15 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Nhi thức Newton có đáp án
15 câu hỏi
Trong khai triển nhị thức (a + 2)n - 5 (n \( \in \) ℕ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng
17;
21;
25;
11.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là:D
Ta có trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng
Trong khai triển (a + 2)n - 5 (n \( \in \) ℕ) có tất cả 6 số hạng nên ta có n – 5 = 6
Vậy n = 11.
Khai triển các biểu thức sau: (a + 2)4 là:
a4 + 24;
a4 + 2a2b2 + 24;
a4 + 8a3 + 24a2 + 32a + 16;
a4 + 32a3 + 24a2 + 8a + 16.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: (a + 2)4 = a4 + 4.a3.2 + 6.a2.22 + 4.a.23 + 24 = a4 + 8a3 + 24a2 + 32a + 16.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\);
\({\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = {b^4} + 4{b^3}a + 6{b^2}{a^2} + 4b{a^3} + {a^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + {b^4}\).
Hướng dẫn giải.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\). Do đó A, C đúng và D sai.
\({\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\). Do đó B đúng.
Số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức (2x + 3)5 là:
32x4;
240x4;
720;
240.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có (a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Do đó: (2x + 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4.3 +10(2x)3.32 + 10(2x)2.33 + 5.(2x).34 + 35
= 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1 080x2 + 810x + 243
Vậy trong khai triển số hạng chứa x4 là 240x4.
Hệ số của x5 trong khai triển của (5 – 2x)5 là
400;
– 32;
3 125;
– 6 250.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có (a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Do đó: (5 – 2x)5 = 55 + 5.54.(– 2x) + 10.53.(– 2x) 2 + 10.52.(– 2x)3 + 5.5.(– 2x)4 + (– 2x)5
= 3 125 – 6 250x + 5 000x2 – 2 000x3 + 400x4 – 32x5
= – 32x5 + 400x4 – 2 000x3 + 5 000x2 – 6 250x + 3 125
Hệ số của x5 trong khai triển là – 32.
Tổng hệ số của x3 và x2 trong khai triển (1 + 2x)4 là :
24;
44;
20;
54.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 5a2b2 + 4ab3 + b4.
Do đó (1 + 2x)4 = 14 + 4.13.(2x) + 5.12.(2x)2 + 4.1.(2x)3 + (2x)4
= 1 + 8x + 20x2 + 24x3 + 16x4
Suy ra hệ số của x3 là 24 và hệ số của x2 là 20. Khi đó ta có tổng hai hệ số bằng 24 + 20 = 44.
Trong khai triển nhị thức (2a + 1)5 ba số hạng đầu là:
32a5 + 40a4 + 10a3;
80a5 + 80a4 + 40a3;
32a5 + 80a4 + 40a3;
32a5 + 80a4 + 80a3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có khai triển
(2a + 1)5 = \(C_5^0\)(2a)5(1)0 + \(C_5^1\)(2a)4(1)1 + \(C_5^2\)(2a)3(1)2 + \(C_5^3\)(2a)2(1)3 + \(C_5^4\)(2a)(1)4 + \(C_5^5\)(2a)0(1)5 = 32a5 + 80a4 + 80a3 + 40a2 + 10a + 1
Vậy 3 số hạng đầu của khai triển là 32a5 + 80a4 + 80a3
Khai triển nhị thức (x + y)4 ta được kết quả là:
x4 – 4x3y + 6x2y2 – 6xy3 + y4;
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 6xy3 + y4;
x4 + 4x3y + 8x2y2 + 8xy3 + y4.
x4 – 4x3y + 8x2y2 - 8xy3 + y4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Khai triển nhị thức
(x + y)4 = \(C_4^0\)(x)4(y)0 + \(C_4^1\)(x)3(y)1 + \(C_4^2\)(x)2(y)2 + \(C_4^3\)(x)(y)3 + \(C_4^4\)(x)0(y)4
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 6xy3 + y4.
