Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Trong một phòng học có một số bàn, nếu xếp mỗi bàn 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ ngồi, nếu xếp mỗi bàn 4 học sinh thì thừa 1 bàn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bàn và bao nhiêu học sinh?
10 bàn và 36 học sinh.
15 bàn và 25 học sinh.
10 bản và 30 học sinh.
15 bàn và 35 học sinh.
Đáp án đúng là: A
Gọi số bàn trong phòng học là x (bàn), số học sinh của lớp là y (học sinh).
Điều kiện x, y ∈ N*.
Nếu xếp mỗi bàn 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ, ta có phương trình:
3x + 6 = y hay 3x – y = −6(1)
Nếu xếp mỗi bàn 4 học sinh thì thừa một bàn, ta có phương trình:
(x – 1)4 = y hay 4x – y = 4 (2)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = - 6\\4x - y = 4\end{array} \right.\).
Thay y = 4x – 4 vào (1) ta được 3x – 4x + 4 = −6 suy ra x = 10 (thỏa mãn).
Với x = 10 thì y = 36 (thỏa mãn)
Vậy số bàn trong phòng học là 10 bàn và số học sinh là 36.
Ban đầu, khán đài nhà thi đấu các nội dung thuộc môn Bơi chưa 1188 ghế được xếp thành các dãy, số lượng ghế ở các dãy bằng nhau. Để phục vụ nhu cầu khán giả, khán đài sau đó đã lắp thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy được lắp thêm 4 ghế. Vì thế, khán đài được tăng thêm 254 ghế. Hãy tính số dãy ghế ban đầu của khán đài.
12 dãy.
24 dãy.
16 dãy
14 dãy
Đáp án đúng là: A
Gọi số dãy ghế ban đầu của khán đài là x, số ghế mỗi dãy là y (x, y ∈ ℕ*).
Vì ban đầu, khán đài của nhà thì đấu chứa 1188 ghế nên ta có phương trình xy = 1188 (1)
Lúc sau, có số dãy ghế là x + 2 (dãy) và có y + 4 (ghế).
Vì lúc sau khán đài tăng thêm 254 ghế nên ta có phương trình
(x + 2)(y + 4) = xy + 254 hay 4x + 2y = 246 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 1188\\4x + 2y = 246\end{array} \right.\)
Thay y = 123 – 2x vào phương trình (1) ta được:
x(123 – 2x) = 1188 hay 2x2 – 123x + 1188 = 0
Giải phương trình, có ∆ = 1232 – 4.2.1188 = 5615 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = \(\frac{{99}}{2}\) (loại) và x2 = 12 (thỏa mãn).
Vậy số dãy ghế ban đầu của khán đài là 12 dãy.
Bạn A dự định mua 2 kg quả xoài và 2 kg quả vải hết 100 nghìn đồng. Thực tế, A mua 3 kg quả xoài và 1 kg quả vải hết 90 nghìn đồng. Tính giá tiền của 1 kg xoài và 1 kg vải.
1kg xoài giá 20 nghìn đồng, 1 kg vải giá 30 nghìn đồng.
1kg xoài giá 30 nghìn đồng, 1 kg vải giá 20 nghìn đồng.
1kg xoài giá 15 nghìn đồng, 1 kg vải giá 35 nghìn đồng.
1kg xoài giá 35 nghìn đồng, 1 kg vải giá 15 nghìn đồng.
Đáp án đúng là: A
Gọi x, y lần lượt là giá tiền của 1 kg xoài và 1 kg vải (0 < x, y, nghìn đồng).
Theo đề ta có 2 kg quả xoài và 2 kg quả vải hết 100 nghìn đồng nên 2x + 2y = 100 hay x + y = 50 (1).
Thực tế, mua 3 kg quả xoài và 1 kg quả vải hết 90 nghìn đồng nên có 3x + y = 90 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\3x + y = 90\end{array} \right.\).
Thay y = 50 – x vào (2) ta được 3x + 50 – x = 90 hay 2x = 40 suy ra x = 20 (thỏa mãn).
