=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3 và u→.v→+u→.w→=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3
c) Ta có: u→.v→=x1.x2+y1.y2;v→.u→=x2.x1+y2.y1=x1.x2+y1.y2.
⇒u→.v→=v→.u→.
Vậy u→.v→=v→.u→.
Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng AH→.BC→=0→ và BH→.CA→=0→.
b) Tìm tọa độ của H.
c) Giải tam giác ABC.
a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH⊥BC⇒AH→.BC→=0
và BH⊥AC⇒BH→.AC→=0
BH⊥CA⇒BH→⊥CA→⇒BH→.CA→=0
b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:
AH→x+1;y−2,BH→x−8;y+1,BC→0;9,AC→9;6
Suy ra AH⇀.BC→=x+1.0+y−2.9=0⇔9(y−2)
Và BH→.AC→=x−8.9+y+1.6=9x+6y−66
Theo câu a ta có: Û 9(y – 2) = 0 Û y – 2 = 0 Û y = 2.
Và BH→.AC→=0 (do BH ⊥ AC) Û9x + 6.2 – 66 = 0
⇔ 9x - 54=0
⇔9x= 54
⇔ x = 6
⇒ H(6; 2)
Vậy H(6;2).
c)Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:
AB→=9;−3⇒AB=92+−32=310.
AC→9;6⇒AC=92+62=313.
BC→0;9⇒BC=02+92=9.
+) AB→.AC→=9.9+−3.6=63;
cosBAC^=AB→.AC→AB.AC=63310.313=639.130=7130
Þ BAC^≈52°8'
+) AB→=9;−3⇒BA→=−9;3⇒BA→.BC→=−9.0+3.9=27;
Có: cosABC^=BA→.BC→BA.BC=27310.9=110
⇒ABC^≈71°34'
Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:
BAC^+ABC^+ACB^=180°⇒ACB^=180°−BAC^+ABC^⇒ACB^≈180°−52°8'+71°34'≈56°18'Vậy AB=310,AC=313,BC=9,BAC^≈52°8',ABC^≈71°34',ACB^≈56°18'.
Một lực F→ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng đều từ A đến B. Lực F→ được phân tích thành hai lực thành phần F1→ và F2→F→=F1→+F2→
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực F⇀ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực F1→ và F2→.
b) Giả sử các lực thành phần F1→ và F2→. tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực F⇀ và lực F1→
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto a→ và b→ trong mỗi trường hợp sau:
a) a→−3;1,b→2;6;
b) a→3;1,b→2;4;
c) a→−2;1,b→2;−2;
a) Ta có: a→.b→=−3.2+1.6=0⇒a→,b→=900.
b) Ta có: a→.b→=3.2+1.4=10
a→=32+12=10,b→=22+42=25
a→.b→=a→.b→.cosa→,b→⇒cosa→,b→=a→.b→a→.b→=1010.25=12⇒a→,b→=450.
c) Ta có: a→.b→=−2.2+1.−2=−32
a→=−22+12=3,b→=22+−22=6
a→.b→=a→.b→.cosa→,b→⇒cosa→,b→=a→.b→a→.b→=−323.6=−1⇒a→,b→=1800.
Tìm điều kiện của u→,v→ để:
a) u→.v→=u→.v→;
b) u→.v→=−u→.v→;
a) Ta có: u→.v→=u→.v→.cosu→,v→
Để u→.v→=u→.v→ thì cosu→,v→=1⇔u→,v→=00
Suy ra u→,v→ là hai vecto cùng hướng.
b) Ta có: u→.v→=u→.v→.cosu→,v→
Để u→.v→=−u→.v→ thì cosu→,v→=−1⇔u→,v→=1800
Suy ra u→,v→ là hai vecto ngược hướng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.
a) Tính AM→.BM→ theo t.
b) Tính t để AMB^=900.
a) Ta có: AM→t−1;−2,BM→t+4;−3
⇒AM→.BM→=t−1t+4+−2.−3=t2+3t+2..
b) Để AMB^=900 thì AM→.BM→=0
⇔t2+3t+2=0⇔t=−1t=−2
Vậy với t = -1 hoặc t = - 2 thì AMB^=900.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).
a) Giải tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
a) Ta có: AB→6;3⇒AB=62+32=35;
AC→6;−3⇒AC=62+−32=35;
BC→0;−6⇒BC=02+−62=6;
Theo định lí cosin, ta có:
cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=35⇒A^≈53,130;
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A
⇒B^=C^=1800−A^2≈63,440.
Vậy AB=AC=35,BC=6,A^=53,130,B^=C^=63,440.
b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)
Khi đó, ta có: AH→x+4;y−1;BC→0;−6;BH→x−2;y−4;AC→6;−3
Vì AH⊥BC⇒AH→.BC→=0⇔x+4.0+y−1.−6=0⇔y=1.
Vì BH⊥AC⇒BH→.AC→=0⇔x−2.6+y−4.−3=0
⇔x−2.2+y−4.−1=0⇔2x−y=0
Mà y = 1 ⇒2x−1=0⇔x=12.
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC,
SABC=12AB→2.AC→2−AB→.AC→2.
Ta có: SABC=12AB.AC.sinAB→,AC→
=12AB.AC.1−cos2AB→,AC→
=12AB.AC.1−AB→.AC→2AB→2.AC→2
=12AB.AC.AB→2.AC→2−AB→.AC→2AB→2.AC→2
=12AB.AC.1AB.AC.AB→2.AC→2−AB→.AC→2
=12AB→2.AC→2−AB→.AC→2
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
MB2+ MC2=MA→2+MB→2+MC→2=MG→+GA→2+MG→+GB→2+MG→+GC→2=MG→2+2MG→.GA→+GA→2+MG→2+2MG→.GB→+GB→2+MG→2+2MG→.GC→+GC→2=3MG→2+2MG→.GA→+GB→+GC→+GA→2+GB→2+GC→2Ta có: GA→+GB→+GC→=0→select: (tính chất trọng tâm tam giác)⇒MG→.GA→+GB→+GC→=MG→.0→=0⇒MA2+ MB2+ MC2=3MG→2+GA→2+GB→2+GC→2.
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
