Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án
15 câu hỏi
Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A1, A2, A3, …, An, tại mỗi đỉnh Ai có đặt một vật nặng mi (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A1, A2, A3, …, An ứng với các khối lượng m1, m2, m3, …, mn (kg).
Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.
Học sinh đọc thông tin đề bài cung cấp.
Cho vecto AB→=a→. Hãy xác định điểm C sao cho BC→=a→.
a) Tìm mối quan hệ giữa AB→ và a→+a→.
b) Vecto a→+a→ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto a→.
+) AB→=a→ nên AB→ cùng hướng và cùng độ lớn với a⇀ ;
+) BC→=a→nên BC⇀ cùng hướng và cùng độ lớn với a⇀ .
Do đó AB⇀ và BC⇀ cùng hướng và cùng độ lớn với a⇀
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC
Hay B là trung điểm của AC.
Vậy điểm C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.
a) Ta có: a→+a→=AB→+BC→=AC→ (quy tắc ba điểm)
Suy ra a→+a→=AC→=AC
Mà AC = AB + BC = 2AB nên a→+a→=2AB .
Lại vecto AC→ cùng hướng với vecto AB→
Vậy a→+a→ cùng hướng với vecto AB⇀ và a→+a→=2AB=2AB→ .
b)Vì AB→=a→ nên AB→ cùng hướng với vecto AB⇀và a→+a→=2AB.
Mà cùng hướng với vecto AB⇀ và a→+a→=2AB .
Do đó a→+a→ cùng hướng với vecto a→ và a→+a→=2a→.
1a→ và a→ có bằng nhau hay không?
Tích của vecto a→≠0→ với số thực k = 1 > 0 là vecto kí hiệu là 1a→, vecto này cùng hướng với vecto a→ và có độ dài bằng 1a→=a→.
Do đó 1a→=a→.
Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn các số 0;1;2;−2.Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto OM→,ON→ với vecto a→=OA→. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto OM→ và OA→.
+) Ta có:
Điểm M biểu diễn cho số 2 nên OM=2
Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1
Điểm N biểu diễn cho số −2 nên ON=−2=2
Khi đó:
Vecto OM→ cùng hướng với vecto OA→ và OM=2OA.
Vecto ON→ ngược hướng với vecto OA→ và ON=2OA.
Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto OM→ và OA→ là OM→=2OA→.
−a→ và −1a→ có mối quan hệ gì?
Vectơ −1a→ có k = -1 < 0 nên −1a→ ngược hướng với a→ và có độ dài −1a→=a→.
Vectơ −a→ là vecto đối của vecto a→ nên −a→ ngược hướng với a→ và có độ dài a→.
Do đó vecto −1a→ cùng hướng với −a→ và có độ dài bằng nhau.
Vì vậy −1a→=−a→.
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để AM→=tAB→.
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: AM→=AMAB.AB→.
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để AM→=tAB→.
a) Nếu M thuộc đường thẳng d thì AM→ cùng phương AB→
Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn AM→=tAB→.
Nếu tồn tại số t thỏa mãn AM→=tAB→ thì AM→ cùng phương AB→ hay AM→ trùng với AB→.
Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.
Vì thế khẳng định a) đúng.
b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì AM→ và AB→ không cùng phương. Do đó AM→≠AMABAB→.
Vì vậy khẳng định b) sai.
c) Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB:
Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB thì hai vectơ AM⇀ và AC⇀ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng
Khi đó tồn tại số thực t ≤ 0 thỏa mãn AM→=tAB→ .
Ngược lại, nếu tồn tại số t ≤ 0 để AM→=tAB→ thì hoặc hai vectơ AB⇀ và AM⇀ ngược hướng (với t < 0) hoặc M ≡ A (với t = 0).
Do đó khẳng định c) đúng.
