20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB\,}  \cdot \overrightarrow {AC\,} \)\( = \left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC\,} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB\,} ,\overrightarrow {AC\,} } \right)\)\[ = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\]\[ = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ \]\[ = \frac{1}{2}{a^2}\].

Đáp án đúng là: A

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot AD\) do đó \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\).

Đáp án đúng là: A

Dựng vectơ \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC} \] khi đó ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'}\).

Vì \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BC}  \Rightarrow BC{\rm{//}}AA' \Rightarrow \widehat {CAA'} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\;\; = 60^\circ \].

Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {BAA'} = \widehat {BAC}\; + \widehat {CAA'}\; = 60^\circ  + 60^\circ  = 120^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}\].

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) có

\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC \cdot BC}}\) \( = \frac{{{5^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{37}}{{40}}\).

Do đó \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = 5 \cdot 4 \cdot \frac{{37}}{{40}} = \frac{{37}}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = 120 \circ \).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3 =  - 1\).

Đáp án đúng là: C

Do \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 5} \right)\), \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow v  = \left( {k;2} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow u \) và vectơ \(\overrightarrow v \) vuông góc nên \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot k + \left( { - 5} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow k - 10 = 0 \Leftrightarrow k = 10\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3;5} \right)\).

\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {{{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)}^2}} \right| = {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2}\). Do đó, \(\left| {\overrightarrow u } \right| = {\sqrt {{3^2} + {5^2}} ^2} = 34\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }}\).

Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(45^\circ \), suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {9 + {y^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\left( 1 \right)\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {90 + 10{y^2}}  = 6 - 4y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 4y \ge 0\\90 + 10{y^2} = {\left( {6 - 4y} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\{y^2} - 8y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y =  - 1\).

Đáp án đúng là: B

Công sinh bởi lực \(\vec F\) được tính bằng công thức

\(A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right|{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90 \cdot 100 \cdot {\rm{cos}}60^\circ  = 4500\,\,\left( {\rm{J}} \right)\).

Vậy công sinh bởi lực \(\vec F\) có độ lớn bằng 4500 (J).

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

b) Sai. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên

\(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

c) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BA \bot BC\), suy ra \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BG}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\) (\(BC = AD = 3a\)).

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1} \right)\).

b) Sai. \(\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 3} \right)\).

c) Sai. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) =  - 5\).

d) Đúng. Ta có \(\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {25} }} =  - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ  = 3{a^2}\).

b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).

Vậy \(AI \bot BJ\).

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4 - 1;3 - 2} \right) = \left( { - 5;1} \right)\).

b) Sai. Ta có \[\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - t;\;2 - 0} \right) = \left( {1 - t;\;2} \right)\].

c) Sai. \[\overrightarrow {MB}  = \left( { - 4 - t;\;3 - 0} \right) = \left( { - 4 - t;\;3} \right)\]

\[\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = \left( {1 - t} \right) \cdot \left( { - 4 - t} \right) + 2 \cdot 3 =  - 4 - t + 4t + {t^2} + 6 = {t^2} + 3t + 2\].

d) Đúng. Để \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) thì \(\overrightarrow {MA}  \bot \overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai giá trị của \(t\) để \(\widehat {AMB} = 90^\circ \).

a) Sai. Người thứ nhất kéo một lực là \[40\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 40\sqrt 3 \], người thứ hai kéo một lực là \[80\,\,{\rm{(N)}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 80\].

b) Đúng. Lực tổng hợp, hợp với phương ngang (mặt đường) một góc \(30^\circ \) và phương lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) song song mặt đường nên \(\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow F } \right) = 30^\circ \).

c) Đúng. Ta có lực tổng hợp của hai người là \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \).

Suy ra độ lớn của \(\overrightarrow F \) là: \(F = \sqrt {{F_1}^2 + {F_2}^2}  = 40\sqrt 7 \,{\rm{(N)}}\).

d) Đúng. Công sinh ra khi kéo vật là

\[A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow d } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 40\sqrt 7  \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ  = 1000\sqrt {21} \,{\rm{(J)}} = a\sqrt b {\rm{(J)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1000\\b = 21\end{array} \right.\].

