Bài tập Giải tam giác có đáp án

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{5.\sin 120°}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$.

Do đó: $\widehat{C}\approx 38°$.

Lại có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180°-\left(120°+38°\right)=22°$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2 . AB . AC . sin B = 5² + 7² – 2 . 5 . 7 . cos 22° ≈ 9

⇒ AC ≈ 3.

Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.

Dựng đường cao CH của tam giác ABC.

Đặt AH = x.

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=180°$( kề bù).

$\Rightarrow \widehat{CAH}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°$.

Tam giác ACH vuông tại H nên

$cos\widehat{CAH}=\frac{AH}{CA}\Rightarrow CA=\frac{AH}{cos\widehat{CAH}}=\frac{x}{cos60°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $CH=x\sqrt{3}$.

Và BC² = BH² + CH² = (BA + AH)² + CH²

Thay số: 7² = (5 + x)² + 3x² (1)

Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.

Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.

a) Tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180°-\left(100°+45°\right)=35°$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Suy ra: $AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{100.\sin 100°}{\sin 45°}\approx \mathrm{139,3}$;

$BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{100.\sin 35°}{\sin 45°}\approx \mathrm{81,1}$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}BC.CA.\sin C=\frac{1}{2}\mathrm{.81,1.139,3.}\sin 45°\approx 3994$ (đvdt).

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{12}^2+{15}^2-{20}^2}{\mathrm{2.12.15}}=-\frac{31}{360}$

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{{12}^2+{20}^2-{15}^2}{\mathrm{2.12.20}}=\frac{319}{480}$

$\cos C=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2.BC.AC}=\frac{{20}^2+{15}^2-{12}^2}{\mathrm{2.20.15}}=\frac{481}{600}$

Do đó: $\widehat{A}\approx 95°;\widehat{B}\approx 48°;\widehat{C}\approx 37°$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.12.15.}\sin 95\approx 90$ (đvdt).

* Hình 29: Góc B nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{\mathrm{5,2.}\sin 40°}{\mathrm{3,6}}\approx \mathrm{0,93}$.

Do đó: $\widehat{B}\approx 68°$.

Lại có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(40°+68°\right)=72°$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)² + (3,6)² – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 72° ≈ 28,43

⇒ AB ≈ 5,33 (m).

* Hình 30: Góc B tù.

Khi đó: $\widehat{B}=180°-68°=112°$.

Ta tính được: $\widehat{C}=28°$.

Do đó:

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)² + (3,6)² – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 28° ≈ 6,94

⇒ AB ≈ 2,63 (m).

Nối A với B, ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.

Giả sử C là vị trí của ngọn hải đăng, kẻ CH vuông góc AB thì CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.

Ta có: $\widehat{CBH}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC.

Nên $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=\widehat{CBH}$.

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{BAC}=75°-45°=30°$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{30.\sin 45°}{\sin 30°}=30\sqrt{2}$.

Tam giác CBH vuông tại H nên $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}$

$\Rightarrow CH=BC.\sin \widehat{CBH}=30\sqrt{2}.\sin 75°=15+15\sqrt{3}\approx 41$.

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 41 m.