10 Bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
MH→.MA→=12BC2
MH→.MA→=14BC2
MH→.MA→=34BC2
MH→.MA→=54BC2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên AB→.HC→=0; AC→.HB→=0.
Do M là trung điểm BC nên ta có:
2AM→=AB→+AC→;
2HM→=HB→+HC→.
Do đó:4MA→.MH→=2AM→.2HM→
=AB→+AC→HB→+HC→
=AB→.HB→+AB→.HC→+AC→.HB→+AC→.HC→
=AB→.HB→+AC→.HC→
=AB→HC→+CB→+AC→HB→+BC→
=AB→.CB→+AC→.BC→
=CB→AB→−AC→
=CB→.CB→=CB2=BC2
Vậy MH→.MA→=14BC2.
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính a2. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=a24
MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=a2
MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=2a2
MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=a22
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên OA→+OB→+OC→=0→và MA→+MB→+MC→=3MO→.
Ta có:
MA→+MB→+MC→=3MO→
⇔MA→+MB→+MC→2=9OM→2
⇔MA→2+MB→2+MC→2+2MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=9MO→2
Mặt khác, ta lại có:
MA→2+MB→2+MC→2=MO→+OA→2+MO→+OB→2+MO→+OC→2
=MO→2+2MO→.OA→+OA→2+MO→2+2MO→.OB→+OB→2+MO→2+2MO→.OC→+OC→2
=3MO→2+OA→2+OB→2+OC→2+2MO→OA→+OB→+OC→
=3MO2+a2
Như vậy, ta được:
3MO2+a2+2MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=9MO2
⇔MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=3MO2−a22
Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính a2 nên MO=a2⇒MO2=a24
⇔MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=a24.
Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?
MA→.MB→=OM2−OA2
MA→.MB→=OM2+OA2
MA→.MB→=OM2−2OA2
MA→.MB→=OM2+2OA2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do O là trung điểm AB nên OA→+OB→=0→và OA = OB, hai vectơ OA→, OB→ ngược hướng, do đó OA→, OB→=180°.
Ta có:
MA→.MB→=(OA→−OM→)(OB→−OM→) (quy tắc ba điểm)
=OA→.OB→−OA→+OB→.OM→+OM→2
=OA→.OB→.cosOA→, OB→−0→.OM→+OM→2
=OA.OB.cos180°−0+OM2
=OM2−OA2
Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
AB2+CD2=BC2−AD2
AB2+CD2=BC2+AD2
AB2+CD2=2BC2+AD2
AB2+CD2=BC2+2AD2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
AB2+CD2=AB→2+CD→2=AD→+DB→2+CB→+BD→2
=AD2+2DB2+BC2+2DB→.AD→+2BD→.CB→
=BC2+AD2+2DB→DB→+AD→−CB→
=BC2+AD2+2DB→AD→+DB→−CB→
=BC2+AD2+2DB→AB→−CB→
=BC2+AD2+2DB→AB→+BC→
=BC2+AD2+2DB→.AC→
Mà AC vuông góc với BD nên ta có:AC→.BD→=0
Do đó: AB2+CD2=BC2+AD2
Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
MH2+MA2=AH2+14BC2
MH2+MA2=AH2+BC2
MH2+MA2=AH2+12BC2
MH2+MA2=AH2+13BC2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên AB→.HC→=0; AC→.HB→=0.
Do M là trung điểm BC nên ta có:
2AM→=AB→+AC→
2HM→=HB→+HC→
Do đó ta có:
4MA→.MH→=2AM→.2HM→
=AB→+AC→HB→+HC→
=AB→.HB→+AB→.HC→+AC→.HB→+AC→.HC→
=AB→.HB→+AC→.HC→
=AB→HC→+CB→+AC→HB→+BC→
=AB→.CB→+AC→.BC→
=CB→AB→−AC→
=CB→.CB→=CB2=BC2
Vậy MH→.MA→=14BC2.
Ta có:
AH2=AH→2=MH→−MA→2=MH→2+MA→2−2MA→.MH→
=MH2+MA2−2.14.BC2
Do đó: MH2+MA2=AH2+12BC2
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?
