Bài tập Dạng toán tìm số lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                  d) Sai.

a) Đúng.

Hai người thợ làm chung trong 40 ngày nên trong một ngày, cả hai người làm chung được \(\frac{1}{{40}}\) (công việc). Vậy một ngày, cả hai người làm được \(\frac{1}{{40}}\) công việc.

b) Đúng.

Trong một ngày, người thứ nhất làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).

Trong một ngày, người thứ hai làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{40}}\) (1).

c) Sai.

Vì hai người làm chung trong 20 ngày, người thứ nhất không làm nữa và người thứ hai tiếp tục công việc thì sau 30 ngày nữa mới xong nên ta có: \(\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{20}}{{\rm{y}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\) hay \(\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1\) (2). Do đó, c) sai.

d) Sai.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{40}}\\\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có: \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}\).

Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ hai của hệ ta có: \(20\left( {\frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}} \right) + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1\) nên \(\frac{{30}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{2}\) nên y = 60 (thỏa mãn).

Với y = 60 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{{\rm{60}}}} = \frac{1}{{120}}\) nên x = 120 (thỏa mãn).

Vậy khi làm riêng, thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc lâu hơn người thứ hai là 60 ngày.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Sai.                  d) Sai.

a) Sai.

Hai đội làm chung trong 16 ngày nên hai đội làm chung được \(\frac{{16}}{{24}} = \frac{2}{3}\) (công việc).

Đội II phải hoàn thành một mình \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\) (công việc).

Vậy đội II phải hoàn thành một mình là \(\frac{1}{3}\) phần công việc.

b) Đúng.

Trong một ngày, đội I làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).

Trong một ngày, đội II làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).

Trong một ngày, cả hai đội làm được \(1:24 = \frac{1}{{24}}\) (công việc).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{24}}\) (1).

c) Sai.

Vì khi làm việc một mình, đội II tăng năng suất gấp đôi nên và đội II đã hoàn thành nốt công việc đó trong 7 ngày nên ta có: \(7 \cdot \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{42}}\). Do đó, c) sai.

d) Sai.

Theo c) ta có: \(\frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{42}}\) nên y = 42 (thỏa mãn).

Thay y = 42 vào \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{24}}\) ta có: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{42}}}} = \frac{1}{{24}}\) nên x = 56 (thỏa mãn).

Vậy thời gian đội I một mình hoàn thành công việc là 56 ngày.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.            b) Sai.             c) Đúng.              d) Đúng.

a) Đúng.

Trong một giờ, vòi I chảy riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (bể).

Trong một giờ, vòi II chảy riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (bể).

b) Sai.

Vì vòi I chảy trong 2 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ thì đầy bể nước nên \(\frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) (1).

c) Đúng.

Vì vòi I chảy trong 1 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ thì chảy được \(\frac{2}{3}\) bể nước nên \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\) (2).

d) Đúng.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\\\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).

Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai trong hệ ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{3}\) nên x = 3 (thỏa mãn)

Với x = 3 thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có \(\frac{1}{{\rm{3}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\) nên y = 6 (thỏa mãn).

Vậy nếu mỗi vòi chảy riêng thì thời gian vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 3 giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Đúng.              c) Sai.                  d) Đúng.

a) Đúng.

Trong một giờ, người thợ thứ nhất làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).

Trong một giờ, người thợ thứ hai làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).

b) Đúng.

Vì trong một giờ, người thợ thứ nhất làm bằng \(\frac{2}{3}\) người thứ hai nên ta có\(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\) (1).

c) Sai.

Vì người thợ thứ nhất làm 10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ và người thợ thứ hai làm trong 15 phút \( = \frac{1}{4}\) giờ thì được \(\frac{1}{6}\) công việc nên \(\frac{1}{{{\rm{6x}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}\) (2).

d) Đúng.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\\\frac{1}{{{\rm{6x}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}\end{array} \right.\).

Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\) vào phương trình thứ hai của hệ ta có: \(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{{{\rm{3y}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}\) nên \(\frac{{13}}{{{\rm{36y}}}} = \frac{1}{6}\) nên y = \(\frac{{13}}{6}\) (thỏa mãn).