Với u→≠0→ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vecto ktu→ và ktu→ có cùng độ dài bằng ktu→.
b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto ktu→,ktu→cùng hướng với u→.
c) Nếu kt < 0 thì cả hai vecto ktu→,ktu→ ngược hướng với u→.
d) Hai vecto ktu→ và ktu→ bằng nhau.
a) Ta có: ktu→=ktu→=ktu→=ktu→
và ktu→=ktu→
Suy ra ktu→=ktu→=ktu→
Do đó hai vectơ ktu→ và ktu→ có cùng độ dài bằng ktu→.
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Vecto ktu→ cùng hướng với vectơ u→ khi kt ≥ 0
Vecto ktu→ cùng hướng với vectơ tu→ khi k ≥ 0
Vecto tu→ cùng hướng với vectơ u→ khi t ≥ 0
Suy ra ktu→ cùng hướng với vectơ u→ khi kt ≥ 0.
Do đó nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ ktu→,ktu→ cùng hướng với u→.
Vậy khẳng định b) là đúng.
c) Vecto ktu→ ngược hướng với vectơ u→ khi kt < 0
Vecto ktu→ ngược hướng với vectơ tu→ khi k < 0
Vecto tu→ ngược hướng với vectơ u→ khi t < 0
Suy ra ktu→ ngược hướng với vectơ u→ khi kt < 0.
Do đó nếu kt < 0 thì cả hai vectơ ktu→,ktu→ ngược hướng với u→ .
Vậy khẳng định c) là đúng.
d) Hai vectơ ktu→ và ktu→ có cùng độ dài (theo ý a)
Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ ktu→,ktu→ cùng hướng với u→ .
Suy ra hai vectơ ktu→,ktu→ cùng hướng .
Nếu kt < 0 thì cả hai vecto ktu→,ktu→ ngược hướng với u→.
Suy ra hai vectơ ktu→,ktu→ cùng hướng.
Do đó hai vectơ ktu→,ktu→ cùng hướng với mọi k, t.
⇒ktu→=ktu→
Vậy khẳng định d) đúng.
Hãy chỉ ra trên Hình 4.25 hai vecto 3u→+v→ và 3u→+3v→. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa 3u→+v→ và 3u→+3v→.
Xét hình bình hành OEMF, ta có:
u→+v→=OE→+OF→=OM→ (quy tắc hình bình hành)
⇒3u→+v→=3OM→=OC→ (1)
Xét hình bình hành OACB, ta có:
3u→+3v→=OA→+OB→=OC→ (quy tắc hình bình hành) (2)
Từ (1) và (2)⇒3u→+v→=3u→+3v→=OC→
Vậy 3u→+v→=3u→+3v→.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:
OA→+OB→+OC→=3OG→
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA→+GB→+GC→=0→.
Do đó: OA→+OB→+OC→=OG→+GA→+OG→+GB→+OG→+GC→
=3OG→+GA→+GB→+GC→=3OG→+0→=3OG→.
Vậy OA→+OB→+OC→=3OG→.
Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto u→,v→ theo hai vecto a→,b→, tức là tìm các số x, y, z, t để u→=xa→+yb→,v→=ta→+zb→.
Ta có hình vẽ sau:
Xét hình bình hành OABC, có:
OA→=a→,OC→=2b→,OB→=u→
Khi đó, ta có:
u→=OB→=OA→+OC→=a→+2b→ (quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OMNP, có:
ON→=v→,OM→=3b→,OP→=−2a→
Khi đó, ta có:
v→=ON→=OM→+OP→=3b→−2a→=−2a→+3b→.
Vậy u→=a→+2b→,v→=−2a→+3b→.
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị AM→ theo hai vecto AB→ và AD→.
Ta có hình vẽ sau:
Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành
Ta có: AB→+AC→=AE→ (quy tắc hình bình hành)
Mà AE→=2AM→
⇒AM→=AB→+AC→2
Ta lại có: AC→=AB→+AD→ (quy tắc hình bình hành)
⇒AM→=AB→+AB→+AD→2=2AB→+AD→2=AB→+12AD→.
Vậy AM→=AB→+12AD→.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng BC→+AD→=2MN→=AC→+BD→.
