10 Bài tập Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng OA→.OD→.
0;
2a;
a2;
2a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do ABCD là hình vuông nên BD vuông góc với AC tại O.
Suy ra OA⊥OD⇔OA→⊥OD→⇔OA→.OD→=0.
Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng AC→.BD→.
a;
0;
a2;
2a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Do ABCD là hình vuông nên BD vuông góc với AC ⇒AC→.BD→=0.
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có: AD = a, AB = 2a. Tính AB→.AO→=?
a;
0;
a2;
2a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có: BC = AD = a, AB = CD = 2a
Xét tam giác ABC vuông tại B
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = (2a)2 + a2 = 5a2
⇔ AC = a5
⇒AO=12AC=12.a5=a52
Ta có:
AB→, AO→=BAO^=BAC^
Suy ra cosBAO^=cosBAC^=ABAC=2aa5=25
AB→=AB=2a
AO→=AO=a52
Ta có: AB→.AO→=AB→.AO→cosBAO^=2a.a52.25=2a2.
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính AB→.AC→.
a;
0;
a2;
12a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Do tam giác ABC đều nên:
AB = AC = a ⇒AB→=AC→=a
AB→, AC→=BAC^=60°⇒cosBAC^=12
Ta có:
AB→.AC→=AB→.AC→.cosBAC^=a.a.12=12a2.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính tích vô hướng AH→.AC→.
32a2;
3a2;
34a2;
a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Do tam giác ABC đều nên:
AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
⇒BH=CH=BC2=a2
Xét tam giác AHC vuông tại H
Áp dụng định lí Pythagore có:
AH2 + CH2 = AC2 ⇔ AH2 = AC2 – CH2 = a2−a22=3a24⇔AH=a32
AH→,AC→=HAC^; cosHAC^=AHAC=a32a=32
Ta có: AH→.AC→=AH→.AC→.cosHAC=a32.a.32=34a2.
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính vô hướng giữa hai vectơ BA→ và HC→ bằng
a22
a2;
a24
2a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Do tam giác ABC đều nên:
AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
⇒BH=CH=BC2=a2
Ta có:
BH→=HC→⇒BA→,HC→=BA→,BH→=ABH^=60°⇒cosABH^=12
BA→=AB=a; HC→=HC=a2
Vậy BA→.HC→=BA→.HC→.cosABH^=a.a2.12=a24.
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính AB→.DC→.
a2;
4a2;
3a2;
2a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Kẻ DH vuông góc với BC tại H.
Do ABCD là hình thang vuông có đường cao AB nên AB = DH = 2a và AB // DH.
⇒AB→=DH→⇒AB→,DC→=DH→,DC→=CDH^.
Xét hình thang vuông ABCD có:
BH = AD ⇔ HC = BC – BH = BC – AD = 3a – 2a = a
Xét tam giác DHC vuông tại H
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
DC2 = DH2 + HC2 = (2a)2 + a2 = 5a2
⇒DC=a5
Do đó, cosHDC^=DHDC=2aa5=25
AB→=AB=2a;DC→=DC=a5
Ta có: AB→.DC→=AB→.DC→.cosHDC^=2a.a5.25=4a2.
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính BD→.BC→.
a2;
4a2;
6a2;
2a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Kẻ DH vuông góc với BC, nối B với D.
Do ABCD là hình thang vuông có đường cao AB nên AB = DH = 2a và AB // DH
Xét tam giác BAD vuông tại A
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
BD2 = AB2 + AD2 = (2a)2 + (2a)2 = 8a2
⇒BD=22a
BD→,BC→=DBC^=DBH^
⇒cosBD→, BC→=cosDBH^=BHBD=2a22a=12.
Ta có:
BD→.BC→=BD→.BC→.cosDBH^=22a.3a.12=6a2.
Cho tam giác ABC có: AB = 3, BC = 4, AC = 5. Tính BA→.BC→.
1
0
12
20
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Xét tam giác ABC có:
AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25
AC2 = 52 = 25
⇔ AC2 = AB2 + BC2
Vậy tam giác ABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo)
⇒ BA ⊥ BC
⇒BA→.BC→=0.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = a, BCA^=60°. Tính BC→.BA→.
a2;
34a2;
14a2;
2a2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Xét tam giác ABC vuông tại A
Ta có:
BC→, BA→=CBA^=90°−BCA^=90°−60°=30°
⇒cosBC→, BA→=cosCBA^=32.
Lại có: BA=BC.sinBCA^=BC.sin60°=3a2.
BC→=BC=a, BA→=BA=a32.
Vậy ta có:
BC→.BA→=BC→.BA→.cosCBA^=a.a32.32=34a2.