Với y = \(\frac{{13}}{6}\) thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{3 \cdot \frac{{13}}{6}}} = \frac{4}{{13}}\) nên x = \(\frac{{13}}{4}\)(thỏa mãn).

Vậy thời gian người thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là \(\frac{{13}}{4}\) giờ  (< 4 giờ).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Đúng.              c) Sai                   d) Sai.

a) Đúng.

Trong một giờ, người thứ nhất làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).

Trong một giờ, người thứ hai làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).

b) Đúng.

Vì trong một giờ, người thợ thứ nhất làm được gấp đôi người thợ thứ hai: \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\) (1).

c) Sai.

Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 4 giờ thì làm được \(\frac{5}{9}\) công việc nên \(\frac{3}{{\rm{x}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\) (2).

d) Sai.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\\\frac{3}{{\rm{x}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\end{array} \right.\).

Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ hai trong hệ ta có \(3 \cdot \frac{2}{{\rm{y}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\) nên \(\frac{{10}}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\) nên y = 18 (thỏa mãn).

Với y = 18 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{18}}}}\) nên x = 9 (thỏa mãn).

Trong một giờ, cả hai người thợ làm được: \(\frac{1}{9} + \frac{1}{{18}} = \frac{1}{6}\) (giờ).

Vậy cả hai người thợ cùng làm với nhau thì sau 6 giờ hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Đổi 2 giờ 40 phút \( = \frac{8}{3}\) giờ.

Gọi thời gian lớp 9A và lớp 9B làm riêng xong công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ), điều kiện: x > 5, y > \(\frac{8}{3}\).

Trong một giờ, lớp 9A làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).

Trong một giờ, lớp 9B làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).

Trong một giờ, cả hai lớp làm được \(1:\frac{8}{3} = \frac{3}{8}\) (công việc).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{3}{8}\) (1).

Vì khi mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 6 giờ nên \(\frac{1}{2}{\rm{x}} + \frac{1}{2}{\rm{y}} = 6\)suy ra x + y = 12 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{3}{8}\\{\rm{x}} + {\rm{y}} = 12\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: x = 12 – y.

Thay x = 12 – y vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:

\(\frac{1}{{12 - {\rm{y}}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{3}{8}\)

\(\frac{{ - 8{\rm{y}}}}{{{\rm{8y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}} + \frac{{8\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}}{{{\rm{8y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}} = \frac{{{\rm{3y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}}{{{\rm{8y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}}\)

–8y + 8y – 96 = 3y² – 36y

3y² – 36y + 96 = 0

3y² – 12y – 24y + 96 = 0

3y(y – 4) – 24(y – 4) = 0

(y – 4)(3y – 24) = 0

y – 4 = 0 hoặc 3y – 24 = 0

y = 4 (thỏa mãn) hoặc y = 8 (thỏa mãn).

Với y = 4 thì x = 12 – 4 = 8 (thỏa mãn).

Với y = 8 thì x = 12 – 8 = 4 (không thỏa mãn).

Vậy lớp 9A làm một mình xong công việc trong 8 giờ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 24

Gọi x (ngày) và y (ngày) (x, y > 8) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc.

Trong một ngày, người thứ nhất làm một mình được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).

Trong một ngày, người thứ hai làm một mình được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).

Trong một ngày, cả hai người làm chung làm được \(1:8 = \frac{1}{8}\) (công việc).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{8}\) (1).

Vì người thứ nhất làm một mình trong 18 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 2 ngày nữa thì xong công việc nên ta có: \(\frac{{18}}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) hay \(\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{8}\\\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có: \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{{\rm{y}}}\).

Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ hai của hệ ta có: \(20\left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{\rm{y}}}} \right) + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) nên \(\frac{{18}}{{\rm{y}}} = \frac{3}{2}\) nên y = 12 (thỏa mãn).

Với y = 12 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{{{\rm{12}}}} = \frac{1}{{24}}\) nên x = 24 (thỏa mãn).

