Bài tập Dạng toán làm chung, làm riêng (hoặc chảy chung, chảy riêng) lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được một phần tư công việc. Hỏi người thợ thứ nhất làm một mình thì bao lâu mới xong công việc đó?
48 giờ.
24 giờ
12 giờ.
18 giờ.
Đáp án đúng là: B
Gọi x, y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc (0 < x, y, giờ).
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Hai người thợ cùng làm trong 16 giờ thì xong nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{1}{{16}}\) (1)
Người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được một phần tư công việc nên ta có phương trình: \(\frac{3}{x}\) + \(\frac{6}{y}\) = \(\frac{1}{4}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).
Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được \(\frac{3}{x}\) + \(\frac{3}{y}\) = \(\frac{3}{{16}}\) (3)
Trừ theo vế (2) với (3) ta được \(\frac{3}{y}\) = \(\frac{1}{{16}}\) suy ra y = 48 (thỏa mãn).
Với y = 48 suy ra x = 24 (thỏa mãn).
Vậy thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 giờ, người thợ thứ hai làm xong công việc là 48 giờ.
Để hoàn thành công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 ngày. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu tổ II làm xong công việc đó?
10 giờ.
15 giờ
12 giờ.
18 giờ.
Đáp án đúng là: A
Gọi thời gian tổ I hoàn thành công việc riêng là x (x > 0, giờ),
Thời gian tổ II hoàn thành công việc riêng là y (y > 0, giờ)
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Trong 1 giờ, cả 2 tổ làm được \(\frac{1}{6}\) (công việc)
Nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\) (1)
Trong 10 giờ tổ I làm được \(\frac{{10}}{x}\) (công việc).
Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình:
\(2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{10}}{x} = 1\) hay \(2.\frac{1}{6} + \frac{{10}}{x} = 1\) suy ra x = 15 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\x = 15\end{array} \right.\)
Thay x = 15 vào (1) suy ra y = 10 (thỏa mãn).
Vậy tổ I làm một mình hoàn thành công việc là 15 giờ, tổ II làm một mình hoàn thành công việc là 10 giờ.
Hai công nhân làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày. Người thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó thì người thứ hai làm nốt công việc còn thì thì toàn bộ công việc sẽ được hoàn thành trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? (Giả sử người thứ nhất làm chậm hơn người thứ hai)
6 ngày.
12 ngày.
16 ngày.
14 ngày.
Đáp án đúng là: B
Gọi x, y là thời gian làm một mình để hoàn thành công việc của người thứ nhất và người thứ hai (0 < x, y, ngày).
Trong 1 ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Hai công nhân làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày nên ta có phương trình:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\) (1).
Thời gian người thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là \(\frac{x}{2}\) ngày.
Thời gian người thứ hai làm một mình xong nửa công việc là \(\frac{y}{2}\) ngày.
Do đó, ta có phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 9\) hay x + y = 18 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\\x + y = 18\end{array} \right.\).
Từ phương trình (1) có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\) suy ra \(\frac{{xy}}{{x + y}} = 4\) hay 4(x + y) = xy hay xy = 72.
Thay x = 18 – y vào xy = 72 ta được (18 – y)y = 72 suy ra y2 – 18y + 72 = 0.
Suy ra y = 12 hoặc y = 6 (thỏa mãn).
Với y = 12 thì x = 6 .
Với y = 6 thì x = 12 .
Do người thứ nhất làm chậm hơn người thứ hai nên y = 6 và x = 12 thỏa mãn.
Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày, và người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì hoàn thành công việc.
>
Hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 12 phút sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ nhất trong 12 phút và vòi thứ hai trong 15 phút thì được \(\frac{{11}}{{60}}\) bể. Hỏi nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể?
2 giờ.
3 giờ.
4 giờ.
5 giờ.