Ta có: AC→+BD→=AD→+DC→+BC→+CD→=AD→+BC→+DC→+CD→=AD→+BC→
(Do DC→+CD→=0→) (1)
Ta có: BC→+AD→=NC→−NB→+ND→−NA→=NC→+ND→−NB→+NA→ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BC→+AD→=2MN→=AC→+BD→.
Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Hãy xác định điểm K sao cho KA→+2KB→=0→.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: OK→=13OA→+23OB→.
a) Cách 1:
Giả sử có điểm K thỏa mãn KA→+2KB→=0→. Khi đó KA→=−2KB→ . Suy ra hai vectơ KA⇀ và KB⇀cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.
Cách 2:
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra MA→+MB→=0→ .
Khi đó ta có: KA→+2KB→=0→.
⇔KM→+MA→+2KM→+MB→=0→⇔KM→+MA→+2KM→+2MB→=0→⇔KM→+2KM→+MA→+MB→+MB→=0→⇔3KM→+MB→=0→ (vì MA→+MB→=0→)⇔3KM→=−MB→⇔3KM→=BM→⇔KM→=13BM→⇔MK→=13MB→
Suy ra vecto MK⇀ cùng hướng với vectơ MB⇀ và thỏa mãn
Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn MK=13MB.
b)
Cách 1:
Ta có:
13OA→+23OB→=13OK→+KA→+23OK→+KB→=13OK→+13KA→+23OK→+23KB→=13OK→+23OK→+13KA→+23KB→=OK→+13KA→+2KB→
Mà KA→+2KB→=0→ (theo câu a) do đó 13OA→+23OB→=OK→+13.0→=OK→
Vậy với mọi điểm O, ta có: OK→=13OA→+23OB→.
Cách 2:
Ta có: OK→=OM→+MK→
Theo câu a ta có MK→=13MB→=13MO→+OB→
Do đó OK→=OM→+MK→=OM→+13MO→+OB→=OM→+13MO→+13OB→
=OM→−13OM→+13OB→=23OM→+13OB→
OA→+OB→=2OM→⇒OM→=12OA→+OB→
Vì M là trung điểm của AB nên OA→+OB→=2OM→⇒OM→=12OA→+OB→
=23.12OA→+OB→+13OB→=13OA→+OB→+13OB→
⇒OK→=13OA→+13OB→+13OB→=13OA→+23OB→
Vậy với mọi điểm O, ta có: OK→=13OA→+23OB→.
Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để MA→+MB→+2MC→=0→.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: OA→+OB→+2OC→=4OM→.
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có: .
Xét MA→+MB→+2MC→=0→
MG→+GA→+MG→+GB→+2MG→+2GC→=0→⇔4MG→+GA→+GB→+GC→+GC→=0→⇔4MG→+GC→=0→⇔MG→=14CG→
Suy ra điểm M nằm giữa C và G sao cho MG=14CG.
b) Ta có: VT=OA→+OB→+2OC→=OM→+MA→+OM→+MB→+2OM→+2MC→
=4OM→+MA→+MB→+2MC→=4OM→=VP.
(Do MA→+MB→+2MC→=0→)
Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1→,F2→,F3→như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là F1→+F2→+F3→=0→). Tính độ lớn của các lực F2→,F3→, biết F1→ có độ lớn là 20N.
Ta có: F1→+F2→+F3→=0→
⇔F1→+F2→=−F3→
Mà F1→+F2→=OA→+OB→=OD→ (OBDA là hình bình hành)
⇒OD→=−F3→
=> Hai vecto OD→ và F3→ là hai vecto đối nhau
⇒OD→=−F3→ và BOD^=600.
Ta lại có: BD→=F1→
Xét ΔOBD, có:
OB=BDtan600=203N⇒F2→=203N.OD=BDsin600=4033N⇒F3→=4033N.
Vậy độ lớn vecto F2→,F3→ lần lượt là 203N,4033N.
