10 Bài tập Chứng minh hai vectơ hay hai đường thẳng vuông góc (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có BA→.BC→=0→. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Tam giác ABC vuông tại A;
Tam giác ABC vuông tại B;
Tam giác ABC vuông tại C;
Tam giác ABC là tam giác cân.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
BA→.BC→=0→⇔BA→⊥BC→⇔BA⊥BC
Do đó, tam giác ABC vuông tại B.
Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
AB→.AC→=0
AB→.CD→=0
AB→.AD→=0
AB→.BD→=0
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có: Do ABCD là hình vuông nên AB⊥AD⇔AB→⊥AD→⇔AB→.AD→=0.
Cho hình thoi ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây là sai ?
AB→.AC→=0
AC→.BD→=0
AO→.DO→=0
OB→.OC→=0
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do ABCD là hình thoi nên AB không vuông góc với AC nên AB→.AC→≠0.
Hai đường chéo AC và BD của hình thoi vuông góc với nhau tại O nên
AC→.BD→=0; AO→.DO→=0; OB→.OC→=0.
Cho đường tròn (O; R) có hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại S, gọi M là trung điểm của AB. Hai đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau ?
SM và AB;
SM và SA;
SM và A’B’;
SM và AB’.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có:
SM→.A'B'→=12SA→+SB→SB'→−SA'→ (áp dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ)
=12SA→.SB'→−SA→.SA→'+SB→.SB'→−SB→.SA→'
Lại có: AA’ vuông góc với BB’ tại S nên ta có:
SA→.SB'→=0
SB→.SA'→=0
SA→.SA'→=SB→.SB'→
Từ đó suy ta SM→.A'B'→=0
Vậy SM vuông góc với A’B’.
Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD có: AB→−AD→.AC→=0. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
BD vuông góc với AC;
AB vuông góc với AC;
AB vuông góc với DC;
BD vuông góc với DC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
AB→−AD→.AC→=0⇔DB→.AC→=0→⇔DB→⊥AC→
Vậy BD vuông góc với AC.
Cho hai vectơ a→ và b→ vuông góc, a→=1,b→=2. Các vectơ nào sau đây vuông góc ?
2a→−b→và a→+b→;
2a→−b→và a→+b→;
2a→+b→và a→-b→;
a→-b→và a→+b→.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do vectơ a→ và b→ vuông góc nên ta có: a→.b→=0.
Ta có:
2a→−b→a→+b→=2a→2+2a→.b→−a→.b→−b→2
=2a→2+2a→.b→−a→.b→−b→2
=2.12+2.0−0−22=0
Vậy 2a→−b→ và a→+b→ vuông góc.
Tương tự, ta kiểm tra tích vô hướng của các cặp vectơ ở các đáp án B, C, D, các tích này đều khác 0 nên chúng không vuông góc.
Cho hai vectơ i→ và j→ vuông góc với nhau, biết i→=j→=1, cho a→=9i→+3j→ và v→=i→−3j→. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
a→và v→ngược hướng;
a→và v→cùng hướng;
a→và v→bằng nhau;
a→và v→vuông góc.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Do vectơ i→ và j→ vuông góc nên ta có: i→.j→=0
Ta có:
a→.v→=9i→+3j→i→−3j→=9i→2−27i→.j→+3i→.j→−9j→2
=9i→2−27i→.j→+3i→.j→−9j→2
=9.1−27.0+3.0−9.1=0
Vậy a→ và v→ vuông góc.
Cho hai vectơ i→ và j→ vuông góc với nhau, biết i→=j→=1, cho a→=3i→+4j→ và v→=i→−2j→. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. a→ và v→ ngược hướng;
A. a→ và v→ ngược hướng;
C. a→ và v→ không vuông góc;
D. a→ và v→ vuông góc.
a→và v→ngược hướng;
a→và v→ cùng hướng
a→và v→không vuông góc;
a→và v→vuông góc.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Do vectơ i→ và j→ vuông góc nên ta có: i→.j→=0.
Ta có:
a→.v→=3i→+4j→i→−2j→=3i→2−6i→.j→+4i→.j→−8j→2
=3i→2−6i→.j→+4i→.j→−8j→2
=3.1−6.0+4.0−8.1=−5≠0
Vậy a→ và v→ không vuông góc.
Cho hai vectơ i→ và j→ vuông góc với nhau, biết i→=j→=1, cho u→=10i→−5j→ và w→=−i→−2j→. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
u→và w→ngược hướng;
u→và w→cùng hướng;
u→và w→không vuông góc;
u→và w→vuông góc.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Do vectơ i→ và j→ vuông góc nên ta có: i→.j→=0.
Ta có:
u→.w→=10i→−5j→−i→−2j→=−10i→2−20i→.j→+5i→.j→+10j→2
=−10i→2−20i→.j→+5i→.j→+10j→2
=−10.1−20.0+5.0+10.1=0
Vậy a→ và v→ vuông góc.
Cho hai vectơ i→ và j→ vuông góc với nhau, biết i→=j→=1, cho u→=i→−5j→ và w→=−i→−2j→. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
u→và w→ngược hướng;
u→và w→cùng hướng;
u→và w→không vuông góc;
u→và w→vuông góc.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Do vectơ i→ và j→ vuông góc nên ta có: i→.j→=0.
Ta có:
u→.w→=i→−5j→−i→−2j→=−i→2−2i→.j→+5i→.j→+10j→2
=−i→2−2i→.j→+5i→.j→+10j→2
=−1−2.0+5.0+10.1=9≠0
Vậy u→ và w→ không vuông góc.
