Bài tập Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Một hình thang có diện tích là 140 cm2, chiều cao 8 cm. Tính độ dài các đáy của hình thang, biết chúng hơn kém nhau 5 cm.
Đáy lớn là 15 cm, đáy nhỏ là 20 cm.
Đáy lớn là 20 cm, đáy nhỏ là 15 cm.
Đáy lớn là 25 cm, đáy nhỏ là 10 cm.
Đáy lớn là 21 cm, đáy nhỏ là 14 cm.
Đáp án đúng là: B
Gọi độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của hình thang lần lượt là x, y (x > 5, x > y > 0, cm).
Diện tích hình thang là 140 cm2 nên ta có \(\frac{{\left( {x + y} \right).8}}{2} = 140\) hay x + y = 35 (1)
Đáy lớn hơn đáy bé 5 cm nên ta có phương trình x – y = 5 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\x - y = 5\end{array} \right.\).
Thế x = 5 + y vào phương trình (1) ta được 5 + 2y = 35 hay y = 15 (thỏa mãn).
Thay y = 15 vào phương trình x – y = 5 suy ra x = 20 (thỏa mãn).
Vậy đáy lớn của hình thang là 20 cm, đáy nhỏ là 15 cm.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m2. Chiều dài của mảnh vườn là
12 m.
5 m.
17 m.
7 m.
Đáp án đúng là: A
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (0 < y < x, m).
Theo đề chu vi của mảnh vườn là 34 m nên ta có phương trình:
2(x + y) = 34 suy ra x + y = 17 (1)
Diện tích mảnh vườn là xy (m2).
Nếu tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 2 m thì diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình (x + 3)(y + 2) = xy + 45 hay 2x + 3y = 39 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\2x + 3y = 39\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1) ta có x = 17 – y.
Thế x = 17 – y vào phương trình (2) ta có 2(17 – y) + 3y = 39 hay y = 5 (thỏa mãn).
Thay y = 5 vào phương trình (1) ta có x = 12 (thỏa mãn).
Vậy chiều dài của mảnh vườn là 12 m.
>
Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m, diện tích bằng 2430 m2. Chiều rộng của thửa đất đó là
54 m.
45 m
55 m.
44 m.
Đáp án đúng là: B
Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là x, y (x > y > 0, m).
Chu vi mảnh vườn bằng 198 m nên 2(x + y) = 198 hay x + y = 99 (1).
Diện tích mảnh vườn bằng 2430 m2 nên ta có xy = 2430 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 99\\xy = 2430\end{array} \right.\).
Từ phương trình (1) ta có x = 99 – y.
Thay x = 99 – y vào phương trình (2), ta được:
(99 – y).y = 2430 hay y2 – 99y + 2430 = 0 hay y2 – 54y – 45y + 2430 = 0.
Suy ra (y – 54)(y – 45) = 0
Do đó y = 54 (thỏa mãn) hoặc y = 45 (thỏa mãn).
Với y = 54 thay vào phương trình (1) được x = 45 (loại do x > y).
Với y = 45 thay vào phương trình (1) được y = 54 (thỏa mãn).
Vậy chiều rộng của thửa ruộng là 45 m.
Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7 m. Chu vi của mảnh đất đó là
12 m.
5 m.
17 m.
34 m.
Đáp án đúng là: D
Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > 7, x > y > 0, đơn vị: m).
Mảnh đất có đường chéo là 13 m nên ta có phương trình:
x2 + y2 = 132 (Định lý Pythagore) (1).
Chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7 m nên ta có phương trình: x – y = 7 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {13^2}\\x - y = 7\end{array} \right.\).
Thay x = 7 + y vào phương trình (1) ta được:
(7 + y)2 + y2 = 132 hay 2y2 + 14y – 120 = 0 hay 2y2 – 10y + 24y – 120 = 0
Suy ra (y – 5)(2y + 24) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −12 (loại).
Thay y = 5 vào phương trình (2) được x = 12 (thỏa mãn).
Do đó, chiều dài mảnh đất là 12 m và chiều rộng mảnh đất là 5 m.
Chu vi mảnh đất hình chữ nhật đó là: 2(5 + 12) = 34 (m).
Một hình chữ nhật có chu vi là 70 m, nếu giảm chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích như cũ. Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt là
20 m và 15 m.
15 m và 20 m.
22 m và 13 m.
25 m và 10 m.
Đáp án đúng là: A
Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt là x, y (x > y > 0, m).
Chu vi hình chữ nhật là 70 m nên 2(x + y) = 70 hay x + y = 35 (1).
