Bài tập Dạng toán tìm số lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 10, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
19.
91.
37.
73.
Đáp án đúng là: A
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Theo đề, tổng các chữ số bằng 11 nên ta có a + b = 10 (1).
Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số mới là \(\overline {ba} \).
Số mới tăng thêm 72 đơn vị suy ra \(\overline {ba} \) − \(\overline {ab} \) = 72 hay 10b + a – 10a – b = 72
Suy ra 9b – 9a = 27 hay b – a = 8 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 10\\b - a = 8\end{array} \right.\)
Thế a = 10 – b vào phương trình thứ (2) ta được b – 10 + b = 8 hay b = 9 (thỏa mãn).
Thay b = 9 vào phương trình (1) suy ra a = 1 (thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là 19.
>
Cho hai số biết rằng 4 lần số thứ hai cộng 5 lần số thứ nhất bằng 18040 và 3 lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là 2002. Số bé là
2004.
2005.
2003.
2002.
Đáp án đúng là: A
Gọi hai số cần tìm lần lượt là x, y.
Theo đề, ta có 4 lần số thứ nhất cộng 5 lần số thứ hai bằng 18040 nên ta có phương trình 5x + 4y = 18040 (1).
Và 3 lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ 2 là 2002 nên ta có phương trình: 3x – 2y = 2002 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 4y = 18040\\3x - 2y = 2002\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình ta được x= 2004 (thỏa mãn) và y = 2005.
Vậy hai số đó là 2004 và 2005.
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số tạo thành bằng 99. Số đã cho là
18.
81.
27.
19.
Đáp án đúng là: A
Goi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Nếu đổi chỗ hai số đó ta được số mới là \(\overline {ba} \).
Số mới hơn số ban đầu 63 đơn vị nên ta có \(\overline {ba} \) −\(\overline {ab} \) = 63 hay 10b + a – 10a – b = 63
Suy ra 9b – 9a = 63 hay b – a = 7 (1).
Tổng của số đã cho và số tạo thành là 99 nên ta có \(\overline {ba} \) + \(\overline {ab} \) = 99 hay 11a + 11b = 99
Suy ra a + b = 9 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}b - a = 7\\a + b = 9\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình suy ra a = 1 và b = 8.
Vậy số cần tìm là 18.
>
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị.
97.
79.
68.
86.
Đáp án đúng là: B
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Theo đề, chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 2 nên ta có b – a = 2 (1).
Nếu viết xen số 0 vào giữa thì ta được số mới là \(\overline {a0b} \).
Lúc này, số mới hơn số ban đầu 630 đơn vị nên \(\overline {a0b} \) − \(\overline {ab} \) = 630
hay 100a + b – 10a – b = 630 hay 90a = 630 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}b - a = 2\\90a = 630\end{array} \right.\).
Từ phương trình (2) suy ra a = 7 (thỏa mãn).
Thay a = 7 vào phương trình (1) suy ra b = 9.
Vậy số cần tìm là 79.
>
Chữ số hàng chục của một số có hai chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau ta được một số bằng \(\frac{3}{8}\) số ban đầu. Tìm số ban đầu.
27.
72.
16.
61.
Đáp án đúng là: B
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Theo đề, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 nên ta có a – b = 5 (1).
Nếu đổi chỗ hai chữ số ta được số mới là \(\overline {ba} \).
Số mới bằng \(\frac{3}{8}\) số ban đầu nên \(\overline {ba} \) = \(\frac{3}{8}\)\(\overline {ab} \) hay 8\(\overline {ba} \) = 3\(\overline {ab} \)
Suy ra 80b + 8a = 30a + 3b hay 77b – 22a = 0 hay 7b – 2a = 0 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\7b - 2a = 0\end{array} \right.\)
Thay a = 5 + b vào (2) ta được 7b – 10 – 2b = 0 hay 5b = 10 suy ra b = 2 (thỏa mãn)
Với b = 2 thì a = 7 (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 72.
>
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 đơn vị và tổng bình phương của hai chữ số là 80.
48.
84.
62.
26.
