Bài tập Định lí và chứng minh định lí có đáp án
7 câu hỏi
Trong Bài 10, ta đã dùng cách đo đạc để kiểm nghiệm tính chất sau là đúng:
“Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau” (H.3.45).
Tuy nhiên, đo đạc chỉ cho ta kết quả gần đúng và chỉ trong một trường hợp cụ thể.
Vậy có cách nào để chắc chắn rằng tính chất đó đúng cho mọi trường hợp không?
GT | a // b, c cắt a tại A, c cắt b tại B; A1^,B1^ là hai góc đồng vị. |
KL | A1^=B1^. |
Chứng minh:
Qua điểm B kẻ đường thẳng b' sao cho B2^=A1^.
Khi đó đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a và b' hai góc đồng vị bằng nhau A1^=B2^.
Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta có a và b' song song với nhau. Suy ra qua B có hai đường thẳng b, b' cùng song song với a. Theo tiên đề Euclid, b' trùng b. Từ đó suy ra B1^=A1^ (vì cùng bằng B2^).
Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.
GT | xx' cắt yy' tại O. x'Oy'^ và xOy^ đối đỉnh. |
KL | x'Oy'^=xOy^. |
Em hãy chứng minh định lí: “Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”.
GT | xOy^ và yOz^ là hai góc kề bù, xOy^=yOz^. |
KL | xOy^=yOz^=90°. |
Do xOy^ và yOz^ là hai góc kề bù nên xOy^+yOz^=180°.
Mà xOy^=yOz^ nên xOy^+yOz^=2xOy^=180°
Do đó xOy^=yOz^=90°.
Vậy hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông.
Hình tròn: Hai góc đối đỉnh thì chắc chắn bằng nhau rồi. Liệu hai góc bằng nhau thì có đối đỉnh không nhỉ?
Hình vuông: Tớ nghĩ đó là điều không đúng! Nhưng làm thế nào để khẳng định điều đó không đúng nhỉ?
Em có ý kiến gì về hai ý kiến trên?
Hai góc bằng nhau thì chưa chắc đối đỉnh.
Hình vẽ bên dưới ta có xOy^=x'Oy'^=30° nhưng hai góc này không đối đỉnh.
Có thể coi định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không? Suy ra như thế nào?
Định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” có thể được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Trong hình vẽ trên, ta có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c.
Giao điểm của hai đường thẳng a và b với đường thẳng c lần lượt là A và B.
Do đường thẳng a và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c nên aAc^=bBc^=90°.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên a song song với b.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hãy chứng minh định lí nói ở Ví dụ trang 56: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”. Trong chứng minh đó ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?
Trong hình vẽ trên, ta có hai đường thẳng a và b song song với nhau.
Đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a.
Giao điểm của hai đường thẳng a và b với đường thẳng c lần lượt là A và B.
Do đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c nên aAc^=90°.
Do đường thẳng a song song với đường thẳng b nên aAc^=bBc^ (hai góc đồng vị)
Do đó bBc^=90°.
Vậy đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c.
Trong chứng minh này, chúng ta sử dụng các kiến thức về số đo của góc vuông, các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau, tính chất hai đường thẳng song song.
Cho góc xOy không phải góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(1) Nếu Ot là tia phân giác của góc xOy thì xOt^=tOy^.
(2) Nếu tia Ot thỏa mãn xOt^=tOy^ thì Ot là tia phân giác của góc xOy.
Nếu có khẳng định không đúng, hãy nêu ví dụ cho thấy khẳng định đó không đúng.
(Gợi ý: Xét tia đối của một tia phân giác).
Khẳng định (1) đúng dựa vào tính chất tia phân giác của góc.
Khẳng định (2) sai, ta có ví dụ như sau:
Trong hình vẽ trên, Oz là tia phân giác của góc xOy, Ot là tia đối của Oz.
Do Oz là tia phân giác của góc xOy nên xOz^=zOy^ (tính chất tia phân giác của góc).
Mà xOt^+xOz^=180°, yOt^+zOy^=180°(hai góc kề bù) nên xOt^=tOy^.
Ta thấy xOt^=tOy^ mà Ot không phải tia phân giác của góc xOy nên khẳng định (2) sai.