Diện tích của hình chữ nhật là xy (m2).
Nếu giảm chiều rộng đi 3 m và tăng chiều dài 5 m thì diện tích như cũ nên ta có phương trình (x + 5)(y – 3) = xy hay 5y – 3x = 15 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 35\\5y - 3x = 15\end{array} \right.\).
Từ (1) ta có y = 35 – x.
Thế y = 35 – x vào phương trình (2) ta được:
5(35 – x) – 3x = 15 hay 8x = 160 nên x = 20 (thỏa mãn)
Thay x = 20 vào (1) được y = 15 (thỏa mãn).
Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 20 m và 15 m.
Nhà bạn Nam được ông bà để lại cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Hiền đến nhà Nam chơi, Nam đố Hiền tìm ra kích thước của mảnh đất khi cho biết: mảnh đất đó có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2 m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích mảnh đất đó sẽ tăng thêm 20 m2. Hãy giúp Hiền tính chiều rộng của mảnh đất đó.
5 m.
20 m.
15 m.
25 m.
Đáp án đúng là: A
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x, y (x > y > 2, m).
Theo đề chiều dài gấp bốn lần chiều rộng nên ta có x = 4y (1).
Diện tích mảnh đất đó là xy (m2).
Nếu giảm chiều rộng 2m vào tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích tăng thêm 20 m2 nên ta có phương trình 2x(y – 2) = xy + 20 hay xy – 4x = 20 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\xy - 4x = 20\end{array} \right.\).
Thế x = 4y vào phương trình (2) được 4y2 – 8x – 20 = 0 hay y2 – 4y – 5 = 0.
Suy ra (y – 5)(y + 1) = 0 nên y = 5 (thỏa mãn) hoặc y = −1.
Với y = 5 thì x = 20 (thỏa mãn).
Vậy chiều rộng của mảnh đất đó là 5 m.
Một tam giác có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Cạnh đáy của tam giác là
33 dm.
44 dm.
30 dm.
11 dm.
Đáp án đúng là: B
Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó lần lượt là x, y (x, y > 0, dm).
Theo đề, chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh đáy nên x = \(\frac{3}{4}\)y (1).
Diện tích tam giác là \(\frac{1}{2}\)xy (dm2).
Nếu tăng chiều cao thêm 3 dm và cạnh đáy giảm 3 dm thì diện tích tăng thêm 12 dm2 nên ta có phương trình \(\frac{1}{2}\)(x + 3)(y – 3) = \(\frac{1}{2}\)xy + 12 hay xy – 3x + 3y – 9 = xy + 24
Hay 3x – 3y = −33 hay x – y = −11 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}y\\x - y = - 11\end{array} \right.\)
Thay x = \(\frac{3}{4}\)y vào phương trình (2) ta được
\( - \frac{1}{4}\)y = −11 suy ra y = 44 (thỏa mãn).
Với y = 44 thì x = 33.
Chiều cao của tam giác là 33 dm, đáy là 44 dm.
Một hình chữ nhật ban đầu có chu vi bằng 2010 cm. Biết rằng nếu tăng chiều dài của hình chữ nhật thêm 20 cm và tăng chiều rộng thêm 10 cm thì diện tích hình chữ nhật ban đầu tăng lên 13 300 cm2. Chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó lần lượt là
700 cm, 300 cm.
700 cm, 305 cm.
300 cm, 700 cm.
305 cm, 695 cm.
Đáp án đúng là: B
Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là x, y (x > y > 0, cm).
Chu vi của hình chữ nhật là 2010 cm nên ta có 2(x + y) = 2010 hay x + y = 1005 (1)
Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm thì kích thước hình chữ nhật mới là
Chiều dài: x + 20 (cm), chiều rộng: y + 10 (cm).
Khi đó diện tích hình chữ nhật mới là:
(x + 20)(y + 10) = xy + 13 300 hay x + 2y = 1310 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1005\\x + 2y = 1310\end{array} \right.\).
Thế x = 1005 – y vào phương trình thứ (2) được 1005 – y + 2y = 1310 hay y = 305 (thỏa mãn).
Thay y = 305 vào phương trình (1) được x = 700 (thỏa mãn).
Vậy chiều dài, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật lần lượt là 700 m và 305 m.
Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 280m người ta làm đường đi xung quanh rộng 2 m nên diện tích phần còn lại để trồng là 4256 m2. Tính kích thước ban đầu của khu vườn.
Chiều dài 80 m, chiều rộng 60 m.
Chiều dài 60 m, chiều rộng 40 m.
Chiều dài 100 m, chiều rộng 40 m.
