Bài tập Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.          b) Sai.              c) Đúng.         d) Đúng.

a) Đúng.

Vì chiều rộng thửa ruộng ngắn hơn chiều dài nên ta có:\[y - x = 45\].

b) Sai.

Chu vi thửa ruộng ban đầu là: \[2\left( {x + y} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Chu vi thửa ruộng khi chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần là: \[2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vì nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,\] hay \[2x - \frac{y}{2} = 0\].

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.\].

c) Đúng.

Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.\], ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\4x - y = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\3x = 45\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 30\end{array} \right.\] (thỏa mãn).

d) Đúng.

Diện tích của thửa ruộng là: \[15 \cdot 30 = 450\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.          b) Đúng.          c) Sai.             d) Sai.

a) Đúng.

Số cây có thể trồng trên mảnh vườn ban đầu là xy (cây).

b) Đúng.

Nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì phương trình biểu diễn tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) = xy – 54.

c) Sai.

Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì tổng số cây trong vườn sẽ tăng thêm 32 cây nên ta có (x – 4)(y + 2) = xy + 32.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 54\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 32\end{array} \right.\].

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y = - 30\\2x - 4y = 40\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình, được x = 50 và y = 15 (thỏa mãn).

d) Sai.

Vậy ban đầu mỗi luống có 50 cây và có 15 luống.

Vậy số cây cà chua ban đầu trên mảnh vườn là: 50.15 = 750 (cây).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.              b) Đúng.          c) Đúng.         d) Sai.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của thửa ruộng là: xy (m²).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi tăng chiều dài 2 m và chiều rộng thêm 3 m là (x + 2)(y + 3) = xy + 100.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi giảm chiều dài 2 m và chiều rộng 2 m là (x – 2)(y – 2) = xy – 68.

Từ đây, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\].

d) Sai.

Giải hệ phương trình, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\]

                                              \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\ - 2x - 2y = - 72\end{array} \right.\]

Cộng theo vế hai phương trình được x = 22 (thỏa mãn) và y = 14 (thỏa mãn).

Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là: 22.14 = 308 (m²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.              b) Đúng.          c) Đúng.         d) Sai.

a) Sai.

Vì chu vi của mảnh đất bằng 80 m nên 2(a + b) = 80 hay a + b = 40 (m).

b) Đúng.

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật khi tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 5 m là:

(a + 3)(b + 5) (m²).

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều dài chiều rộng là:

(a + 3)(b + 5) = ab + 195

Từ đây ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right) = ab + 195\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình, có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = 120\\5a + 3b = 180\end{array} \right.\].

Trừ theo vế hai phương trình được 2a = 60 nên a = 30 (thỏa mãn).

Với a = 30 thì b = 10 (thỏa mãn).

d) Sai.

Diện tích mới của mảnh đất sau khi tăng chiều dài, chiều rộng là:

30.10 + 195 = 495 (m²)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.              b) Đúng.          c) Đúng.         d) Đúng.

a) Sai.

Diện tích ban đầu của tam giác đó là S = \[\frac{1}{2}xy\] (cm²).

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi tăng mỗi cạnh góc

vuông lên 2 cm là \[\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\] hay (x + 2)(y + 2) = xy + 34.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi giảm độ dài một cạnh góc vuông 3 cm và một cạnh giảm 1 cm là: \[\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\].

Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.\].

d) Đúng.

Giải hệ phương trình, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.\]

                                                 \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\ - x - 3y = - 25\end{array} \right.\].

Thực hiện cộng theo vế hai phương trình ta được −2y = −10 nên y = 5.

Thay y = 5 được x = 10 (thỏa mãn).

Vậy diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là: \[\frac{1}{2}.5.10 = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].

Do đó, diện tích ban đầu của tam giác vuông có giá trị là một số chính phương.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu đất lần lượt là \[x\] (m), \[y\] (m).