Với x = 20 thì y = 30 (thỏa mãn).
Vậy giá tiền 1 kg xoài là 20 nghìn đồng, giá tiền 1 kg vải là 30 nghìn đồng.
Lớp 9A giao cho An đi mua bánh kẹo tổ chức liên hoan. An mua tất cả 15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng. Biết rằng giá mỗi hợp bánh là như nhau, giá mỗi túi kẹo là như nhau và giá mỗi hộp bánh hơn túi keoh là 10 nghìn đồng. Tính giá tiền để mua một hộp bánh.
45 nghìn đồng.
35 nghìn đồng.
50 nghìn đồng.
55 nghìn đồng.
Đáp án đúng là: A
Gọi x, y (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền của một hộp bánh và một túi kẹo (0 < x, y).
An mua 15 hộp bánh và 5 túi kẹo nên số tiền phải trả là 850 nghìn đồng nên ta có phương trình: 15x + 5y = 850 (1).
Vì giá một hộp bánh hơn giá một túi kẹo 10 nghìn đồng nên ta có phương trình x – y = 10 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}15x + 5y = 850\\x - y = 10\end{array} \right.\).
Thay x = y + 10 vào (2) ta được 15.(y + 10) + 5y = 850 suy ra y = 35 (thỏa mãn).
Với y = 35 thì x = 45 (thỏa mãn).
Vậy số tiền phải trả cho một hộp bánh là 45 nghìn đồng, giá tiền cho một túi kẹo là 35 nghìn đồng.
Một đoàn khách đi du lịch gồm 40 người dự định tham quan núi Bà Đen bằng cáp treo. Nhưng khi tới nơi 5 bạn trẻ muốn khám phá bằng đường bộ nên lúc xuống sẽ đi cáp treo để trải nghiệm nên 5 bạn chỉ mua vé lượt xuống, do đó đoàn đã chi ra 9 450 000 đồng để mua vé. Hỏi giá cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt là bao nhiêu? Biết rằng giá vé 1 lượt rẻ hơn vé khứ hồi 110 000 đồng.
140 000 đồng.
250 000 đồng.
120 000 đồng.
200 000 đồng.
Đáp án đúng là: B
Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt (0 < y < x và x > 110 000).</>
Vì giá vé cáp treo 1 lượt rẻ hơn vé khứ hồi 110 000 nên ta có phương trình: x – y = 110 000 (1)
Có 35 người mua vé khứ hồi và 5 người mua vé 1 lượt nên ta có phương trình: 35x + 5y = 9 450 000 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 110000\\35x + 5y = 9450000\end{array} \right.\).
Thay x = y + 110 000 vào (2) ta được:
35. (y + 110 000) + 5y = 9 450 000 suy ra y = 140 000 (thỏa mãn).
Với y = 140 000 thì x = 250 000 (thỏa mãn).
Vậy giá vé cáp treo khứ hồi là 250 000 đồng và giá vé cáp treo 1 lượt là 140 000 đồng.
Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì sẽ bằng \(\frac{4}{5}\) số sách ở giá thứ nhất. Hỏi số sách ở giá thứ hai bằng bao nhiêu?
300 quyển.
150 quyển.
250 quyển.
350 quyển.
Đáp án đúng là: B
Gọi số sách ở giá thứ nhất là x ( cuốn).
Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn), (x, y ∈ N*; x > 50, x < 450, y < 450)
Hai giá sách có tất cả 450 cuốn nên x + y = 450 (1)
Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất khi đó là
x − 50 và số sách ở giá thứ hai là y + 50
Theo đầu bài ta có: y + 50 = \(\frac{4}{5}\)(x – 50) hay 4x – 5y = 450 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\4x - 5y = 450\end{array} \right.\)
Thay x = 450 – y vào (2) ta được 4(450 – y) – 5y = 450 suy ra y = 150 (thỏa mãn).
Thay y = 150 vào (1) suy ra x = 300 (thỏa mãn).
Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 quyển, giá thứ hai là 150 quyển.
