Bài tập Nhị thức Newton có đáp án

Hướng dẫn giải

Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 4; n = 5.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(C_3^0 = 1,\,\,C_3^1 = 3,\,\,C_3^2 = 3,\,\,C_3^3 = 1\).

Vì (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³

và theo ý trên ta có: \(C_3^0 = 1,\,\,C_3^1 = 3,\,\,C_3^2 = 3,\,\,C_3^3 = 1\).

Vậy ta điền được như sau:

(a + b)³  

Hướng dẫn giải

Ta có: (2 + x)⁴ = 2⁴ + 4 . 2³ . x + 6 . 2² . x² + 4 . 2 . x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Hướng dẫn giải

Ta có: (2 – 3y)⁴ = [2 + (– 3y)]⁴

= 2⁴ + 4 . 2³ . (– 3y) + 6 . 2² . (– 3y)² + 4 . 2 . (– 3y)³ + (– 3y)⁴

= 16 – 96y + 216y² – 216y³ + 81y⁴.

Hướng dẫn giải

 \(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4\)

\( = C_4^0\,.\,{1^4}\, + C_4^1\,.\,{1^3}\,.\,1 + C_4^2{.1^2}{.1^2} + C_4^3{.1.1^3} + C_4^4{.1^4}\)

= (1 + 1)⁴

= 2⁴ = 16.

Lời giải:

\(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\)

= \(C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.\left( { - 1} \right) + C_5^2{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 1} \right)^5}\)

= [1 + (– 1)]⁵

= 0⁵ = 0.

Hướng dẫn giải

a) (2x + 1)⁴ = (2x)⁴ + 4 . (2x)³ . 1 + 6 . (2x)² . 1² + 4 . (2x) . 1³ + 1⁴

= 16x⁴ + 32x³ + 24x2² + 8x + 1.

Lời giải:

(3y – 4)⁴ = [3y + (– 4)]⁴

= (3y)⁴ + 4 . (3y)³ . (– 4) + 6 . (3y)² . (– 4)² + 4 . (3y) . (– 4)³ + (– 4)⁴

= 81y⁴ – 432y³ + 864y² – 768y + 256.

Lời giải:

\({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^4}\)\( = {x^4} + 4.{x^3}.\frac{1}{2} + 6.{x^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 4.x.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\)

\( = {x^4} + 2{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}\).

Lời giải:

\({\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^4}\)\( = {\left[ {x + \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right]^4}\)

\( = {x^4} + 4.{x^3}.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6.{x^2}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + 4.x.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4}\)

\( = {x^4} - \frac{4}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{{27}}x + \frac{1}{{81}}\).

Hướng dẫn giải

(x + 1)⁵ = x⁵ + 5 . x⁴ . 1 + 10 . x³ . 1² + 10 . x² . 1³ + 5 . x . 1⁴ + 1⁵

= x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1.

Lời giải:

(x – 3y)⁵ = [x + (– 3y)]⁵

= x⁵ + 5 . x⁴ . (– 3y) + 10 . x³ . (– 3y)² + 10 . x² . (– 3y)³ + 5 . x . (– 3y)⁴ + (– 3y)⁵

= x⁵ – 15x⁴y + 90x³y² – 270x²y³ + 405xy⁴ – 243y⁵.

Hướng dẫn giải

Số hạng chứa x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là \(C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.2\).

Ta có: \(C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.2 = 5.81.2.{x^4} = 810{x^4}\).

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là 810.

Hướng dẫn giải

Áp dụng nhị thức Newton ta có:

\({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = {\left[ {1 + \left( { - \frac{1}{2}x} \right)} \right]^5}\)\( = {1^5} + {5.1^4}.\left( { - \frac{1}{2}x} \right) + {10.1^3}.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2} + {10.1^2}.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} + 5.1.{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5}\)

\( = 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5}\)

\( = 1 + \left( { - \frac{5}{2}} \right)x + \frac{5}{2}{x^2} + \left( { - \frac{5}{4}} \right){x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} + \left( { - \frac{1}{{32}}} \right){x^5}\).

a₃ chính là hệ số của x³ trong khai triển biểu thức \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5}\).

Do đó, \({a_3} = - \frac{5}{4}\).

Lời giải:

Tương tự câu a, ta có: \({a_0} = 1,\,\,{a_1} = - \frac{5}{2},\,{a_2} = \frac{5}{2},\,\,{a_4} = \frac{5}{{16}},\,\,{a_5} = - \frac{1}{{32}}\).

Do đó, a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = \(1 + \left( { - \frac{5}{2}} \right) + \frac{5}{2} + \left( { - \frac{5}{4}} \right) + \frac{5}{{16}} + \left( { - \frac{1}{{32}}} \right)\)\( = \frac{1}{{32}}\).

Vậy a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ \( = \frac{1}{{32}}\).

Hướng dẫn giải

Mỗi cách trích ra một tập con gồm a phần tử trong 5 phần tử của A chính là một tổ hợp chập a của 5, hay số tập con gồm a phần tử của A là \(C_5^a\).

Số tập hợp con có 0 phần tử của A là \(C_5^0\).

Số tập hợp con có 1 phần tử của A là \(C_5^1\).

Số tập hợp con có 2 phần tử của A là \(C_5^2\).

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là \(C_5^3\).

Số tập hợp con có 4 phần tử của A là \(C_5^4\).

Số tập hợp con có 5 phần tử của A là \(C_5^5\).

Do đó, số tập hợp con của A là: \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 32\).

Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.