MA→.MC→−MA→.MB→=BC2−MB2+MC2
MA→.MC→−MA→.MB→=BC2−MB2−MC2
MA→.MB→+MA→.MC→=BC2−MB2+MC2
MA→.MC→−MA→.MB→=BC2+MB2−MC2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
3M’G’ = BC
⇔3M'G'→=BC→
⇔3M'G'→.BC→=BC→2 (nhân cả hai vế với vectơ BC→).
Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên M'G'→=MG→.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên MA→+MB→+MC→=3MG→.
Do đó, ta có:
3MG→.BC→=BC→2
⇔MA→+MB→+MC→MC→−MB→=BC2
⇔MA→MC→−MB→+MB→+MC→MC→−MB→=BC2
⇔MA→MC→−MB→+MC2−MB2=BC2
⇔MA→.MC→−MA→.MB→=BC2+MB2−MC2.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+GB2+GC2
MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2−GB2+GC2
MA2+MB2+MC2=3MG2−GA2+GB2+GC2
MA2+MB2+MC2=−3MG2+GA2+GB2+GC2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→.
Ta có:
MA2+MB2+MC2
=MA→2+MB→2+MC→2=MG→+GA→2+MG→+GB→2+MG→+GC→2 (quy tắc ba điểm)
=3MG2+GA2+GB2+GC2+2MG→GA→+GB→+GC→
.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Trên cạnh AB lấy điểm M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
c2.CM2=a2.AM2+b2.BM2+a2+b2−c2.AM.BM
c2.CM2=a2.AM2+b2.BM2+a2−b2−c2.AM.BM
c2.CM2=a2.AM2−b2.BM2+a2+b2−c2.AM.BM
c2.CM2=a2.AM2+b2.BM2−a2+b2−c2.AM.BM
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do M thuộc cạnh AB nên ta có:
AM→=−AMBM.BM→
⇔AC→+CM→=−AMBM.BC→+CM→
⇔1+AMBMCM→=−AMBMBC→−AC→
⇔BM+AMBMCM→=AMBMCB→+CA→
⇔ABBMCM→=AMBMCB→+BMBMCA→
⇔AB.CM→=AM.CB→+BM→.CA→
⇔c.CM→=AM.CB→+BM.CA→
⇔c.CM→2=AM.CB→+BM.CA→2
⇔c2.CM2=AM2.CB2+BM2.CA2+2AM.BM.CA→.CB→
⇔c2.CM2=a2.AM2+b2.BM2+2AM.BM.CA.CB.cosC
⇔c2.CM2=a2.AM2+b2.BM2+2AM.BM.b.a.a2+b2−c22ab (định lí côsin)
⇔c2.CM2=a2.AM2+b2.BM2+a2+b2−c2.AM.BM.
Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm cố định và OA = d. Đẳng thức nào sau đây đúng?
AM→.AN→=d2+R2
AM→.AN→=d2−R2
AM→.AN→=2d2+R2
AM→.AN→=d2+2R2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: AM→.AN→=OM→−OA→.ON→−OA→
=OM→.ON→−OM→.OA→−OA→.ON→+OA→2
=OM→.ON→−OM→+ON→.OA→+OA→2
Vì MN là đường kính của đường tròn O, bán kính R nên O là trung điểm của MN, do đó ta có:
+) OM→+ON→=0→;
+) OM→, ON→ là hai vectơ ngược hướng và OM = ON = R.
Do đó: AM→.AN→ =OM→.ON→.cos180°−0→.OA→+OA→2
=R.R.−1+d2=d2−R2.
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?
AE→.AC→+BE→.BD→=AB2
AE→.AC→−BE→.BD→=AB2
AE→.AC→+BE→.BD→=−AB2
AE→.AC→+BE→.BD→=2AB2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì AB là đường kính nên ADB^=90°,ACB^=90°
Do đó AD ⊥ BD và AC ⊥ BC hay AD ⊥ BE và AE ⊥ BC.
Suy ra AE→.BC→=0, BE→.AD→=0
Ta có:
AE→.AC→+BE→.BD→=AB2
⇔AE→AB→+BC→+BE→BA→+AD→=AB2
⇔AE→.AB→+AE→.BC→+BE→.BA→+BE→.AD→=AB2
⇔AE→.AB→+BE→.BA→=AB2
⇔AB→.AE→−BE→=AB2
⇔AB→.EB→−EA→=AB2
⇔AB→.AB→=AB2 ⇔AB→2=AB2(luôn đúng)