Đáp án đúng là: A
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Theo đề chữ số hàng chục kém hàng đơn vị là 4 nên ta có b – a = 4 (1).
Tổng bình phương của hai chữ số là 80 nên ta có: a2 + b2 = 80 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}b - a = 4\\{a^2} + {b^2} = 80\end{array} \right.\).
Thay b = 4 + a vào phương trình (2) ta được a2 + (a + 4)2 = 80 nên 2a2 + 8a – 64 = 0
Suy ra a = 4 (thỏa mãn) hoặc a = −8 (loại).
Với a = 4 thì b = 8 (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 48.
>
Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4. Nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm 99 đơn vị.
746.
447.
647.
744.
Đáp án đúng là: A
Gọi số cần tìm là \(\overline {a4b} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Theo đề, tổng các chữ số bằng 17 nên a + 4 + b = 17 hay a + b = 13 (1)
Nếu đổi chỗ chữ số hàng trăm với hàng đơn vị ta được số mới là \(\overline {b4a} \) .
Theo đề, ta có: \(\overline {a4b} \) −\(\overline {b4a} \) = 99 hay 100a + 40 + b – 100b – 40 – a = 99
Suy ra 99a – 99b = 99 hay a – b = 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 13\\a - b = 1\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta được a = 7 và b = 6 (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 746.
>
Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 6 đơn vị. Nếu viết xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng 720 đơn vị.
82.
28.
71.
93.
Đáp án đúng là:
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Theo đề, chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 6 đơn vị nên a – b = 6 (1)
Nếu xen chữ số 0 vào giữa thì ta có số mới là \(\overline {a0b} \) .
Theo đề, số tự nhiên đó tăng 720 đơn vị nên ta có \(\overline {a0b} \) − \(\overline {ab} \) = 720
Suy ra 100a + b – 10a – b = 720 hay 90a = 720 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 6\\90a = 720\end{array} \right.\)
Từ phương trình (2) suy ra a = 8 (thỏa mãn)
Thay a = 8 vào phương trình (1) được b = 2 (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 82.
>
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại của số phải tìm.
45.
68.
54.
46.
Đáp án đúng là: C
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Theo đề, tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần nên ta có \(\overline {ab} \) = 6(a + b) hay
10a + b = 6a + 6b suy ra 4a – 5b = 0 (1)
Thêm 25 vào tích của hai chữ số được số viết theo thứ tự ngược lại nên ta có phương trình ab + 25 = 10b + a (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}4a - 5b = 0\\ab + 25 = 10b + a\end{array} \right.\)
Thế b = \(\frac{4}{5}\)a vào phương trình (2) ta được \(\frac{4}{5}\)a2 + 25 = 8a + a hay 4a2 – 45a + 125 = 0
Giải phương trình được a = 5 (thỏa mãn) hoặc a = \(\frac{{25}}{4}\) (loại).
Với a = 5 thì b = 4.
Vậy số cần tìm là 54.
>
Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được một số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 đơn vì và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18 đơn vị.
46.
57.
64.
75.
Đáp án đúng là: C
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \) (0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; a, b ∈ ℕ).
Nếu viết thêm số 1 vào bên ta được số mới là \(\overline {ab1} \).
Theo đề, ta có: \(\overline {ab1} \) − \(\overline {ab} \) = 577 hay 100a + 10b + 1 – 10a – b = 577
hay 90a + 9b = 576 suy ra 10a + b = 64 (1)
Số đó viết theo thứ tự ngược lại là \(\overline {ba} \).
Số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18 đơn vị nên ta có:
\(\overline {ab} \) − \(\overline {ba} \) = 18 hay 9a – 9b = 18 suy ra a – b = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}10a + b = 64\\a - b = 2\end{array} \right.\).
Từ (2) có b = a – 2.
Thay b = a – 2 vào (1) ta được 11a – 2 = 64 hay a = 6 (thỏa mãn).
Với a = 6 thì b = 4 (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 64.
>
Trong một ngày, cả hai người làm được \(\frac{1}{{40}}\) công việc.
\(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{40}}\).