>
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đặt ra mục tiêu mỗi ngày mỗi người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hài người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được bao nhiêu bước? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi).
105 bước.
95 bước.
6300 bước.
5700 bước.
Đáp án đúng là: C
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là x (bước), số bước chị Hà đi bộ trong 1 phút là y (bước) .
Điều kiện (x, y ∈ N*; y < x).
Trong 2 phút anh Sơn đi được 2x (bước), chị Hà đi được 2y (bước).
Nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sươn đi nhiều hơn chị Hà 20 nên ta có 2x – 2y = 20 hay x – y = 10 (1).
Do chị Hà đi 5 phút nhiều hơn anh Sơn đi 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình:
5y – 3x = 160 (2)
Từ (1) và (2) có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\5y - 3x = 160\end{array} \right.\).
Thay x = 10 + y vào phương trình (2) ta được 5y – 3(10 + y) = 160 suy ra y = 95 (thỏa mãn).
Thay y = 95 vào (1) ta được x = 105 (thỏa mãn).
Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh đi được là: 105.60 = 6300 (bước).
Mỗi ngày chị hà đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị đi được là 95.60 = 5700 (bước).
Anh Sơn đã đạt được mục tiêu (6000 bước).
Chị Hà thì không đạt được mục tiêu (chị đi được 5700 bước).
>
Hai bình nước A và B chứa lần lượt 56l và 44l nước. Nếu rót từ bình A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A sẽ là nửa bình. Nếu rót nước từ bình B sang bình A thì lượng nước còn lại trong bình B là \(\frac{1}{3}\) bình. Tính dung tích của mỗi bình.
Dung tích bình A là 80 lít và dung tích bình B là 60 lít.
Dung tích bình A là 60 lít và dung tích bình B là 80 lít.
Dung tích bình A là 65 lít và dung tích bình B là 75 lít
Dung tích bình A là 75 lít và dung tích bình B là 65 lít.
Đáp án đúng là: A
Gọi x, y lần lượt là dung tích bình A và B (0 < x, y, lít).
Vì bình A chứa 56 lít, bình B chứa 44 lít nên nếu rót bình A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A bằng nửa bình, do đó ta có phương trình:
56 – (y – 44) = \(\frac{1}{2}\)x hay x + 2y = 200 (1).
Tương tự, nếu rót từ bình B sang bình A thì lượng nước còn lại là \(\frac{1}{3}\) bình nên ta có phương trình: 44 – (x – 56) = \(\frac{1}{3}\)y hay 3x + y = 300 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 200\\3x + y = 300\end{array} \right.\).
Thay x = 200 – 2y vào (2) ta được 3.(200 – 2y) + y = 300 suy ra y = 60 (thỏa mãn).
Với y = 60 thì x = 80 (thỏa mãn).
Vậy thể tích bình A là 80 lít và bình B là 60 lít.
>
Trên cánh đồng đang cấy 60 ha lúa mới và 40 ha lúa cũ, thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa mới trên 1 ha là bao nhiêu, biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.
4 tấn.
5 tấn.
3 tấn.
6 tấn.
Đáp án đúng là: B
Gọi x, y (tấn) lần lượt là năng suất của giống lúa mới và giống lúa cũ trên 1ha.
Điều kiện: x > 0, y > 0.
Vì 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc ta có:
60x + 40y = 460 (1)
Vì 3ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4ha trồng lúa cũ là 1 tấn nên ta có:
4y – 3x = 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}60x + 40y = 460\\4y - 3x = 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 4y = 46\\4y - 3x = 1\end{array} \right.\).
Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được 9x = 45 suy ra x = 5 (thỏa mãn).
Với x = 5 thì y = 4 (thỏa mãn).
Vậy năng suất lúa giống mới là 5 tấn/ha, năng suất giống lúa cũ là 4 tấn/ha.
Nam có 360 viên bi trong hộp. Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng \(\frac{5}{7}\) số viên bi ở hộp thứ hai. Hỏi hộp thứ hai có bao nhiêu viên bi?
120 viên bi.
240 viên bi.
300 viên bi.
180 viên bi.
