10 Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=60°, a→.b→=2 và a→=2. Tính độ dài của vectơ b→.
1
2
12;
14.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
a→.b→=2⇔a→.b→.cosa→,b→=2
⇔2.b→.cos60°=2⇔2.b→.12=2⇔b→=2.
Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=30°, a→.b→=3và b→=2. Tính độ dài của vectơ a→.
1
2
12;
14.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
a→.b→=3⇔a→.b→.cosa→,b→=3⇔a→.2.cos30°=3
⇔a→.2.32=3⇔a→=1.
Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=60°, a→.b→=4 và a→+b→=6. Tính độ dài của vectơ a→ với a→>3.
7
6
5
4
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
a→.b→=4⇔a→.b→.cosa→,b→=4⇔a→.b→.cos60°=4
⇔a→.b→.12=4⇔a→.b→=8.
Ta có: a→.b→=8a→+b→=6⇔a→.b→=8b→=6−a→⇔a→.6−a→=8 (1)b→=6−a→
Xét (1) ta có : 6a→−a→2=8⇔−a→2+6a→−8=0⇔a→=4a→=2
Vì a→>3 nên ta có: a→=4.
Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, A^=30°. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.
a5−23
a5−23
5a
23a
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
BC2=BC→2=AC→−AB→2=AC→2−2AC→.AB→+AB→2
=AC2−2AC→.AB→+AB2.
Ta có:
cosAC→,AB→=cosA^=cos30°=32
AC→=AC=a; AB→=AB=2a
AC→.AB→=AC→.AB→.cosAB→,AC→=a.2a.32=3a2
Do đó, ta có:
BC2=AC2−2AC→.AB→+AB2=a2−2.3a2+(2a)2=5−23a2
⇒BC=a5−23.
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A^=45°. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.
13+62
13−62
13
62
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
BC2=BC→2=AC→−AB→2=AC→2−2AC→.AB→+AB→2
=AC2−2AC→.AB→+AB2.
Ta có:
cosAC→,AB→=cosA^=cos45°=22
AC→=AC=3; AB→=AB=2
AC→.AB→=AC→.AB→.cosAB→,AC→=3.2.22=32
Do đó, ta có:
BC2=AC2−2AC→.AB→+AB2=32−2.32+22=13−62
⇒BC=13−62.
Cho tam giác ABC có BC = 2cm, BM = 1cm, CBM^=60° với M là trung điểm AC. Tính độ dài AC.
3
32;
2
23.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
CM2=CM→2=BC→−BM→2=BC→2−2BC→.BM→+BM→2
=BC2−2BC→.BM→+BM2
Ta có:
cosBC→,BM→=cosCBM^=cos60°=12.
BC→=BC=2cm; BM→=BM=1cm
Ta có: BC→.BM→=BC→.BM→.cosBC→,BM→=2.1.12=1
CM2=BC2−2BC→.BM→+BM2=22−2.1+12=3⇒CM=3 (cm)
Mà M là trung điểm của AC
⇒AC=2CM=23 cm.
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, A^=120°. Tính độ dài trung tuyến AM dựa vào tích vô hướng.
132;
13;
13
2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC.
Do đó, có: AB→+AC→=2AM→⇒4AM→2=AB→+AC→2
⇔4AM2=AB2+2AB→.AC→+AC2.
cosAB→,AC→=cosA^=cos120°=−12
AB→=AB=4
AC→=AC=3
AB→.AC→=AB→.AC→.cosAB→,AC→=4.3.−12=−6
4AM2=AB2+2AB→.AC→+AC2=42+2.(−6)+32=13
⇒AM2=134⇔AM=132
Cho hình bình hành ABCD có: AD = a, AB = 2a, BAD^=60°. Tính độ dài AC.
132a;
13a;
13a;
a7.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
AB→+AD→=AC→⇔AC→2=AB→+AD→2
⇔AC2=AB2+2AB→.AD→+AD2
Ta có:
cosAB→,AD→=cosBAD^=cos60°=12
AB→.AD→=AB.AD.cosAB→,AD→=2a.a.12=a2
AC2=AB2+2AB→.AD→+AD2=4a2+2.a2+a2=7a2
⇒AC=a7.
Cho hình bình hành ABCD có: BA = 3, BC = 2, CBA^=120°. Tính độ dài BD.
132
13
13
7
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
BA→+BC→=BD→⇔BD→2=BA→+BC→2
⇔BD2=BA2+2BA→.BC→+BC2.
Ta có:
cosBA→,BC→=cosCBA^=cos120°=−12
BA→.BC→=BA.BC.cosBA→,BC→=3.2.−12=−3
BD2=BA2+2BA→.BC→+BC2=32+2.(−3)+22=7
⇒BD=7
Cho tam giác ABC có: AB = 4, AC = 5, BAC^=60°. Điểm I thuộc cạnh BC sao cho BI = 2CI. Tính độ dài BI.
2213
213
21
4213
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có: BI = 2CI ⇒BI→=23BC→=23AC→−AB→
⇔BI→2=49AC→−AB→2=49AC2−2AC→.AB→+AB2.
Ta có:
cosAC→,AB→=cosA^=cos60o=12
AC→=AC=5; AB→=AB=4
AC→.AB→=AC→.AB→.cosAB→,AC→=5.4.12=10
BI2=49AC2−2AC→.AB→+AB2=4952−2.10+42=283
⇒BI=2213.
