Bài tập Ôn cuối năm - Phần Hình Học
22 câu hỏi
Cho điểm M và hai đường thẳng a, b không song song với nhau (h.59).
Vẽ đường thẳng MH vuông góc với a (H ∈ a), MK vuông góc với b (K ∈ b). Nêu cách vẽ.
Sử dụng êke
Trước hết, ta nêu cách vẽ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Cách vẽ dùng êke và thước kẻ:
- Cho trước đường thẳng a và M ∉ a.
Đặt một lề êke trùng với a, dịch chuyển êke trên a sao cho lề thứ hai của êke sát vào M
- Vẽ đường thẳng sát lề thứ hai của êke qua M cắt a tại H, ta được MH ⏊ a tại H ∈ a
Tương tự vẽ MK ⏊ b tại K ∈ b.
Cho điểm M và hai đường thẳng a, b không song song với nhau (h.59)
Qua M vẽ đường thẳng xx' song song với a và đường thẳng yy' song song với b. Nêu cách vẽ.
Sử dụng êke
* Để vẽ đường thẳng xx’ đi qua M và song song với a, ta chỉ cần vẽ đường thẳng vuông góc với MH.
Thật vậy vì xx’ ⏊ MH, MH ⏊ a ⇒ xx’ // a.
Cách vẽ:
Đặt ê ke sao cho đỉnh góc vuông trùng với điểm M, một cạnh góc vuông trùng với MH.
Vẽ đoạn thẳng trùng với cạnh góc vuông còn lại của eke.
Kéo dài đoạn thẳng ta được đường thẳng xx’ cần vẽ.
* Tương tự với đường thẳng yy’
Cho điểm M và hai đường thẳng a, b không song song với nhau (h.59)
Nêu tên các cặp góc bằng nhau, bù nhau.
Hình 59
Giả sử a cắt yy’ tại E và b cắt xx’ tại F.
- Một số cặp góc bằng nhau:
Xem hình 60.
Giải thích vì sao a//b.
Theo hình vẽ ta có: a ⊥ MN, b ⊥ MN ⇒ a // b (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xem hình 60.
Tính số đo góc NQP.
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
CE = OD
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
CE ⊥ CD
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
CA = CB
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
CA // DE
Hai tam giác vuông ΔDCE và ΔCDA có :
CD chung
CE = AD (do ∆BCE = ∆CDA)
⇒ ∆DCE = ∆CDA (hai cạnh góc vuông)
ho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Chứng minh tương tự như d suy ra CB // DE.
Do đó theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra hai đường thẳng BC và CA trùng nhau hay A, B, C thẳng hàng.
Tính số đo x trong mỗi hình 62, 63, 64:
+ Hình 62:
• ∆ABC có AC = AB ⟹ ∆ABC cân tại A 
• ∆ABC vuông tại A 
(trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau) hay
+ Hình 63: Vẽ tia Ct // BA ( tia BA và tia Ct thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ BC)
+ Hình 64:
Cho tam giác ADC (AD = DC) có góc ACD = 31o. Trên cạnh AC lấy một điểm B sao cho góc ABD = 88o. Từ C kẻ một tia song song với BD cắt tia AD ở E.
Hãy tính các góc DCE và DEC.
Cho tam giác ADC (AD = DC) có góc ACD = 31o. Trên cạnh AC lấy một điểm B sao cho góc ABD = 88o. Từ C kẻ một tia song song với BD cắt tia AD ở E.
Trong tam giác CDE, cạnh nào lớn nhất? Tại sao?
Từ một điểm M trên tia phân giác của góc nhọn xOy, kẻ đường vuông góc với cạnh Ox (tại A), đường thẳng này cắt cạnh Oy tại B.
Hãy so sánh hai đoạn thẳng OA và MA.
vuông tại A có
Từ một điểm M trên tia phân giác của góc nhọn xOy, kẻ đường vuông góc với cạnh Ox (tại A), đường thẳng này cắt cạnh Oy tại B.
Hãy so sánh hai đoạn thẳng OB và OM
Xét là góc ngoài tại M
Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
ΔABE = ΔHBE.
Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H có :
BE chung
⇒ ΔABE = ΔHBE (cạnh huyền – góc nhọn)
Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
ΔABE = Δ HBE
⇒ BA = BH, EA = EH (các cặp cạnh tương ứng)
⇒ E, B cùng thuộc trung trực của AH
nên đường thẳng EB là trung trực của AH.
Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
EK = EC.
Xét ΔAEK vuông tại A và ΔHEC vuông tại H có:
AE = EH (chứng minh trên)
⇒ ΔAEK = ΔHEC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
⇒ EK = EC (hai cạnh tương ứng)
Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC (H ∈ BC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:
AE < EC
ΔEHC vuông tại H có EH < EC (cạnh huyền là lớn nhất trong tam giác vuông)
mà EH = AE (câu b) nên AE < EC.
Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại A.
Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách mép (h.65). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc với cạnh AB tại A.
Chứng minh tam giác vuông:
Cho hình 66. Không vẽ giao điểm của a, b, hãy nêu cách vẽ đường thẳng đi qua giao điểm này và điểm M.
Áp dụng kết quả bài tập 69 (chương III – SGK) ta có cách vẽ sau:
- Vẽ đường thẳng d qua M và vuông góc với a.
- Vẽ đường thẳng l qua M và vuông góc với b.
- d cắt a, b lần lượt tại A và B.
- l cắt a, b lần lượt tại C và D.
- Vẽ đường thẳng c qua M vuông góc với BC
⇒ c là đường qua M và qua giao điểm của hai đường a, b
Chứng minh:
Giả sử a cắt b tại điểm O.
Khi đó BA, DC là hai đường cao của ∆OBC.
Mà BA và DC cắt nhau tại M nên M là trực tâm ∆OBC.
Do đó OM cũng là đường cao nên OM ⟘ BC hay đường thẳng qua M vuông góc với BD thì đi qua O.
Đố: Cho tam giác ABC. Em hãy tô màu để xác định phần bên trong của tam giác gồm các điểm M sao cho:
MA < MB < MC.
Áp dụng kết quả bài 70 (chương III – SGK) ta có:
MA < MB khi M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường trung trực của AB (phần gạch chéo)
MB < MC khi M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường trung trực của BC (phần được chấm chấm).
(Cách chứng minh xem lại bài 70).
Phần giao của hai nửa mặt phẳng trên là phần hình chứa điểm M thỏa mãn MA < MB < MC (phần hình được tô màu xanh).