Đáp án đúng là: B
Gọi số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x, y (0 < x, y < 360, viên)
Vì Nam có 360 viên bi nên ta có phương trình x + y = 360 (viên bi) (1)
Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng \(\frac{5}{7}\) số viên bi ở hộp thứ hai nên ta có phương trình :
x + 30 = \(\frac{5}{7}\)(y – 30) hay 7x – 5y = −360 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\7x - 5y = - 360\end{array} \right.\).
Thay x = 360 – y vào phương trình (2) ta được: 7.(360 – y) – 5y = −360 suy ra y = 240 (thỏa mãn).
Với y = 240 thì x = 120 (thỏa mãn).
Vậy số viên bi ở hộp thứ nhất là 120 viên, số viên bi ở hộp thứ hai là 240 viên.
>
Lớp 9A và lớp 9B có tổng cộng \(86\) học sinh. Trong đợt thu nhặt giấy báo cũ thực hiện kế hoạch nhỏ, mỗi lớp có 3 bạn góp được \(5{\rm{ kg}}\), các bạn còn lại mỗi bạn góp \({\rm{2 kg}}{\rm{.}}\) Biết rằng lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A là \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ. Gọi \(x\) là số học sinh của lớp 9A, \(y\) là số học sinh của lớp 9B \(\left( {x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\). Khi đó:
Phương trình biểu diễn tổng số học sinh hai lớp là \(x + y = 86.\)
Phương trình biểu diễn mối liên hệ khối lượng giấy báo cũ giữa hai lớp là \(2x - 2y = 8.\)
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).
Lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Do đó, ý a) là đúng.
b) Sai.
Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ nên ta có phương trình:
\(2y + 9 - 2x - 9 = 8\) suy ra \(2y - 2x = 8\) hay \(y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Do đó, ý b) là sai.
c) Đúng.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là đúng.
d) Đúng.
Cộng theo vế hai phương trình ta được \(2y = 90\), suy ra \(y = 45\) (TM).
Thay \(y = 45\) vào phương trình (1), ta được \(x + 45 = 86\), suy ra \(x = 41\)(TM).
Vậy lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.
Do đó, ý d) là đúng.
Người ta cần sơn hai loại sản phẩm A và B bằng hai loại sơn: Sơn đỏ và sơn vàng. Lượng sơn để sơn mỗi loại sản phẩm đó được cho ở bảng (đơn vị: kg/ 1 sản phẩm):
Người ta đã sử dụng 80 kg sơn đỏ và 50 kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm đó. Gọi x (sản phẩm) và y (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm loại A, loại B được sơn. Khi đó:
Điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*.\)
Phương trình biểu diễn lượng sơn đỏ đã sử dụng là 0,6x + 0,2y = 80.
Ta thu được hệ phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{0}}{\rm{,6x}} + 0,5{\rm{y}} = 80\\{\rm{0}}{\rm{,2x}} + 0,4{\rm{y}} = 50\end{array} \right.\).
Người ta sơn được số sản phẩm loại A nhiều hơn số sản phẩm loại B.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì x (sản phẩm) và y (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm loại A, loại B được sơn nên x, y \( \in \mathbb{N}*.\) Vậy a) đúng.
b) Sai.
Vì người ta đã sử dụng 80 kg sơn đỏ nên 0,6x + 0,5y = 80 (1).
c) Đúng.
Vì người ta đã sử dụng 50 kg sơn vàng nên 0,2x + 0,4y = 50 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{0}}{\rm{,6x}} + 0,5{\rm{y}} = 80\\{\rm{0}}{\rm{,2x}} + 0,4{\rm{y}} = 50\end{array} \right.\).
d) Sai.
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có y = 160 – 1,2x.
Thay y = 160 – 1,2x vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 0,2x+ 0,4(160 – 1,2x) = 50 nên x = 50 (thỏa mãn).
Với x = 50 thì y = 160 – 1,2.50 = 100 (thỏa mãn).
Vậy người ta sơn được số sản phẩm loại A ít hơn số sản phẩm loại B.
