Bài tập Giải tam giác có đáp án
15 câu hỏi
Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để do khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:
Từ vị trí A, đo góc nghiêng α so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng β so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18). Bằng cách giải tam giác BAC, họ tính được khoảng cách AC.
Giải tam giác được hiểu như thế nào?
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, A^=α. Viết công thức tính BC theo b, c, α.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A = c2 + b2 – 2.b.c.cosα
⇒BC=c2+b2−2bccosα.
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Viết công thức tính cos A theo a, b, c.
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=c2+b2−a22bc.
Vậy cosA=c2+b2−a22bc.
Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R. Ta có định lí sin:
BCsinA=ACsinB=ABsinC=2R.
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.
a) Tính BH theo c và sin A.
b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.
a) Xét các trường hợp:
+ Với A^<90°
Xét tam giác vuông AHB, ta có: BH = AB . sin A = c sin A.
+ Với A^=90°
Khi đó, BH = BA = c = c sin A.
+ Với A^>90°
Xét tam giác AHB vuông, ta có: BAH^=180°−A^.
Do đó BH = AB . sin(180° – A^) = AB . sin A = c sin A.
Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có BH = c sin A.
b) Ta có: S=12AC . BH=12bcsinA.
Cho tam giác ABC có AB = 12; B^=60°; C^=45°. Tính diện tích của tam giác ABC.
Tam giác ABC vuông tại A có A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác).
Suy ra A^=180°−B^+C^=180°−60°+45°=75°.
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có: ABsinC=ACsinB
⇒AC=AB.sinBsinC=12.sin60°sin45°=66.
Diện tích tam giác ABC là
S=12AB.AC.sinA=12.12.66.sin75°=54+183≈85,2.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).
a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:
sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2.
b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằng:
S=pp−ap−bp−c.
a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A
⇒cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=b2+c2−a22bc (1)
Ta lại có: sin2 A + cos2 A = 1
Do đó: sin2 A = 1 – cos2 A
Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < A^< 180° nên sin A > 0.
Nên sinA=1− cos2A (2)
Từ (1) và (2) ta có:
sinA=1−b2+c2−a22bc2=2bc22bc2−b2+c2−a222bc2
=2bc2−b2+c2−a222bc2=2bc+b2+c2−a22bc−b2−c2+a22bc2
=b+c2−a2a2−b−c22bc=b+c+ab+c−aa+b−ca−b+c2bc
=a+b+ca+b+c−2aa+b+c−2ca+b+c−2b2bc
Lại có p=a+b+c2⇒a+b+c=2p
Khi đó: sinA=2p.2p−2a2p−2b2p−2c2bc=16pp−ap−bp−c2bc
Vậy sinA=2bcpp−ap−bp−c.
b) Diện tích tam giác ABC là S=12bcsinA.
Mà sinA=2bcpp−ap−bp−c
Nên S=12bc.2bcpp−ap−bp−c=pp−ap−bp−c.
Vậy S=pp−ap−bp−c.
Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Giả sử toà nhà là AB, AB = 18,5 m; giác kế AC = 1,5 m; chiều cao của cái cây là DE; khoảng cách từ tòa nhà tới cây là BD = 30 m; góc tạo bởi phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là FCD^=34°, góc tạo bởi phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là FCE^=24°. Ta cần tính DE.
Hình vẽ mô phỏng:
Ta có: BC = BA + AC = 18,5 + 1,5 = 20 (m).
Tam giác BCD vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có:
CD2 = BC2 + BD2 = 202 + 302 = 1300 ⇒CD=1013 (m).
Lại có: FCD^=FCE^+ECD^
⇒ECD^=FCD^−FCE^=34°−24°=10°
CF // BD ⇒CDB^=FCD^=34° (so le trong)
⇒CDE^=90°−CDB^=90°−34°=56°
Tam giác CDE có ECD^+CDE^+CED^=180°(định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒CED^=180°−ECD^+CDE^=180°−10°+56°=114°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác CDE ta có: CDsinCED^=DEsinECD^
⇒DE=CD.sinECD^sinCED^=1013.sin10°sin114°≈6,6 (m).
Vậy chiều cao của cây khoảng 6,6 m.
Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, C^=120°. Tính:
a) Độ dài cạnh AB;
b) Số đo các góc A, B;
c) Diện tích tam giác ABC.
a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = 122 + 152 – 2 . 12 . 15 . cos 120° = 549
⇒AB=361.
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinC=BCsinA
⇒sinA=BC.sinCAB=12.sin120°361=218361
Do đó: A^≈26°.
Lại có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒B^=180°−A^+C^=180°−26°+120°=34°.
c) Diện tích tam giác ABC là:
S=12AB.AC.sinA=12.361.15.218361=453 (đvdt).
Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A^=120°. Tính độ dài cạnh AC.
Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinC=BCsinA
⇒sinC=AB.sinABC=5.sin120°7=5314.
Do đó: C^≈38°.
Lại có A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒B^=180°−A^+C^=180°−120°+38°=22°.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2 . AB . AC . sin B = 52 + 72 – 2 . 5 . 7 . cos 22° ≈ 9
⇒ AC ≈ 3.
Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.
Dựng đường cao CH của tam giác ABC.
Đặt AH = x.
Ta có: BAC^+CAH^=180°( kề bù).
⇒CAH^=180°−BAC^=180°−120°=60°.
Tam giác ACH vuông tại H nên
cosCAH^=AHCA⇒CA=AHcosCAH^=xcos60°=x12=2x.
Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: CH=x3.
Và BC2 = BH2 + CH2 = (BA + AH)2 + CH2
Thay số: 72 = (5 + x)2 + 3x2 (1)
Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.
Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.
Cho tam giác ABC có AB = 100, B^=100°, C^=45°. Tính:
a) Độ dài các cạnh AC, BC;
b) Diện tích tam giác ABC.
a) Tam giác ABC có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒A^=180°−B^+C^=180°−100°+45°=35°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinC=BCsinA=ACsinB
Suy ra: AC=AB.sinBsinC=100.sin100°sin45°≈139,3;
BC=AB.sinAsinC=100.sin35°sin45°≈81,1.
b) Diện tích tam giác ABC là:
S=12BC.CA.sinC=12.81,1.139,3.sin45°≈3994 (đvdt).
Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:
a) Số đo các góc A, B, C;
b) Diện tích tam giác ABC.
a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:
cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=122+152−2022.12.15=−31360
cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=122+202−1522.12.20=319480
cosC=BC2+AC2−AB22.BC.AC=202+152−1222.20.15=481600
Do đó: A^≈95°; B^≈48°; C^≈37°.
b) Diện tích tam giác ABC là:
S=12.AB.AC.sinA=12.12.15.sin95≈90 (đvdt).
Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:
* Hình 29: Góc B nhọn.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: BCsinA=ACsinB
⇒sinB=AC.sinABC=5,2.sin40°3,6≈0,93.
Do đó: B^≈68°.
Lại có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)
⇒C^=180°−A^+B^=180°−40°+68°=72°.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)2 + (3,6)2 – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 72° ≈ 28,43
⇒ AB ≈ 5,33 (m).
* Hình 30: Góc B tù.
Khi đó: B^=180°−68°=112°.
Ta tính được: C^=28°.
Do đó:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)2 + (3,6)2 – 2 . 5,2 . 3,6 . cos 28° ≈ 6,94
⇒ AB ≈ 2,63 (m).
Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và ACB^=105° (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).
Nối A với B, ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.
Đổi 1 km = 1 000 m.
Tam giác ABC có AC = 1 000 m, CB = 800 m, ACB^=105°.
Áp dụng định lí côsin ta có:
AB2 = AC2 + CB2 – 2 . AC . CB . cosACB
= 1 0002 + 8002 – 2 . 1 000 . 800 . cos 105°
≈ 2 054 110,5
Do đó: AB ≈ 1 433,2 m.
Vậy khoảng cách AB khoảng 1 433,2 m.
Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Giả sử C là vị trí của ngọn hải đăng, kẻ CH vuông góc AB thì CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.
Ta có: CBH^ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC.
Nên BAC^+ACB^=CBH^.
⇒ACB^=CBH^−BAC^=75°−45°=30°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinC=BCsinA
⇒BC=AB.sinAsinC=30.sin45°sin30°=302.
Tam giác CBH vuông tại H nên sinCBH^=CHBC
⇒CH=BC.sinCBH^=302.sin75°=15+153≈41.
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 41 m.
