Bài tập Khai căn bậc hai của phép nhân lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Kết quả của phép tính \(\sqrt {\frac{1}{8}} .\sqrt 2 .\sqrt {125} .\sqrt {\frac{1}{5}} \) là
\(\frac{5}{2}\).
\( - \frac{5}{2}\).
\(\frac{2}{5}.\)
\( - \frac{2}{5}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sqrt {\frac{1}{8}} .\sqrt 2 .\sqrt {125} .\sqrt {\frac{1}{5}} = \sqrt {\frac{1}{8}.2.125.\frac{1}{5}} = \sqrt {\frac{{25}}{4}} = \frac{5}{2}\).
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {20} + \sqrt {45} - \sqrt 5 } \right).\sqrt 5 \) là
10.
15.
20.
5.
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\(\left( {\sqrt {20} + \sqrt {45} - \sqrt 5 } \right).\sqrt 5 = \sqrt {20} .\sqrt 5 + \sqrt {45} .\sqrt 5 - \sqrt 5 .\sqrt 5 \)
\( = \sqrt {100} + \sqrt {225} - 5 = 10 + 15 - 5 = 20\).
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} + \sqrt {\frac{{50}}{3}} - \sqrt {24} } \right).\sqrt 6 \) là
12.
14.
0.
10.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} + \sqrt {\frac{{50}}{3}} - \sqrt {24} } \right).\sqrt 6 = \sqrt {\frac{2}{3}} .\sqrt 6 + \sqrt {\frac{{50}}{3}} .\sqrt 6 - \sqrt {24} .\sqrt 6 \)
\( = \sqrt {\frac{2}{3}.6} + \sqrt {\frac{{50}}{3}.6} - \sqrt {24.6} = \sqrt 4 + \sqrt {100} - \sqrt {144} \)
\( = 2 + 10 - 12 = 0\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 - \sqrt {12} }}\) ta được
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{5}.\)
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{5}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 - \sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {2.5} - \sqrt {3.5} }}{{\sqrt {4.2} - \sqrt {4.3} }} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt 5 - \sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{\sqrt 4 .\sqrt 2 - \sqrt 4 .\sqrt 3 }}\)
\( = \frac{{\sqrt 5 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Kết quả của biểu thức \(A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \) là
5.
3.
2.
0.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\(A = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {15} .\sqrt {10} - \sqrt {15} .\sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\(A = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\(A = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\(A = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\(A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \)
\(A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } \)
\(A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\(A = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 5 - 3 = 2\).
Rút gọn biểu thức \(B = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } .\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \) với x ≥ 1 ta được
1.
x.
\(x{}^2\).
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(B = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } .\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \)
\(B = \sqrt {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)} \)
\(B = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\sqrt {x{}^2 - 1} } \right)}^2}} \)
\(B = \sqrt {{x^2} - x{}^2 + 1} = 1\)
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {\sqrt {{x^4} + 4} - x{}^2} .\sqrt {\sqrt {{x^2} + 4} + {x^2}} \) ta được
4.
2.
0.
−2.
Đáp án đúng là: B
\(A = \sqrt {\sqrt {{x^4} + 4} - x{}^2} .\sqrt {\sqrt {{x^2} + 4} + {x^2}} \)
\(A = \sqrt {\left( {\sqrt {{x^4} + 4} - x{}^2} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + {x^2}} \right)} \)
\(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x^4} + 4} } \right)}^2} - {x^4}} \)
\(A = \sqrt {{x^4} + 4 - {x^4}} = \sqrt 4 = 2\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt a - 2a - 1}}{{4a - 4\sqrt a + 1}}\) ta được
\(\frac{{\sqrt a + 1}}{{1 - 2\sqrt a }}\).
\(\frac{{\sqrt a + 1}}{{1 + 2\sqrt a }}\).
\(\frac{{\sqrt a - 1}}{{2 - \sqrt a }}\).
\(\frac{{\sqrt a - 1}}{{1 - 2\sqrt a }}\).
Đáp án đúng là: D
\(A = \frac{{3\sqrt a - 2a - 1}}{{4a - 4\sqrt a + 1}} = \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {1 - 2\sqrt a } \right)}}{{{{\left( {1 - 2\sqrt a } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt a - 1}}{{1 - 2\sqrt a }}\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{a + 4\sqrt a + 4}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{4 - a}}{{\sqrt a - 2}}\) ta được
\(\sqrt a + 2\).
\(\sqrt a - 2\).
\(\sqrt a \).