\(\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\).
Khi làm riêng, thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 20 ngày.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Hai người thợ làm chung trong 40 ngày nên trong một ngày, cả hai người làm chung được \(\frac{1}{{40}}\) (công việc). Vậy một ngày, cả hai người làm được \(\frac{1}{{40}}\) công việc.
b) Đúng.
Trong một ngày, người thứ nhất làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).
Trong một ngày, người thứ hai làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).
Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{40}}\) (1).
c) Sai.
Vì hai người làm chung trong 20 ngày, người thứ nhất không làm nữa và người thứ hai tiếp tục công việc thì sau 30 ngày nữa mới xong nên ta có: \(\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{20}}{{\rm{y}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\) hay \(\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1\) (2). Do đó, c) sai.
d) Sai.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{40}}\\\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có: \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}\).
Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ hai của hệ ta có: \(20\left( {\frac{1}{{40}} - \frac{1}{{\rm{y}}}} \right) + \frac{{50}}{{\rm{y}}} = 1\) nên \(\frac{{30}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{2}\) nên y = 60 (thỏa mãn).
Với y = 60 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{{40}} - \frac{1}{{{\rm{60}}}} = \frac{1}{{120}}\) nên x = 120 (thỏa mãn).
Vậy khi làm riêng, thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc lâu hơn người thứ hai là 60 ngày.
Đội II phải hoàn thành một mình là \(\frac{2}{3}\) phần công việc.
\(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{24}}\).
\(\frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{3}\).
Thời gian đội I làm một mình xong công việc là 36 ngày.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai.
Hai đội làm chung trong 16 ngày nên hai đội làm chung được \(\frac{{16}}{{24}} = \frac{2}{3}\) (công việc).
Đội II phải hoàn thành một mình \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\) (công việc).
Vậy đội II phải hoàn thành một mình là \(\frac{1}{3}\) phần công việc.
b) Đúng.
Trong một ngày, đội I làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).
Trong một ngày, đội II làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).
Trong một ngày, cả hai đội làm được \(1:24 = \frac{1}{{24}}\) (công việc).
Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{24}}\) (1).
c) Sai.
Vì khi làm việc một mình, đội II tăng năng suất gấp đôi nên và đội II đã hoàn thành nốt công việc đó trong 7 ngày nên ta có: \(7 \cdot \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{42}}\). Do đó, c) sai.
d) Sai.
Theo c) ta có: \(\frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{42}}\) nên y = 42 (thỏa mãn).
Thay y = 42 vào \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{24}}\) ta có: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{{\rm{42}}}} = \frac{1}{{24}}\) nên x = 56 (thỏa mãn).
Vậy thời gian đội I một mình hoàn thành công việc là 56 ngày.
Nếu chảy riêng, một giờ vòi I chảy được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (bể), vòi II chảy được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (bể).
Phương trình biểu diễn lượng nước chảy trong 2 giờ của vời I và II là \(\frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 2\).
Phương trình biểu diễn lượng nước vòi I chảy trong 1 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ là \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\).
Nếu mỗi vòi chảy riêng thì thời gian vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 3 giờ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Trong một giờ, vòi I chảy riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (bể).
Trong một giờ, vòi II chảy riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (bể).
b) Sai.
Vì vòi I chảy trong 2 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ thì đầy bể nước nên \(\frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) (1).
c) Đúng.
Vì vòi I chảy trong 1 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ thì chảy được \(\frac{2}{3}\) bể nước nên \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\) (2).
d) Đúng.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\\\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).
Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai trong hệ ta có \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{3}\) nên x = 3 (thỏa mãn)
Với x = 3 thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có \(\frac{1}{{\rm{3}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = \frac{2}{3}\) nên y = 6 (thỏa mãn).
Vậy nếu mỗi vòi chảy riêng thì thời gian vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 3 giờ.
Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì trong một giờ, người thợ thứ nhất làm bằng \(\frac{2}{3}\) người thứ hai. Nếu người thợ thứ nhất làm 10 phút và người thợ thứ hai làm trong 15 phút thì được \(\frac{1}{6}\) công việc. Gọi thời gian người thợ thứ nhất và thứ hai làm riêng xong công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ), điều kiện: x > 0, y > 0. Khi đó:
Phần công việc nếu người thợ thứ nhất làm riêng trong một giờ là \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).
\(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\).
Người thợ thứ nhất làm trong 10 phút và người thứ thứ hai làm trong 15 phút được \(\frac{1}{6}\) công việc nên \(\frac{{10}}{{\rm{x}}} + \frac{{15}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\).
Nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc trong thời gian ít hơn 4 giờ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Trong một giờ, người thợ thứ nhất làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).
Trong một giờ, người thợ thứ hai làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).
b) Đúng.
Vì trong một giờ, người thợ thứ nhất làm bằng \(\frac{2}{3}\) người thứ hai nên ta có\(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\) (1).
c) Sai.
Vì người thợ thứ nhất làm 10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ và người thợ thứ hai làm trong 15 phút \( = \frac{1}{4}\) giờ thì được \(\frac{1}{6}\) công việc nên \(\frac{1}{{{\rm{6x}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}\) (2).
d) Đúng.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\\\frac{1}{{{\rm{6x}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}\end{array} \right.\).
Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{3y}}}}\) vào phương trình thứ hai của hệ ta có: \(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{{{\rm{3y}}}} + \frac{1}{{{\rm{4y}}}} = \frac{1}{6}\) nên \(\frac{{13}}{{{\rm{36y}}}} = \frac{1}{6}\) nên y = \(\frac{{13}}{6}\) (thỏa mãn).
Với y = \(\frac{{13}}{6}\) thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{3 \cdot \frac{{13}}{6}}} = \frac{4}{{13}}\) nên x = \(\frac{{13}}{4}\)(thỏa mãn).
Vậy thời gian người thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là \(\frac{{13}}{4}\) giờ (< 4 giờ).
Nếu làm riêng, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc), người thứ hai làm được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).
\(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\).
Phương trình biểu diễn số phần công việc người thứ nhất làm được trong 3 giờ và người thứ hai làm được trong 4 giờ là \(\frac{4}{{\rm{x}}} + \frac{3}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\).
Hai người thợ làm cùng nhau thì hoàn thành công việc trong 27 giờ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai d) Sai.
a) Đúng.
Trong một giờ, người thứ nhất làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).
Trong một giờ, người thứ hai làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).
b) Đúng.
Vì trong một giờ, người thợ thứ nhất làm được gấp đôi người thợ thứ hai: \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\) (1).
c) Sai.
Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 4 giờ thì làm được \(\frac{5}{9}\) công việc nên \(\frac{3}{{\rm{x}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\) (2).
d) Sai.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\\\frac{3}{{\rm{x}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\end{array} \right.\).
Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ hai trong hệ ta có \(3 \cdot \frac{2}{{\rm{y}}} + \frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\) nên \(\frac{{10}}{{\rm{y}}} = \frac{5}{9}\) nên y = 18 (thỏa mãn).
Với y = 18 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{2}{{{\rm{18}}}}\) nên x = 9 (thỏa mãn).
Trong một giờ, cả hai người thợ làm được: \(\frac{1}{9} + \frac{1}{{18}} = \frac{1}{6}\) (giờ).
Vậy cả hai người thợ cùng làm với nhau thì sau 6 giờ hoàn thành công việc.
Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia dọn vệ sinh sân trường thì sau 2 giờ 40 phút thì hoàn thành công việc. Nếu mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 6 giờ. Khi mỗi lớp làm một mình, thời gian lớp 9A hoàn thành công việc là bao nhiêu giờ? biết rằng thời gian lớp 9A làm việc nhiều hơn 5 giờ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
Đổi 2 giờ 40 phút \( = \frac{8}{3}\) giờ.
Gọi thời gian lớp 9A và lớp 9B làm riêng xong công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ), điều kiện: x > 5, y > \(\frac{8}{3}\).
Trong một giờ, lớp 9A làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).
Trong một giờ, lớp 9B làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).