Điều kiện: \[x > y > 0.\]

Nửa chu vi của khu đất là: \[270:2 = 135\] (m)

Vì nửa chu vi của khu đất là \[135\] m nên ta có phương trình \[x + y = 135\]       (1)

Vì khu đất có chiều dài gấp \[5\] lần chiều rộng nên ta có phương trình \[x = 5y\]       (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 135\\x = 5y.\end{array} \right.\]

Như vậy chỉ có khẳng định (ii) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 192

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là \[x{\rm{\;(m)}},\,\,y{\rm{\;(m)}}\]\[\left( {x > y > 0,\,\,x > 1} \right).\]

Vì chu vi của mảnh đất là \[56{\rm{\;m}}\] nên ta có \[2\left( {x + y} \right) = 56\] hay \[x + y = 28\]            (1)

Diện tích của mảnh đất ban đầu là \[xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Nếu tăng chiều rộng thêm \[2{\rm{\;m}}\] và giảm chiều dài đi \[1{\rm{\;m}}\] thì lúc này, chiều dài mảnh đất là \[x - 1{\rm{\;(m)}}\] và chiều rộng mảnh đất là \[y + 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\] Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm \[18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\] nên ta có phương trình:

\[\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 18\] hay \[xy + 2x - y - 2 = xy + 18\].

Tức là, \[2x - y = 20\]           (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có \[y = 2x - 20\]         (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được:

\[x + 2x - 20 = 28\] hay \[3x = 48\], tức là, \[x = 16\] (thỏa mãn điều kiện).

Thế \[x = 16\] vào (*), ta được \[y = 2 \cdot 16 - 20 = 12\] (thỏa mãn điều kiện).

Do đó chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là \[16{\rm{\;m}}\] và \[12{\rm{\;m}}\].

Như vậy, diện tích mảnh đất đó bằng \[16 \cdot 12 = 192{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Hướng dẫn giải

Đáp án: 544

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu vườn lần lượt là \[x,\,\,y\,\,\,\left( {x > y > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)\].

Theo đề, hiệu nửa chu vi và hai lần chiều rộng là 15 m nên \[x + y - 2y = 15\] hay \[x - y = 15\] (1).

Lại có, tổng nửa chu vi và 3 lần chiều rộng là 100 m nên \[x + y + 3y = 100\] hay \[x + 4y = 100\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\x + 4y = 100\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình, được \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\5y = 85\end{array} \right.\]

                                             \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\y = 17\end{array} \right.\]

                                             \[\left\{ \begin{array}{l}x = 32\\y = 17\end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Diện tích của khu vườn là: \[32 \cdot 17 = 544\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]

Hướng dẫn giải

Đáp án: 36

Gọi x và y (cm) lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x, y > 4).

Diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là \[S = \frac{1}{2}xy\] (cm²)

Theo đề, nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lên 3 cm thì diện tích tăng lên 36 cm² nên ta có phương trình \[\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\] (1)

Nếu giảm một cạnh góc vuông đi 2 cm, một cạnh giảm 4 cm thì diện tích giảm đi 26 cm² nên ta có phương trình \[\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\\\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 63\\2x + y = 30\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình được x = 12 và y = 9 (thỏa mãn).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông được cạnh huyền là:

\[\sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15\,\,\,\left( {cm} \right)\].

Vậy chu vi tam giác đó là: 12 + 9 + 15 = 36 (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 7000

Gọi x (m) là chiều dài và y (m) là chiều rộng sân trường (x > y > 0).

Chu vi sân trường bằng 340 m nên ta có: 2(x + y) = 340 hay x + y = 170 (1)

Có 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m nên 3x – 4y = 20 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 170\\3x - 4y = 20\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình được x = 100 và y = 70 (thỏa mãn)

Do đó chiều dài của sân trường là 100 m và chiều rộng là 70 m.

Diện tích của sân trường là: 70.100 = 7 000 (m²).