Trong khai triển (x + 2y)5 số hạng chứa x2y3 là:
80x2y3;
40x2y3;
80;
10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là:A
Ta có (a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Do đó: (x + 2y)5 = x5 + 5.x4.(2y) + 10.x3.(2y)2 + 10.x2.(2y)3 + 5.x.(2y)4 + (2y)5
= x5 + 10x4.y + 40x3.y2 + 80x2.y3 + 80x.y4 + 32y5
Số hạng cần tìm chứa x2y5 nên ta có 80x2y3
Hệ số của x2 trong khai triển (2 – 3x)3 là k. Nhận xét nào sau đây đúng về k ?
k là một số tự nhiên;
k là một số nguyên âm;
k là một số nguyên dương;
k = 0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: (2x – 3)3 = (2x)3 + 2.(2x)2.(– 3) + 2.(2x).(– 3)2 + (– 3)3 = 8x3 – 24x2 + 36x – 27.
Hệ số của x2 là k = – 24.
Vậy k là một số nguyên âm.
Cho số tự nhiên n thỏa mãn \[A_n^2 + 2C_n^n = 22\]. Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển của biểu thức (3x – 4)n bằng
– 4320;
– 1440;
4320;
1080.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \)ℕ.
Ta có \[A_n^2 + 2C_n^n = 22\]\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 2 = 22\]
\( \Leftrightarrow \) n(n – 1) = 20
\( \Leftrightarrow \)n = 5 hoặc n = – 4
Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn
Ta có (a + b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Thay a = 3x; b = – 4 vào công thức ta có:
(3x – 4)5 = (3x)5 + 5(3x)4.(– 4) +10.(3x)3(– 4)2 + 10.(3x)2(– 4)3 + 5(3x)(– 4)4 + (– 4)5
= 243x5 – 1620x4 + 4 320x3 – 5 760x2 + 3 840x – 1 024
Vậy hệ số của x3 là 4 320.
Khai triển nhị thức (2x + 3)4 ta được kết quả là
x4 + 216x3 + 216x2 + 96x + 81;
16x4 + 216x3 + 216x2 + 96x + 81;
16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81;
x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khai triển nhị thức
(2x + 3)4 = \(C_4^0\)(2x)4(3)0 + \(C_4^1\)(2x)3(3)1 + \(C_4^2\)(2x)2(3)2 + \(C_4^3\)(2x)1(3)3 + \(C_4^4\)(2x)0(3)4 = 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 8
Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 10\), hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^3} + \frac{2}{x}} \right)^n}\) bằng
0;
8;
20;
32.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \)ℕ.
Ta có \(C_n^1 + C_n^2 = 55\)\( \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\)
\( \Leftrightarrow \)n2 + n – 20 = 0
\( \Leftrightarrow \)n = – 5 hoặc n = 4
Kết hợp với điều kiện n = 4.
Ta có: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 5a2b2 + 4ab3 + b4
Thay a = x3; b = \(\frac{2}{x}\) vào công thức ta có:
\({\left( {{x^3} + \frac{2}{x}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4{\left( {{x^3}} \right)^3}.\left( {\frac{2}{x}} \right) + 5.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^1}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\)
\( = {x^{12}} + 8.{x^8} + 20.{x^4} + 32 + \frac{{16}}{{{x^4}}}\)
Vậy hệ số của x5 trong khai triển là bằng 0.
Tính giá trị biểu thức \(T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4\)
\(\frac{3}{2}\);
\(\frac{9}{{16}}\);
\(\frac{{81}}{{16}}\);
\(\frac{{27}}{{16}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4\)
\( = C_4^0{.1^4}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + C_4^3.1.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\)
\( = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{{81}}{{16}}\).
Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_{n + 1}^3 + A_n^2 = 14\left( {n - 1} \right)\). Trong khai triển biểu thức (x3 + 2y2)n, gọi Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 11. Hệ số của Tk là
1;
8;
20;
16.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện n ≥ 2; n \( \in \)ℕ.
Ta có \[3C_{n + 1}^3 + A_n^2 = 14\left( {n - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 14\left( {n - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{2} + n\left( {n - 1} \right) = 14\left( {n - 1} \right)\]
\( \Leftrightarrow \) n2 + 3n – 28 = 0
\( \Leftrightarrow \)n = – 7 hoặ n = 4
Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn
Ta có (x3 + 2y2)4 = (x3)4 + 4.(x3)3.(2y2) + 5.(x3)2.(2y2)2 + 4.(x3)1.(2y2)3 + (2y2)4
= x12 + 8x9.y2 + 20x6.y4 + 32x3.y6 + 16y8
Tk là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 11 nên Tk = 8x9.y2
