Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án

+) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{AB}$  cùng hướng và cùng độ lớn với $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ ;

+)  $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}$nên $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ .

Do đó $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$

Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC

Hay B là trung điểm của AC.

Vậy điểm C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.

a) Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm)

Lại vecto $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{AB}$ 

b)Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với vecto $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2AB$.

Do đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Tích của vecto $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ với số thực k = 1 > 0 là vecto kí hiệu là $1\overrightarrow{a}$, vecto này cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $1\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Do đó $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.$

+) Ta có:

Điểm M biểu diễn cho số $\sqrt{2}$ nên $OM=\sqrt{2}$

Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1

Điểm N biểu diễn cho số $-\sqrt{2}$ nên $ON=\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$

Khi đó:

Vecto $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{OA}$ và $OM=\sqrt{2}OA$.

Vecto $\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{OA}$ và $ON=\sqrt{2}OA$.

Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$ là $\overrightarrow{OM}=\sqrt{2}\overrightarrow{OA}.$

Vectơ $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ có k = -1 < 0 nên $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $\left|-1\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|.$

Vectơ $-\overrightarrow{a}$ là vecto đối của vecto $\overrightarrow{a}$ nên $-\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $\left|\overrightarrow{a}\right|.$

Do đó vecto $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $-\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng nhau.

Vì vậy $\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.$

a) Nếu M thuộc đường thẳng d thì $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$

Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$

Nếu tồn tại số t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$ hay $\overrightarrow{AM}$ trùng với $\overrightarrow{AB}$.

Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.

Vì thế khẳng định a) đúng.

b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương. Do đó $\overrightarrow{AM}\ne \frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}.$

Vì vậy khẳng định b) sai.

c) Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB:

a) Ta có: $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|k\right|\left|t\overrightarrow{u}\right|=\left|k\right|\left|t\right|\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

và $\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Suy ra $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|.$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vecto $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt ≥ 0

Vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$ khi k ≥ 0

Vecto $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi t ≥ 0

Suy ra $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt ≥ 0.

Do đó nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Vecto $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt < 0

Vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$ khi k < 0

Vecto $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi t < 0

Suy ra $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt < 0.

Do đó nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$ .

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài (theo ý a)

Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ .

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng .

Nếu kt < 0 thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k\left(t\overrightarrow{u}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{u}$

Vậy khẳng định d) đúng.

Xét hình bình hành OEMF, ta có:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{\text{OF}}=\overrightarrow{OM}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}$  (1)

Xét hình bình hành OACB, ta có:

$3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành)  (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\left(=\overrightarrow{OC}\right)$

Vậy $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}.$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{OG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{OG}.$

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$

Xét hình bình hành OABC, có:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{b},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{u}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{b},\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{a}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$ . Suy ra hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{KA}$ và  $\stackrel{\rightharpoonup }{KB}$cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ .

Khi đó ta có: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

$$\begin{gathered} \iff \left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MA}\right)+2\left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}\right)=\overrightarrow{0} \\ \iff \overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{KM}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \\ \iff \left(\overrightarrow{KM}+2\overrightarrow{KM}\right)+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \\ \iff 3\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} (vì \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}) \\ \iff 3\overrightarrow{KM}=-\overrightarrow{MB} \\ \iff 3\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{BM} \\ \iff \overrightarrow{KM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BM} \\ \iff \overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB} \end{gathered}$$

Suy ra vecto $\stackrel{\rightharpoonup }{MK}$ cùng hướng với vectơ  $\stackrel{\rightharpoonup }{MB}$ và thỏa mãn

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn $MK=\frac{1}{3}MB.$

b)

Cách 1:

Ta có:  

 $$\begin{gathered} \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB} \\ =\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}\right)+\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\right)=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}\right) \end{gathered}$$

Mà  $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ (theo câu a) do đó  $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OK}$

Vậy với mọi điểm O, ta có:  $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}$

Theo câu a ta có  $\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)$

Do đó $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MO}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

 $$\begin{gathered} =\overrightarrow{OM}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \end{gathered}$$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

Vì M là trung điểm của AB nên  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

$=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

Vậy với mọi điểm O, ta có:  $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

b) Ta có:  $VT=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{MC}$

$=4\overrightarrow{OM}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)=4\overrightarrow{OM}=VP.$

(Do $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$)

Ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$

Mà $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ (OBDA là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{F_3}$

=> Hai vecto $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{OD}\right|=\left|-\overrightarrow{F_3}\right|$ và $\widehat{BOD}={60}^0$.

Ta lại có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{F_1}$

Xét ΔOBD, có:

$$\begin{gathered} OB=\frac{BD}{\tan {60}^0}=\frac{20}{\sqrt{3}}\left(N\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_2}\right|=\frac{20}{\sqrt{3}}N. \\ OD=\frac{BD}{\sin {60}^0}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\left(N\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_3}\right|=\frac{40\sqrt{3}}{3}N. \end{gathered}$$

Vậy độ lớn vecto $\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt là $\frac{20}{\sqrt{3}}N,\frac{40\sqrt{3}}{3}N.$