\({\rm{x}}{\rm{,}}\;\,{\rm{y}} \in \mathbb{N}*\), x, y < 1,1.
4x + 2y = 1,2.
Ta thu được hệ phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 2{\rm{y}} = 1,2\\{\rm{4x}} + {\rm{y}} = 1,1\end{array} \right.\).
Nhà bạn Minh phải trả số tiền ít hơn 800 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì x (triệu đồng) và y (triệu đồng) lần lượt là giá tiền buffet cho một người lớn và một trẻ em nên 0 < x, y < 1,1. Vậy a) sai.
b) Đúng.
Vì gia đình ông Ba có 4 người lớn và 2 trẻ em thanh toán hết 1,2 triệu đồng nên 4x + 2y = 1,2 (1).
c) Đúng.
Vì gia đình bà My có 4 người lớn và 1 trẻ em thanh toán hết 1,1 triệu đồng nên 4x + y = 1,1 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 2{\rm{y}} = 1,2\\{\rm{4x}} + {\rm{y}} = 1,1\end{array} \right.\).
d) Sai.
Theo c) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 2{\rm{y}} = 1,2\\{\rm{4x}} + {\rm{y}} = 1,1\end{array} \right.\).
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ ta được y = 0,1 (thỏa mãn).
Thay y = 0,1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 4x + 0,1 = 1,1 nên x = 0,25 (thỏa mãn).
Số tiền nhà bạn Minh phải trả là: 2.0,25 + 3.0,1 = 0,8 (triệu đồng).
Vậy nhà bạn Minh phải trả số tiền là 800 nghìn đồng.
Giá tiền mua 2 quả dừa và 3 quả thanh long là 68 nghìn đồng. Giá tiền mua 4 quả dừa và 1 quả thanh long là 106 nghìn đồng. Gọi số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long lần lượt là a (nghìn đồng) và b (nghìn đồng), điều kiện: 0 < a, b < 68. Khi đó:
Giá tiền mua 2 quả dừa và 3 quả thanh long là 2a + 3b = 68.
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2a}} + 3{\rm{b}} = 68\\{\rm{4a}} + {\rm{b}} = 106\end{array} \right.\).
Giá tiền mua một quả thanh long là 25 nghìn đồng.
Một quả dừa hơn quả thanh long 9 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Vì giá tiền mua 2 quả dừa và 3 quả thanh long là 68 nghìn đồng nên 2a + 3b = 68 (1).
b) Đúng.
Vì giá tiền mua 4 quả dừa và 1 quả thanh long là 106 nghìn đồng nên 4a + b = 106 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2a}} + 3{\rm{b}} = 68\\{\rm{4a}} + {\rm{b}} = 106\end{array} \right.\).
c) Sai.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2a}} + 3{\rm{b}} = 68\\{\rm{4a}} + {\rm{b}} = 106\end{array} \right.\), ta được:
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có b = 106 – 4a.
Thay b = 106 – 4a vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có: 2a + 3(106 – 4a) = 68 nên a = 25 (thỏa mãn).
Với a = 25 thì b = 106 – 4.25 = 6 (thỏa mãn).
Do đó, giá tiền một quả dừa là 25 nghìn, một quả thanh long giá 6 nghìn.
d) Sai.
Giá tiền một quả dừa hơn giá tiền một quả thanh long là: 25 – 6 = 19 (nghìn đồng).
Vậy giá tiền mua 1 quả dừa hơn số tiền mua 1 quả thanh long là 19 nghìn đồng.
Một công ty thiết kế nội thất sản xuất ra hai loại ghế là ghế bành và ghế dài từ hai loại nguyên liệu gỗ và vải. Số đơn vị nguyên liệu cần dùng để tạo ra một chiếc ghế mỗi loại được cho trong bảng sau:
| Gỗ | Vải |
Ghế bành | 40 | 30 |
Ghế dài | 30 | 25 |
Công ty đó đã sử dụng hết 2 200 đơn vị gỗ và 1 800 đơn vị vải. Gọi số ghế bành và ghế dài công ty làm được lần lượt là x (chiếc) và y (chiếc), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*\). Khi đó:
Phương trình biểu diễn số đơn vị gỗ công ty sử dụng hết là 40x + 30y = 2 200.