Vậy khi làm riêng, thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 ngày.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 48

Gọi thời gian một cần cẩu lớn và một cần cẩu bé bốc dỡ một mình xong lô hàng lần lượt là x (giờ) và y (giờ), điều kiện: x > 4, y > 4.

Trong một giờ, 1 cần cẩu lớn bốc dỡ được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (lô hàng).

Trong một giờ, 1 cần cẩu bé bốc dỡ được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (lô hàng).

Bốn cần cẩu lớn làm việc trong 6 giờ và 10 cần cẩu bé làm việc trong 3 giờ thì xong công việc nên ta có: \(6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{{\rm{x}}} + 10 \cdot 3 \cdot \frac{1}{{\rm{y}}} = 1\) hay \(\frac{{24}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\) (1).

Vì 14 cần cẩu cùng làm từ đầu thì trong 4 giờ bốc dỡ xong lô hàng đó nên trong 1 giờ cả 14 cần cẩu bốc dỡ được \(\frac{1}{4}\) (lô hàng). Ta có phương trình \(\frac{4}{{\rm{x}}} + \frac{{10}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{4}\)(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{24}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\\\frac{4}{{\rm{x}}} + \frac{{10}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ hai trong hệ với 3 ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{24}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\\\frac{{12}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\) (I)

Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai trong hệ (I) ta được \(\frac{{12}}{{\rm{x}}} = \frac{1}{4}\) nên x = 48 (thỏa mãn).

Thay x = 48 vào phương trình thứ hai trong hệ (I) ta có: \(\frac{{12}}{{{\rm{48}}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = \frac{3}{4}\) nên y = 60 (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 15

Gọi thời gian bạn An và bạn Bình làm riêng xong dự án lần lượt là x (ngày) và y (ngày), điều kiện: x > 6, y > 6.

Trong một ngày, An làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (dự án).

Trong một ngày, Bình làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (dự án).

Trong một ngày, cả hai bạn làm được \(1:6 = \frac{1}{6}\) (dự án).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\) (1).

Vì nếu làm một mình xong dự án thì Bình làm nhanh hơn An 5 ngày nên x – y = 5 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\\{\rm{x}} - {\rm{y}} = 5\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: x = y + 5.

Thay x = y + 5 vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:

\(\frac{1}{{{\rm{y}} + 5}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\)

\(\frac{{{\rm{6y}}}}{{{\rm{6y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}} + \frac{{{\rm{6y}} + 30}}{{{\rm{6y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}} = \frac{{{\rm{y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}}{{6{\rm{y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}}\)

6y + 6y + 30 = y² + 5y

y² – 7y – 30 = 0

y² – 10y + 3y – 30 = 0

y(y – 10) + 3(y – 10) = 0

(y + 3)(y – 10) = 0

y – 10 = 0 (do y + 3 > 0 với y > 6).

y = 10 (thỏa mãn).

Với y = 10 thì x = 10 + 5 = 15 (thỏa mãn).

Vậy An làm một mình xong dự án trong 15 ngày.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 120

Gọi thời gian đội thứ nhất và đội thứ hai vận chuyển riêng xong số lương thực thực phẩm lần lượt là x (phút) và y (phút), điều kiện: x > 30, y > 30.

Thời gian hai đội làm chung xong công việc là: \(30:\frac{1}{3} = 90\) (phút).

Trong một phút, đội thứ nhất vận chuyển riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (số lương thực, thực phẩm).

Trong một phút, đội thứ hai vận chuyển riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (số lương thực, thực phẩm).

Trong một phút, cả hai đội vận chuyển được được \(1:90 = \frac{1}{{90}}\) (số lương thực, thực phẩm).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\) (1).

Vì trong một giờ, đội thứ nhất vận chuyển nhanh gấp 3 lần đội thứ hai nên\(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{\rm{y}}}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\\\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{\rm{y}}}\end{array} \right.\).

Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(\frac{3}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\) nên \(\frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\) nên y = 360 (thỏa mãn).

Với y = 360 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{360}}\) nên x = 120 (thỏa mãn).

Vậy thời gian đội thứ hai vận chuyển riêng xong chỗ lương thực thực phẩm là 360 phút.