Bài tập Nhận biết, chứng minh một tứ giác là hình bình hành lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Xét 2 tam giác ∆ABD và ∆EBF, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat B & (chung)\\\frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{BD}}{{BF}} = 2\end{array} \right.\)=> ∆ABD đồng dạng ∆EBF (cạnh – góc – cạnh)

Khi đó: \(\widehat {BEF} = \widehat {BAD}\) (ở vị trí đồng vị) suy ra EF // AD và \(\frac{{AD}}{{EF}} = \frac{{AB}}{{EB}} = 2\) (1)

Chứng minh tương tự: ∆ACD đồng dạng ∆HCG (cạnh – góc – cạnh)

Khi đó: \(\widehat {CHG} = \widehat {CAD}\) (ở vị trí đồng vị) suy ra HG // AD và \(\frac{{AD}}{{HG}} = \frac{{AC}}{{HC}} = 2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Ta kết luận tứ giác EFGH là hình bình hành.

Đáp án đúng là: C

Định lí 3 khẳng định tứ giác có các góc đối bằng nhau hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Định lí 2 khẳng định tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

Phương án C sai vì tứ giác chỉ có một cặp cạnh đối song song thì mới là hình thang, chưa đủ điều kiện là hình bình hành. Theo định nghĩa, hình bình hành phải là tứ giác có các cạnh đối song song (cả 2 cặp).

Đáp án đúng là: D

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau chưa đủ cơ sở để khẳng định là hình bình hành.

Đáp án đúng là: A

Kẻ đường thẳng từ M song song với AB cắt AC tại N nên MN // AP.

Kẻ đường thẳng từ M song song với AC cắt AB tại P nên MP // AN.

Tứ giác ANMP có các cặp cạnh đối song song (MN // AP và MP // AN) nên tứ giác ANMP là hình bình hành.

Đáp án đúng là: C

Khi nối 4 đoạn dây xích xen kẽ nhau (đoạn dài, đoạn ngắn, đoạn dài, đoạn ngắn), ta được tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau (hai cạnh đối dài bằng nhau, hai cạnh đối ngắn bằng nhau). Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

Đáp án đúng là: D

Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°, suy ra \(\widehat D = 360^\circ - \left( {110^\circ + 70^\circ + 110^\circ } \right) = 70^\circ \).

Tứ giác ABCD có \(\widehat A = \widehat C = 110^\circ \) và \(\widehat B = \widehat D = 70^\circ \) nên nó là một hình bình hành.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Nối các điểm tạo thành tứ giác có hai đường chéo là AA' và BB'.

b) Sai. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

c) Đúng. Vì tứ giác ABA'B' là hình bình hành nên các cạnh đối phải bằng nhau. Do đó AB = A'B'.

d) Sai. Vì ABA'B' là hình bình hành nên AB' = A'B.

Do đó chu vi hình bình hành ABA'B' là 2(AB + AB').

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. AH vuông góc với BD và CK vuông góc với BD nên đoạn thẳng AH // CK.

b) Đúng. Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Vì AD // BC nên \(\widehat {ADH} = \widehat {CBK}.\)

c) Đúng. Xét ∆AHD vuông tại H và ∆CKB vuông tại K có:

AD = CB và \(\widehat {ADH} = \widehat {CBK}.\)

Do đó ∆AHD = ∆CKB (cạnh huyền – góc nhọn).

d) Đúng. Vì ∆AHD = ∆CKB suy ra AH = CK.

Tứ giác AHCK có cặp cạnh đối AH và CK song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, do đó \(\widehat {AED} = \widehat {EDC}\) (hai góc so le trong).

Mặt khác, DE là tia phân giác của góc D nên \(\widehat {ADE} = \widehat {EDC}\).

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\), do đó tam giác ADE cân tại đỉnh A.

b) Sai. Từ tam giác ADE cân tại A, suy ra AE = AD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC.

Ta có EB = AB – AE = AB – AD.

Tương tự, xét tia phân giác của góc B cắt CD tại F, ta chứng minh được tam giác CBF cân tại C, suy ra CF = BC = AD. Do đề bài chỉ cho điều kiện tổng quát AB > BC chứ không cho AB = 2BC, nên độ dài EB và CF không nhất thiết bằng nhau.

Do đó, khẳng định EB = CF là sai.

c) Đúng. Ta có AE = AD (do tam giác ADE cân tại A) và CF = BC (do tam giác CBF cân tại C).

Mặt khác, AD = BC (cạnh đối hình bình hành) nên AE = CF.

Lại có AB = CD, suy ra EB = AB – AE = CD – CF = DF.