Trong một giờ, cả hai lớp làm được \(1:\frac{8}{3} = \frac{3}{8}\) (công việc).
Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{3}{8}\) (1).
Vì khi mỗi lớp chia nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 6 giờ nên \(\frac{1}{2}{\rm{x}} + \frac{1}{2}{\rm{y}} = 6\)suy ra x + y = 12 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{3}{8}\\{\rm{x}} + {\rm{y}} = 12\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: x = 12 – y.
Thay x = 12 – y vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
\(\frac{1}{{12 - {\rm{y}}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{3}{8}\)
\(\frac{{ - 8{\rm{y}}}}{{{\rm{8y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}} + \frac{{8\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}}{{{\rm{8y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}} = \frac{{{\rm{3y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}}{{{\rm{8y}}\left( {{\rm{y}} - 12} \right)}}\)
–8y + 8y – 96 = 3y2 – 36y
3y2 – 36y + 96 = 0
3y2 – 12y – 24y + 96 = 0
3y(y – 4) – 24(y – 4) = 0
(y – 4)(3y – 24) = 0
y – 4 = 0 hoặc 3y – 24 = 0
y = 4 (thỏa mãn) hoặc y = 8 (thỏa mãn).
Với y = 4 thì x = 12 – 4 = 8 (thỏa mãn).
Với y = 8 thì x = 12 – 8 = 4 (không thỏa mãn).
Vậy lớp 9A làm một mình xong công việc trong 8 giờ.
Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 8 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 18 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 2 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình, người thứ nhất hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 24
Gọi x (ngày) và y (ngày) (x, y > 8) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc.
Trong một ngày, người thứ nhất làm một mình được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (công việc).
Trong một ngày, người thứ hai làm một mình được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (công việc).
Trong một ngày, cả hai người làm chung làm được \(1:8 = \frac{1}{8}\) (công việc).
Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{8}\) (1).
Vì người thứ nhất làm một mình trong 18 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 2 ngày nữa thì xong công việc nên ta có: \(\frac{{18}}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) hay \(\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{8}\\\frac{{20}}{{\rm{x}}} + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có: \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{{\rm{y}}}\).
Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ hai của hệ ta có: \(20\left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{\rm{y}}}} \right) + \frac{2}{{\rm{y}}} = 1\) nên \(\frac{{18}}{{\rm{y}}} = \frac{3}{2}\) nên y = 12 (thỏa mãn).
Với y = 12 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{{{\rm{12}}}} = \frac{1}{{24}}\) nên x = 24 (thỏa mãn).
Vậy khi làm riêng, thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 ngày.
Bốn cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng A. Sau 3 giờ có thêm 10 cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc. Cả 14 cần cẩu làm việc trong 3 giờ nữa thì sau. Hỏi mỗi cần cẩu lớn làm việc một mình thì bao lâu bốc dỡ xong lô hàng đó? Biết rằng, nếu cả 14 cần cẩu cùng làm từ đầu thì trong 4 giờ bốc dỡ xong lô hàng đó.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 48
Gọi thời gian một cần cẩu lớn và một cần cẩu bé bốc dỡ một mình xong lô hàng lần lượt là x (giờ) và y (giờ), điều kiện: x > 4, y > 4.
Trong một giờ, 1 cần cẩu lớn bốc dỡ được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (lô hàng).
Trong một giờ, 1 cần cẩu bé bốc dỡ được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (lô hàng).
Bốn cần cẩu lớn làm việc trong 6 giờ và 10 cần cẩu bé làm việc trong 3 giờ thì xong công việc nên ta có: \(6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{{\rm{x}}} + 10 \cdot 3 \cdot \frac{1}{{\rm{y}}} = 1\) hay \(\frac{{24}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\) (1).
Vì 14 cần cẩu cùng làm từ đầu thì trong 4 giờ bốc dỡ xong lô hàng đó nên trong 1 giờ cả 14 cần cẩu bốc dỡ được \(\frac{1}{4}\) (lô hàng). Ta có phương trình \(\frac{4}{{\rm{x}}} + \frac{{10}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{4}\)(2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{24}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\\\frac{4}{{\rm{x}}} + \frac{{10}}{{\rm{y}}} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).