Phương trình biểu diễn số đơn vị vải công ty sử dụng hết là 25x + 30y = 1 800.
Số ghế bành công ty sản xuất được là 10 chiếc.
Số ghế dài công ty sản xuất được gấp 5 lần số ghế bành.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì công ty sử dụng hết 2 200 đơn vị gỗ nên 40x + 30y = 2 200 (1).
b) Sai.
Vì công ty sử dụng hết 1 800 đơn vị vải nên 30x + 25y = 1 800 (2).
c) Đúng.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{40x}} + 30{\rm{y}} = 2\;\,200\\{\rm{30x}} + 25{\rm{y}} = 1\;\,800\end{array} \right.\).
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với với 4 ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{120x}} + 90{\rm{y}} = 6\;\,600\\{\rm{120x}} + 100{\rm{y}} = 7\;\,200\end{array} \right.\) (I).
Trừ hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế phương trình thứ nhất trong hệ (I) ta có: 10y = 600 nên y = 60 (thỏa mãn).
Thay y = 60 vào phương trình thứ nhất trong hệ (I) ta có: 120x + 90.60 = 6 600 nên x = 10 (thỏa mãn).
Do đó, số ghế bành công ty sản xuất được là 10 chiếc, số ghế dài sản xuất được là 60 chiếc.
d) Sai.
Số ghế dài so với số ghế bành gấp \(\frac{{60}}{{10}} = 6\) (lần)
Vậy số chiếc ghế dài công ty đó làm được là 60 chiếc.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 40
Gọi thời gian vòi nước lạnh và nước nóng chảy vào bể lần lượt là x (phút) và y (phút), điều kiện: 0 < x, y < 60.
Vì thời gian cả hai vòi chảy tổng cộng là 60 phút nên x + y = 60 (1).
Vòi nước lạnh chảy vào bể được 30x (lít).
Vòi nước nóng chảy vào bể được 40x (lít).
Vì hai vòi chảy đến khi đầy bể và bể có dung tích 2 000 lít nên 30x + 40y = 2 000 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} + {\rm{y}} = 60\\{\rm{30x}} + 40{\rm{y}} = 2\;\,000\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: x = 60 – y.
Thay x = 60 – y vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 30(60 – y) + 40y = 2 000 nên y = 20 (thỏa mãn).
Với y = 20 thì x = 60 – 20 = 40 (thỏa mãn).
Vậy thời gian vòi nước lạnh chảy vào bể là 40 phút.
Trong phòng học lớp 9A có một số ghế dài. Nếu xếp 4 học sinh mỗi ghế thì có 1 học sinh không có chỗ. Nếu xếp 1 ghế 5 học sinh thì thừa hai ghế. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 45
Gọi số ghế và số học sinh trong của lớp 9A lần lượt là x (ghế) và y (học sinh), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*.\)
Vì xếp 4 học sinh mỗi ghế thì có 1 học sinh không có chỗ nên 4x + 1 = y (1).
Vì xếp 1 ghế 5 học sinh thì thừa hai ghế nên 5(x – 2) = y hay 5x – y = 10 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 1 = {\rm{y}}\\5{\rm{x}} - {\rm{y}} = 10\end{array} \right.\).
Thay y = 4x + 1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 5x – (4x + 1) = 10 nên x = 11 (thỏa mãn).
Với x = 11 thì y = 4.11 + 1 = 45 (thỏa mãn).
Vậy số học sinh lớp 9A là 45 học sinh.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 75
Gọi x (ngày, x > 4) là số ngày theo kế hoạch xưởng phải dệt áo, y (cái, \({\rm{y}} \in \mathbb{N}*\)) là số áo mỗi ngày xưởng phải dệt theo kế hoạch.
Vì theo kế hoạch xưởng phải dệt 1 500 cái áo nên xy = 1 500 (1).