Tứ giác DEBF có cặp cạnh đối EB và DF vừa song song vừa bằng nhau nên DEBF là hình bình hành.

d) Đúng. Vì tứ giác DEBF là hình bình hành nên hai đường chéo của tứ giác DEBF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O nên là hình bình hành.

Suy ra MN // PQ và MN = PQ.

Vì E, F lần lượt là trung điểm của MN, PQ nên \(ME = EN = \frac{1}{2}MN,\,\,QF = PF = \frac{1}{2}PQ.\)

Mà MN = PQ nên EN = FQ.

Tứ giác ENFQ có cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên chắc chắn là hình bình hành.

b) Đúng. Tứ giác ENFQ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của NQ nên điểm O cũng chính là trung điểm của EF.

Suy ra E, O, F thẳng hàng.

c) Đúng. Chứng minh tương tự, tứ giác MGPH có MG // PH và \(MG = PH = \frac{1}{2}MQ = \frac{1}{2}NP\) nên cũng là hình bình hành.

Hai đường chéo MP và GH phải cắt nhau tại trung điểm.

Vì O đã là trung điểm của MP nên O bắt buộc cũng là trung điểm của GH.

d) Đúng. Vì O đồng thời là trung điểm của cả EF và GH nên tứ giác EHFG là một hình bình hành.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Tứ giác AECF có AE // CF và AE = CF nên nó là một hình bình hành.

b) Sai. Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Vì AECF là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của EF.

Do đó ba điểm E, O, F thẳng hàng.

c) Đúng. Vì AECF là hình bình hành nên AF // CE.

Tứ giác AICK có AI // CK và AF // CE nên nó là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo IK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Như vậy bốn đường thẳng AC, BD, EF, IK đều đi qua O và O là trung điểm của chúng.

d) Đúng. Vì O là trung điểm của EF, IK nên tứ giác IEKF là hình bình hành.

Suy ra IF // EK.

Đáp án: 30.

Vì AB // CD và AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau nên AD = BC = 6 cm.

Chu vi tứ giác ABCD là:

AB + BC + CD + DA = 9 + 6 + 9 + 6 = 30 (cm).

Vậy chu vi tứ giác ABCD là 30 cm.

Đáp án: 15.

Tứ giác MNPQ có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

Do đó MN = PQ và NP = MQ.

Chu vi hình bình hành MNPQ là 50 cm, suy ra 2(MQ + QP) = 50 cm.

Suy ra MQ + PQ = 25 cm.

Theo giả thiết: MN – NP = 5 hay PQ – MQ = 5 cm.

Suy ra \(PQ = \frac{{25 + 5}}{2} = 15\) cm.

Đáp án: 10.

Tứ giác EFGH có EF = GH và EH = GF nên nó là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo EG và HF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra O là trung điểm của EG và FH.

Ta có \[OE = \frac{1}{2}EG = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\] (cm); \[OF = \frac{1}{2}FH = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\] (cm).

Chu vi tam giác OEF bằng OE + OF + EF = 24 cm.

Thay số vào ta có: 8 + 6 + EF = 24.

Suy ra EF = 24 – 14 = 10 cm.

Vậy GH = EF = 10 cm.

Đáp án: 8.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và CD = AB = 10 cm.

Tứ giác AECF có AE // CF và CE // AF nên tứ giác AECF là hình bình hành.

Suy ra CF = AE = 2 cm.

Do đó DF = CD – CF = 10 – 2 = 8 cm.

Đáp án: 14,5.

Xét hình bình hành ABCD có AD // BC và AD = BC.

Xét hình bình hành ACBE có AE // BC và AE = BC.

Như vậy, qua điểm A ta có hai đường thẳng AD và AE cùng song song với BC nên theo tiên đề Euclid, ba điểm E, A, D phải thẳng hàng.

Vì AE = AD (do cùng bằng BC), nên A chính là trung điểm của đoạn thẳng ED.

Suy ra ED = 2AD.

Tương tự, ta có A là trung điểm của đoạn thẳng FB.

Suy ra FB = 2AB.

Tứ giác FDEB có hai đường chéo ED và FB cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Suy ra EF = BD và DF = BE.

Vì ACBE là hình bình hành nên EB = AC.

Vì ACDF là hình bình hành nên FD = AC.

Khi đó, chu vi hình bình hành FDEB bằng 2(BD + BE) = 2(BD + AC) = 50 (cm).

Suy ra BD + AC = 25 (cm).

Lại có BD – AC = 4 cm nên \(BD = \frac{{25 + 4}}{2} = 14,5\) (cm).