Nhân hai vế của phương trình thứ hai trong hệ với 3 ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{24}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = 1\\\frac{{12}}{{\rm{x}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\) (I)
Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai trong hệ (I) ta được \(\frac{{12}}{{\rm{x}}} = \frac{1}{4}\) nên x = 48 (thỏa mãn).
Thay x = 48 vào phương trình thứ hai trong hệ (I) ta có: \(\frac{{12}}{{{\rm{48}}}} + \frac{{30}}{{\rm{y}}} = \frac{3}{4}\) nên y = 60 (thỏa mãn).
Hai bạn An và Bình làm chung một dự án thì hoàn thành sau 6 ngày. Nếu làm một mình xong dự án thì Bình làm nhanh hơn An 5 ngày. Vậy nếu An làm một mình xong dự án đó trong bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 15
Gọi thời gian bạn An và bạn Bình làm riêng xong dự án lần lượt là x (ngày) và y (ngày), điều kiện: x > 6, y > 6.
Trong một ngày, An làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (dự án).
Trong một ngày, Bình làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (dự án).
Trong một ngày, cả hai bạn làm được \(1:6 = \frac{1}{6}\) (dự án).
Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\) (1).
Vì nếu làm một mình xong dự án thì Bình làm nhanh hơn An 5 ngày nên x – y = 5 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\\{\rm{x}} - {\rm{y}} = 5\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: x = y + 5.
Thay x = y + 5 vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:
\(\frac{1}{{{\rm{y}} + 5}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{{{\rm{6y}}}}{{{\rm{6y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}} + \frac{{{\rm{6y}} + 30}}{{{\rm{6y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}} = \frac{{{\rm{y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}}{{6{\rm{y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}}\)
6y + 6y + 30 = y2 + 5y
y2 – 7y – 30 = 0
y2 – 10y + 3y – 30 = 0
y(y – 10) + 3(y – 10) = 0
(y + 3)(y – 10) = 0
y – 10 = 0 (do y + 3 > 0 với y > 6).
y = 10 (thỏa mãn).
Với y = 10 thì x = 10 + 5 = 15 (thỏa mãn).
Vậy An làm một mình xong dự án trong 15 ngày.
Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt ở ngoài biển, hai đội ngư dân cần vận chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Hai đội cùng vận chuyển thì vận chuyển được \(\frac{1}{3}\) số lương thực hết 30 phút. Trong một giờ, đội thứ nhất vận chuyển nhanh gấp 3 lần đội thứ hai. Thời gian đội thứ hai vận chuyển riêng xong chỗ lương thực thực phẩm là bao nhiêu phút?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 120
Gọi thời gian đội thứ nhất và đội thứ hai vận chuyển riêng xong số lương thực thực phẩm lần lượt là x (phút) và y (phút), điều kiện: x > 30, y > 30.
Thời gian hai đội làm chung xong công việc là: \(30:\frac{1}{3} = 90\) (phút).
Trong một phút, đội thứ nhất vận chuyển riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (số lương thực, thực phẩm).
Trong một phút, đội thứ hai vận chuyển riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (số lương thực, thực phẩm).
Trong một phút, cả hai đội vận chuyển được được \(1:90 = \frac{1}{{90}}\) (số lương thực, thực phẩm).
Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\) (1).
Vì trong một giờ, đội thứ nhất vận chuyển nhanh gấp 3 lần đội thứ hai nên\(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{\rm{y}}}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\\\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{\rm{y}}}\end{array} \right.\).
Thay \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(\frac{3}{{\rm{y}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\) nên \(\frac{4}{{\rm{y}}} = \frac{1}{{90}}\) nên y = 360 (thỏa mãn).
Với y = 360 thì \(\frac{1}{{\rm{x}}} = \frac{3}{{360}}\) nên x = 120 (thỏa mãn).
Vậy thời gian đội thứ hai vận chuyển riêng xong chỗ lương thực thực phẩm là 360 phút.