0.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(A = \frac{{a + 4\sqrt a + 4}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{4 - a}}{{\sqrt a - 2}}\)
\(A = \frac{{{{\left( {\sqrt a + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a - 2}}\)
\(A = \sqrt a + 2 - \left( {2 + \sqrt a } \right) = 0\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\) ta được
\(\sqrt {xy} \).
xy.
\({x^2}y\).
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(A = \frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\)
\(A = \frac{{\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{y^3}} }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2}\)
\(A = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \left( {x - 2\sqrt x \sqrt y + y} \right)\)
\(A = x - \sqrt {xy} + y - x + 2\sqrt x \sqrt y - y\)
\(A = \sqrt {xy} \).
x1.x2 = 2.
\(x_1^2 + x_2^2 = 6\).
\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 8\).
\(x_1^3 + x_2^3 = 4\sqrt {10} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
x1.x2 = \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\].
b) Đúng.
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 = 6.\)
c) Sai.
Ta có: \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 2{x_1}{x_2} = 6 + 2.2 = 10\).
d) Đúng.
Cách 1. \(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\)
\( = \left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)\left( {6 - 2} \right)\)
\( = 4\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)\)
\( = 4\sqrt {3 + \sqrt 5 } + 4\sqrt {3 - \sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 16\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 16\sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 2.8\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 2.8\sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} } + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} } \)
\( = \sqrt {40 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8} + \sqrt {40 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 8 + \sqrt {40} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {40} - \sqrt 8 } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt 8 + \sqrt {40} + \sqrt {40} - \sqrt 8 \)
\( = 2\sqrt {40} \)
\( = 4\sqrt {10} \).
Cách 2. Có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 10\) nên \(\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {10} \) hay \({x_1} + {x_2} = \sqrt {10} \).
Do đó, \(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \sqrt {10} .\left( {6 - 2} \right) = 4\sqrt {10} \).
u1.u2 = 9.
\(u_1^2 + u_2^2 = 8\).
\({\left( {{u_1} - {u_2}} \right)^2} = - 10\).
\(u_1^3 + u_2^3 = 5\sqrt {14} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Ta có: u1.u2 = \(\sqrt {4 - \sqrt 7 } .\sqrt {4 + \sqrt 7 } = \sqrt {\left( {4 - \sqrt 7 } \right).\left( {4 + \sqrt 7 } \right)} = \sqrt {16 - 7} = \sqrt 9 = 3\).
b) Đúng.
\(u_1^2 + u_2^2 = {\left( {\sqrt {4 - \sqrt 7 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {4 + \sqrt 7 } } \right)^2} = 4 - \sqrt 7 + 4 + \sqrt 7 = 8\).
c) Sai.
\({\left( {{u_1} - {u_2}} \right)^2} = u_1^2 - 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 - 2.3 = 2\).
d) Đúng.
Ta có: \({\left( {{u_1} + {u_2}} \right)^2} = u_1^2 + 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 + 2.3 = 14\)
\(u_1^3 + u_2^3 = \left( {{u_1} + {u_2}} \right)\left( {u_1^2 - {u_1}{u_2} + u_2^2} \right) = \sqrt {14} .\left( {8 - 3} \right) = 5\sqrt {14} \).
a.b = 1.
a2 + b2 = 18.
(a – b)2 = 16.
\(a + b = 4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có:
\(a \cdot b = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } \cdot \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)} = \sqrt {{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {81 - 80} = 1\).
b) Đúng.
Ta có: a2 + b2 = \({\left( {\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } } \right)^2} = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 = 18\).
c) Đúng.
Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } } \right)^2}\)
\( = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 - 2.\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } .\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = 18 - 2 = 16\).
d) Sai.
Ta có: \(a + b = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 + 4\sqrt 5 + 4} + \sqrt {5 - 4\sqrt 5 + 4} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 2 + \sqrt 5 - 2 = 2\sqrt 5 \).
x.y = 6.
x2 + y2 = \(2\sqrt {13} \).
(x + y)2 = 26.
\({x^3} + {y^3} = 20\sqrt {26} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: \(x \cdot y = \sqrt {7 + \sqrt {13} } \cdot \sqrt {7 - \sqrt {13} } = \sqrt {\left( {7 + \sqrt {13} } \right)\left( {7 - \sqrt {13} } \right)} = \sqrt {36} = 6\).
b) Sai.
Ta có: \({x^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {13} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {7 - \sqrt {13} } } \right)^2} = 7 + \sqrt {13} + 7 - \sqrt {13} = 14\).
c) Đúng.
Ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} = {\left( {\sqrt {7 + \sqrt {13} } + \sqrt {7 - \sqrt {13} } } \right)^2}\)
\( = 7 + \sqrt {13} + 2\sqrt {7 + \sqrt {13} } .\sqrt {7 - \sqrt {13} } + 7 - \sqrt {13} \)
\( = 14 + 2.6 = 26\).
d) Sai.
Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
= \(\sqrt {26} .\left( {14 - 6} \right) = 8\sqrt {26} \).
a.b = 1.
a2 + b2 = 10.
(a – b)2 = 4.
a + b = \(2\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có: \(a \cdot b = \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } \cdot \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)} = \sqrt {25 - 24} = 1\).
b) Đúng.
Ta có: \({a^2} + {b^2} = {\left( {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right)^2} = 5 + 2\sqrt 6 + 5 - 2\sqrt 6 = 10\).
c) Sai.
Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } - \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right)^2}\)
\( = {\left( {\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } } \right)^2} - 2\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } \cdot \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } + {\left( {\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } } \right)^2}\)
\( = 5 + 2\sqrt 6 - 2 + 5 - 2\sqrt 6 \)
= 8.
d) Đúng.
Ta có: \(\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 2 = 2\sqrt 3 \).
Cho biểu thức \(A = \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 1} \right).\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\). Biết rằng \(A = a - \sqrt m + \sqrt n \) với a, m, n ∈ ℤ. Tính giá trị của biểu thức B = a.m – n.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 57
Ta có: \(A = \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 1} \right).\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\)
\( = \sqrt 5 .\sqrt 5 - \sqrt 5 - \sqrt 3 .\sqrt 5 + \sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 5 - 1.1\)
\( = 5 - \sqrt 5 - \sqrt {15} + \sqrt 3 + \sqrt 5 - 1\)
\( = \left( {5 - 1} \right) + \left( {\sqrt 5 - \sqrt 5 } \right) - \sqrt {15} + \sqrt 3 \)
\( = 4 - \sqrt {15} + \sqrt 3 \).
Mà \(A = a - \sqrt m + \sqrt n \) nên ta có a = 4; m = 15; n = 3.
Vậy B = a.m – n = 4.15 – 3 = 60 – 3 = 57.
Giá trị của biểu thức \(B = \left( {\sqrt {14} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {21} } \) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4
Ta có: \(B = \left( {\sqrt {14} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {21} } \)
\( = \left( {\sqrt {7.2} + \sqrt {3.2} } \right)\sqrt {5 - \sqrt {3.7} } \)
\( = \left( {\sqrt 7 .\sqrt 2 + \sqrt 3 .\sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {3.7} } \)
\( = \sqrt 2 .\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {3.7} } \)
\( = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {2.\left( {5 - \sqrt {3.7} } \right)} \)
\( = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {10 - 2\sqrt 3 .\sqrt 7 } \)
\( = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\( = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)\)
\( = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)
\( = 7 - 3\)
\( = 4\).
Tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Ta có: \(A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {15} .\sqrt {10} - \sqrt {15} .\sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\)
\( = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)
\( = 5 - 3\)
= 2.
Vậy \(A = 2\).
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}} - \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Ta có: \(A = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}} - \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 + 1}} - \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\)
\( = \sqrt 3 + 2 + \sqrt 2 - \sqrt 2 - \sqrt 3 \)
= 2.
Biết giá trị của biểu thức \(E = \frac{{\left( {\sqrt {28} - \sqrt {12} - \sqrt 7 } \right) \cdot \sqrt 7 + 2\sqrt {21} }}{{\left( {2 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}\) có dạng \(\frac{a}{{6 + 4\sqrt b }}\) (với a, b ∈ ℕ và (a, b) = 1). Tính a + b.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 12
Ta có: \(E = \frac{{\left( {\sqrt {28} - \sqrt {12} - \sqrt 7 } \right) \cdot \sqrt 7 + 2\sqrt {21} }}{{\left( {2 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt {28} \cdot \sqrt 7 - \sqrt {12} \cdot \sqrt 7 - \sqrt 7 \cdot \sqrt 7 + 2\sqrt {21} }}{{{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{\sqrt {28.7} - \sqrt {12.7} - 7 + 2\sqrt {21} }}{{9 + 4\sqrt 5 - 3}}\)
\( = \frac{{14 - 2\sqrt {21} - 7 + 2\sqrt {21} }}{{6 + 4\sqrt 5 }}\)
\( = \frac{7}{{6 + 4\sqrt 5 }}\).
Do đó, a = 7, b = 5.
Vậy a + b = 12.