Khi đó \(a + b = 1021\).

Ta có \[\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ  =  - 3\].

\[{\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {3^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot {2^2} = 37\]

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {37}  \approx 6,1\].

Đáp án: 6,1.

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{2}{{\tan 30^\circ }} = 2\sqrt 3 .\)

Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2}}  = 4.\)

\(P = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( { - AB \cdot BC \cdot \cos B + AC \cdot BC \cdot \cos C} \right)\)\( = \frac{1}{4}\left( { - 2\sqrt 3  \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ  + 2 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ } \right) =  - 2.\)

Đáp án: −2.

Do điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(AB\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BM} \) cùng phương.

Suy ra tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {BM}  = t\overrightarrow {AB} \) \[\left( 1 \right)\].

Ta có \(\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 5;b} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( {7; - 1} \right)\) \[\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a - 5 = 7t\\b =  - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 + 7t\\b =  - t\end{array} \right.\].

Suy ra \[M\left( {5 + 7t; - t} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {OA}  = \left( { - 2;1} \right)\], \(\overrightarrow {OM}  = \left( {5 + 7t; - t} \right)\).

Mặt khác ta lại có \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 135^\circ \)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OM} }}{{OA \cdot OM}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 10 - 15t}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {{{\left( {5 + 7t} \right)}^2} + {t^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) (1)

Bình phương hai vế ta được \({\left( {\frac{{2 + 3t}}{{\sqrt {5 + 14t + 10{t^2}} }}} \right)^2} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(8{t^2} + 10t + 3 = 0\).

Giải phương trình bậc hai ta có \(\left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{1}{2}\\t =  - \frac{3}{4}\end{array} \right.\).

Thử lại ta có \(t =  - \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình (1).

Vậy \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).

Đáp án: 2.

Máy bay \(M\) chuyển động theo đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\) nên ta có \(M,A,B\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a + 5;b - 5} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( {7;1} \right)\) cùng phương.

Khi đó, ta có \(\frac{{a + 5}}{7} = \frac{{b - 5}}{1} \Leftrightarrow a - 7b =  - 40\) (1).

Mặt khác ta có khoảng cách từ máy bay đến trạm không lưu là \(OM\), \(OM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(O\) trên \(AB\) hay \(\overrightarrow {OM}  \bot \overrightarrow {AB} \) \(\left( {M \equiv H} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0 \Rightarrow 7a + b = 0\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - 7b =  - 40\\7a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{5}\\b = \frac{{28}}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(20a - 15b =  - 100\).

Đáp án: −100.

Dựng hình bình hành \(ABCM.\) Ta có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} \).

Suy ra độ lớn của tổng hợp lực tác dụng lên vật là: \[\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = MB\].

Xét tam giác \(CMB\) có

\(M{B^2} = M{C^2} + B{C^2} - 2MC \cdot BC \cdot \cos \widehat {MCB} = {50^2} + {30^2} - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \cos 120^\circ  = 4900\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {4900}  = 70\) N.

Góc tạo bởi lực \(\vec F\) và phương chuyển động là \(\widehat {BMC}\) với

\(\cos \widehat {BMC} = \frac{{M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}}}{{2MB \cdot MC}} = \frac{{{{70}^2} + {{50}^2} - {{30}^2}}}{{2 \cdot 70 \cdot 50}} = \frac{{13}}{{14}}\).

Gọi \(MD\) là quãng đường vật di chuyển, khi đó công sinh bởi lực \(\vec F\) là:

\(A = \overrightarrow F  \cdot \overrightarrow {MD}  = \left| {\overrightarrow F } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MD} } \right| \cdot \cos \widehat {BMC} = 70 \cdot 28 \cdot \frac{{13}}{{14}} = 1820\;\)J.

Đáp án: 1820.