Số ngày thực tế xưởng đã dệt áo là x – 4 (ngày).
Số áo mỗi ngày xưởng dệt theo thực tế là y + 25 (cái).
Vì xưởng đã dệt được 1 600 cái áo nên (x – 4)(y + 25) = 1 600, suy ra xy – 4y + 25x – 100 = 1 600, suy ra 25x – 4y = 200 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{xy}} = 1\;\,500\\{\rm{25x}} - 4{\rm{y}} = 200\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: \({\rm{x}} = \frac{{200 + 4{\rm{y}}}}{{25}}\).
Thay \({\rm{x}} = \frac{{200 + 4{\rm{y}}}}{{25}}\) vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
y.\(\frac{{200 + 4{\rm{y}}}}{{25}}\)= 1 500
4y2 + 200y – 37 500 = 0
y2 + 50y – 9 375 = 0
y2 + 125y – 75y – 9 375 = 0
y(y + 125) – 75(y + 125) = 0
(y – 75)(y + 125) = 0
y – 75 = 0 (do y + 125 > 0 với y > 0)
y = 75 (thỏa mãn).
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải dệt 75 cái áo.
Ông của Ly hơn Ly 65 tuổi. Khi cộng số tuổi của bố Ly và 6 lần số tuổi của Ly thì bằng tuổi của ông Ly. Tổng số tuổi của ba người bằng 115 tuổi. Hỏi số tuổi của Ly bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Gọi số tuổi của Ly và bố Ly lần lượt là x (tuổi) và y (tuổi), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*\), x < y < 130.
Số tuổi của ông Ly là: x + 65 (tuổi).
Vì khi cộng số tuổi của bố Ly và 6 lần số tuổi của Ly thì bằng tuổi của ông Ly nên y + 6x = x + 65 nên 5x + y = 65 (1).
Vì tổng số tuổi của ba người bằng 115 tuổi nên x + y + x + 65 = 115 nên 2x + y = 50 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{5x}} + {\rm{y}} = 65\\{\rm{2x}} + {\rm{y}} = 50\end{array} \right.\).
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ ta được 3x = 15 nên x = 5 (thỏa mãn).
Thay x = 5 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 5.5 + y = 65 nên y = 40 (thỏa mãn).
Vậy Ly 5 tuổi.
Số công nhân của xí nghiệp 1 và 2 trước kia lần lượt tỉ lệ với 3 và 4. Hiện nay, xí nghiệp 1 thêm 10 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 20 công nhân nên số công nhân hiện nay của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi trước kia xí nghiệp hai hơn xí nghiệp 1 bao nhiêu công nhân?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 30
Gọi số công nhân xí nghiệp 1 và 2 trước kia lần lượt là x (công nhân) và y (công nhân), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*\).
Vì số công nhân của xí nghiệp 1 và 2 trước kia lần lượt tỉ lệ với 3 và 4 nên \(\frac{{\rm{x}}}{3} = \frac{{\rm{y}}}{4}\) nên x \( = \frac{3}{4}{\rm{y}}\)(1).
Hiện nay, số công nhân của xí nghiệp 1 và 2 lần lượt là x + 10 (công nhân) và y + 20 (công nhân).
Vì số công nhân hiện nay của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt tỉ lệ với 5 và 7 nên \(\frac{{{\rm{x}} + 10}}{5} = \frac{{{\rm{y}} + 20}}{7}\), suy ra 7x + 70 = 5y + 100 hay 7x – 5y = 30 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{3}{4}{\rm{y}}\\{\rm{7x}} - 5{\rm{y}} = 30\end{array} \right.\).
Thay x \( = \frac{3}{4}{\rm{y}}\) vào phương trình thứ hai trong hệ ta có: 7.\(\frac{3}{4}{\rm{y}}\) – 5y = 30 nên y = 120 (thỏa mãn).
Với y = 120 thì x\( = \frac{3}{4} \cdot 120 = 90\) (thỏa mãn).
Vậy trước kia, xí nghiệp 2 hơn xí nghiệp 1 là 30 công nhân.