Chiều dài 90 m, chiều rộng 50 m.
Đáp án đúng là: A
Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật (x > y > 4).
Chu vi của khu vườn là 280 m nên ta có 2(x + y) = 280 hay x + y = 140 (1)
Sau khi làm lối đi thì chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là x – 4 và y – 4 (m).
Diện tích phần còn lại để trồng là: (x – 4)(y – 4) = 4256 hay xy – 4x – 4y = 4240 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 140\\xy - 4x - 4y = 4240\end{array} \right.\)
Thế x = 140 – y vào phương trình (2) ta được:
(140 – y)y – 4(140 – y) – 4y = 4240 hay y2 – 140y – 4800 = 0 hay (y – 60)(y – 80) = 0
Do đó, y = 60 hoặc y = 80.
Với y = 60 thì x = 80 (thỏa mãn do x > y).
Với y = 80 thì x = 60 (loại).
Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là 80 m, chiều rộng ban đầu của khu vườn là 60 m.
Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 m thì diện tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm2. Nếu giảm chiều dài đi 2 m, chiều rộng đi 1 m thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm đi 15 cm2. Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là
Chiều dài 12 m, chiều rộng 5 m.
Chiều dài 17 m, chiều rộng 7 m.
Chiều dài 15 m, chiều rộng 12 m.
Chiều dài 17 m, chiều rộng 12 m.
Đáp án đúng là: A
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y (x > y > 0, cm).
Theo đề, nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 m thì diện tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm2 nên ta có phương trình (x + 1)(y + 1) = xy + 13 hay x + y = 12 (1)
Nếu giảm chiều dài đi 2 m, chiều rộng đi 1 m thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm đi 15 cm2 nên ta có phương trình: (x – 2)(y – 1) = xy – 15 hay x + 2y = 17 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\x + 2y = 17\end{array} \right.\)
Thế x = 12 – y vào phương trình (2) ta được 12 – y + 2y = 17 hay y = 5 (thỏa mãn).
Với y = 5 thì x = 12 (thỏa mãn).
Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 12 cm và 5 cm.
Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 8 giờ là \[\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8\].
Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 4 giờ là \[\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4\].
Vận tốc ca nô xuôi dòng là 21 km/h.
Vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng là 6 km/h.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 8 giờ là: \[\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8\].
b) Đúng.
Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 4 giờ là: \[\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4\].
c) Sai.
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8\\\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4\end{array} \right.\]
Đặt \[\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\] được hệ \[\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{27}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\], do đó \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x = 27\\y = 21\end{array} \right.\]
Do đó, vận tốc xuôi dòng của ca nô là 27 km/h.
d) Đúng.
Vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là: 27 – 21 = 6 (km/h).
\[x + y = 200\].
Vì vận tốc ô tô tăng thêm \[10\,\,{\rm{km/h}}\], vận tốc xe máy giảm đi \[5\,\,{\rm{km/h}}\] thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình \[x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)\].
Vận tốc của ô tô là 60 km/h, vận tốc của xe máy là 40 km/h.
Quãng đường ô tô đi được gấp \[1,5\] lần quãng đường xe máy đi được.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là:a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng
a) Sai.
Quãng đường ô tô đi được trong 2 giờ là \[2x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\]
Quãng đưỡng xe máy đi được trong 2 giờ là \[2y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].
Do đó, tổng quãng đường hai xe đi trong 2 giờ là \[2x + 2y = 200\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\] hay \[x + y = 100\]
b) Đúng.
Vì vận tốc ô tô tăng thêm \[10\,\,{\rm{km/h}}\], vận tốc xe máy giảm đi \[5\,\,{\rm{km/h}}\] thì vận tốc của ô tô bằng
2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình \[x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)\] hay \[x - 2y = - 20\].
c) Sai.
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\3y = 120\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 40\end{array} \right.\] (thỏa mãn)
Vậy vận tốc của ô tô là 60 km/h, vận tốc của xe máy là 40 km/h.
d) Đúng.
Quãng đường ô tô đi được so với quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là: \[\frac{{2 \cdot 60}}{{2 \cdot 40}} = \frac{3}{2} = 1,5\] (lần)
\(y - x = 15.\)
Phương trình biểu diễn quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ là \(\frac{7}{3}x + \frac{2}{3}y = 170.\)
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{7}{3}x + \frac{2}{3}y = 170\end{array} \right.\).
Vận tốc của xe tải là \(60\)km/h, vận tốc của xe khách là 45 km/h.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là \(15\) km nên \(y - x = 15.\)
Do đó, ý a) là đúng.
b) Sai.
Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = \(\frac{7}{3}\) giờ.
Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: \(\frac{7}{3}y\) (km) và xe tải đi được quãng đường là \(\frac{2}{3}x\) (km).
Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\).
Do đó, ý b) là sai.
c) Sai.
Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là sai.
d) Sai.
Thế \(y = 15 + x\), thế vào phương trình \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\), ta được:
\(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170\)
\(\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170\)
\(3x = 135\)
\(x = 45\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 45\) vào phương trình (1), ta được: \(y = 15 + 45 = 60\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của xe tải là \(45\)km/h, vận tốc của xe khách là \(60\) km/h.
Vậy ý d) là sai.
Một ca nô xuôi dòng 78 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ với vận tốc dự định. Nếu ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km cùng với vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, x > 0) và vận tốc của dòng nước là y (km/h, y > 0). Khi đó:
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là \(\frac{{78}}{{x - y}}\,\,\left( h \right)\).
Thời gian ca nô đi ngược dòng là \(\frac{{44}}{{x + y}}\,\,\left( h \right)\).
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5\\\frac{{13}}{{x + y}} - \frac{{11}}{{x - y}} = 1\end{array} \right.\).
Vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Vận tốc ca nô xuôi dòng là \(x + y\,\,\,\left( {km/h} \right)\).
Do đó, thời gian ca nô xuôi dòng là \(\frac{{78}}{{x + y}}\,\,\left( h \right)\).
b) Sai.
Vận tốc ca nô ngược dòng là \(x - y\,\,\,\left( {km/h} \right)\).
Do đó, thời gian ca nô ngược dòng là: \(\frac{{44}}{{x - y}}\,\,\left( h \right)\).
c) Sai.
Vì ca nô xuôi dòng 78 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5\) (1).
Nếu ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km cùng với vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ nên ta có phương trình \(\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5\\\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1\end{array} \right.\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.\) thì ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\13a + 11b = 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\52a + 44b = 4\end{array} \right.\)
Từ theo vế hai phương trình được 26a = 1 nên a = \(\frac{1}{{26}}\), suy ra b = \(\frac{1}{{22}}\).
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 26\\x - y = 22\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 2\end{array} \right.\).
d) Đúng.
Vậy vận tốc của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là \(\frac{{10}}{x}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\).
Thời gian Nam đi học nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất là \(\frac{{10}}{y}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\).
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}\end{array} \right.\).
Vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam là 15 km/h.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là \(\frac{{10}}{x}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\).
b) Đúng.
Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là \(\frac{{10}}{y}\,\,\left( {\rm{h}} \right)\).
c) Sai.
Vì nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút \(\left( { = \frac{1}{6}\,\,h} \right)\) so với đạp xe với vận tốc hằng ngày nên ta có phương trình \(\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\) (1).
Theo đề, tổng thời gian hôm nay Nam đi học là 35 phút \(\left( { = \frac{7}{{12}}\,\,h} \right)\) nên ta có phương trình: \(\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}\end{array} \right.\).
Giải hệ, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{7}{6}\end{array} \right.\)
Cộng hai phương trình theo vế được \(\frac{{20}}{x} = \frac{8}{6}\) nên x = 15 (km/h)
Suy ra y = 20 (km/h).
d) Sai.
Vậy vận tốc hằng ngày của Nam là 15 km/h và vận tốc lớn nhất là 20 km/h.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được hai giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng thêm 3 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB. (Đơn vị: km)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 180
Gọi vận tốc ban đầu là \(x\,\,\left( {x > 3,\,\,{\rm{km/h}}} \right)\), thời gian chạy dự định là \(y\,\,\left( {y > 2} \right)\).
Do đó, độ dài quãng đường \(AB\) là \(xy\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Nếu ô tô tăng vận tốc 3 km/h thì rút ngắn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:
\(\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\left( 1 \right)\)
Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng thêm 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: \(\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\\\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.\).
Giải phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.\), ta có:
Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được \(x = 15\) (thỏa mãn).
Với \(x = 15\) thì \(y = 12\) (thỏa mãn).
Vậy độ dài quãng đường AB là: \(12 \cdot 15 = 180\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Một ô tô đi quãng đường AB dài 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính tổng thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC. (Đơn vị: giờ)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3,5
Gọi x, y (h) lần lượt là thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC (x, y > 0, giờ).
Quãng đường AB có độ dài 50 (km).
Quãng đường BC có độ dài 45y (km).
Theo đề, tổng quãng đường AB và BC dài 165 km nên ta có 50x + 45y = 165.
Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 30 phút (= 0,5 giờ) nên x + 0,5 = y (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}50x + 45y = 165\\x + 0,5 = y\end{array} \right.\].
Thay y = x + 0,5 vào phương trình (1) được 95x + 22,5 = 165.
Suy ra x = 1,5.
Thay x = 1,5 (thỏa mãn) vào phương trình (2) được y = 2 (thỏa mãn)
Do đó, thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ và thời gian để ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.
Vậy tổng thời gian ô tô đi trên quãng đường BC và AB là 1,5 + 2 = 3,5 (giờ).
Một người đi xe đạp từ A đến B với thời gian định sẵn. Khi còn cách B 30 km, người đó nhận thấy sẽ đến B muộn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc. Do đó, người ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h và đến B sớm hơn nửa giờ so với dự định. Hỏi vận tốc ban đầu của người đó là bao nhiêu km/h?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 10
Sơ đồ bài toán như sau:
Từ sơ đồ, trên đoạn CB dài 30 km, nếu giữ nguyên vận tốc x (km/h) thì sẽ đến B muộn 30 phút so với dự định và nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. (với x gọi là vận tốc ban đầu của người đi xe đạp, x > 0).
Gọi y là thời điểm người đi xe đạp đến B theo dự định.
Theo đề, khi giữ nguyên vận tốc x (km/h) thì thời gian đi đoạn CB là: \[\frac{{30}}{x}\,\,\left( h \right)\]
Do đến B muộn 30 phút (= 0,5 giờ) nên ta có phương trình \[\frac{{30}}{x}\, = y + 0,5\] (1).
Khi tăng vận tốc thêm 5 km/h thì thời gian đi từ đoạn CB là \[\frac{{30}}{{x + 5}}\,\,\left( h \right)\].
Do đến B sớm 30 phút nên ta có phương trình \[\frac{{30}}{{x + 5}}\, = y - 0,5\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{30}}{x}\, = y + 0,5\\\frac{{30}}{{x + 5}}\, = y - 0,5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{30}}{x}\, - 0,5 = y\\\frac{{30}}{{x + 5}}\, + 0,5 = y\end{array} \right.\]
Suy ra \[\frac{{30}}{x} - 0,5 = \frac{{30}}{{x + 5}} + 0,5\] hay \[\frac{{30}}{x} - \frac{{30}}{{x + 5}} = 1\], được \[{x^2} + 5x - 150 = 0\].
Suy ra x = 10 (tm) hoặc x = −15 (loại).
Vậy vận tốc ban đầu của người đi xe đáp đó là 10 km/h.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 30 km/h thì thời gian giảm được 1 giờ. Nếu vận tốc giảm 15 km/h thì thời gian tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc của ô tô. (Đơn vị: km/h)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 60
Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của ô tô (x > 0) và y (giờ) là thời gian đi đoạn đường AB theo dự định (y > 0).
Độ dài quãng đường AB là xy (km).
Khi vận tốc tăng thêm 30 km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ nên ta có phương trình:
(x + 30)(y – 1) = xy (1)
Khi vận tốc giảm 15 km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình:
(x – 15)(y + 1) = xy (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 30} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\\\left( {x - 15} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l} - x + 30y = 30\\x - 15y = 15\end{array} \right.\]
Cộng theo vế được 15y = 45 hay y = 3 (thỏa mãn).
Với y = 3 suy ra x = 60 (thỏa mãn).
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.
Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông đó, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút. Hỏi vận tốc riêng của dòng nước bằng bao nhiêu? (Đơn vị: km/h)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Gọi x (km/h) là vận tốc thực của ca nô và y (km/h) là vận tốc riêng của dòng nước (x > y > 0)
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + y (km/h)
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x – y (km/h).
Khi ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng thì mất 2 giờ 30 phút (= 2,5 giờ) nên ta có phương trình \[\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = \frac{5}{2}\,\,\left( 1 \right)\]
Khi ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút \[\left( { = \frac{4}{3}\,\,h} \right)\] nên ta có phương trình: \[\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = \frac{5}{2}\,\,\left( 1 \right)\\\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\,\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.\], do đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}12a + 12b = \frac{5}{2}\,\,\\4a + 8b = \frac{4}{3}\,\,\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\,\,\\b = \frac{1}{8}\,\,\end{array} \right.\].
Do đó, \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\,\,\\x - y = 8\,\,\end{array} \right.\], giải ra được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 10\,\,\\y = 2\,\,\end{array} \right.\](t/m)
Vậy vận tốc của ca nô là 12 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.