Đáp án đúng là: B
Đổi 1 giờ 12 phút = \(\frac{6}{5}\) giờ, 12 phút = \(\frac{1}{5}\) giờ, 15 phút = \(\frac{1}{4}\) giờ.
Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > \(\frac{6}{5}\), giờ).
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) bể.
Hai vòi cùng chảy vào một bể thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ đầy nên ta có:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\) (1)
Nếu mở vòi thứ nhất trong 12 phút và vòi thứ hai trong 15 phút thì được \(\frac{{11}}{{60}}\) bể nên ta có phương trình:
\(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{1}{6}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{20y}} = \frac{1}{{60}}\\\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{4y}} = \frac{{11}}{{60}}\end{array} \right.\)
Suy ra y = 3 và x = 2 (thỏa mãn)
Vậy nếu vòi thứ hai chảy một mình thì sau 3 giờ sẽ đầy bể.
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?
120 phút.
140 phút.
240 phút.
180 phút.
Đáp án đúng là: A
Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút
Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 80, phút).
Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) bể.
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 80 phút nên ta có phương trình: \(80.\frac{1}{x} + 80.\frac{1}{y} = 1\) hay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}\) (1).
Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước nên ta có phương trình \(\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{{10}}{{80}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được \(\frac{2}{y} = \frac{1}{{120}}\) suy ra y = 240 (thỏa mãn).
Với y = 240 suy ra x = 120 (thỏa mãn).
Vậy nếu chảy một mình thì vòi thứ nhất làm đầy bể sau 120 phút, vòi thứ hai làm đầy bể sau 240 phút.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vời I chảy trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ II chảy trong 20 phút thì được \(\frac{1}{5}\) bể. Hỏi nếu vòi thứ hai chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?
3 giờ.
3,75 giờ.
2,5 giờ
3,5 giờ.
Đáp án đúng là: C
Đổi 1 giờ 30 phút = 90 phút.
Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 90, phút).
Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) bể.
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy 90 phút nên ta có phương trình: \(90.\frac{1}{x} + 90.\frac{1}{y} = 1\) hay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\) (1).
Nếu mở riêng vòi I trong 15 phút và vòi II trong 20 phút thì chỉ được \(\frac{1}{5}\) nên ta có phương trình: \(\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{15}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{225}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{150}}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 225\\y = 150\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy vòi thứ I chảy một mình trong 225 phút = 3,75 giờ thì đầy bể.
Vòi thứ II chảy một mình trong 150 phút = 2,5 giờ thì đầy bể.
Nếu hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khóa vòi thứ nhất, còn vòi thứ hai tiếp tục chảy. Do tăng công suất vòi thứ hai lên gấp đôi nên vòi thứ hai đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi. Hỏi nếu vòi hai chảy một mình với công suất ban đầu thì sau bao lâu thì đầy bể?
vòi 1 chảy trong 28 giờ, vòi 2 chảy trong 21 giờ.
vòi 1 chảy trong 21 giờ, vòi 2 chảy trong 28 giờ.
vòi 1 chảy trong 24 giờ, vòi 2 chảy trong 26 giờ.
vòi 1 chảy trong 26 giờ, vòi 2 chảy trong 24 giờ.
Đáp án đúng là: A
Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x, y (x, y > 12, giờ).
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) bể.
Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được số phần bể là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\) (1).
Hai vòi cùng chảy trong 8 giờ thì lượng nước chảy vào bể là: \(\frac{8}{{12}}\) = \(\frac{2}{3}\) bể.
Do tăng công suất vòi thứ hai lên gấp đôi nên vòi thứ hai đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi nên ta có phương trình: \(3,5.\frac{2}{y} = 1 - \frac{2}{3}\) hay y = 21 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\y = 21\end{array} \right.\)
Thay y = 21 vào (1) được x = 28 (thỏa mãn).
Vậy nếu chảy một mình thì thời gian vòi I chảy đầy bể là 28 giờ, vòi II là 21 giờ.
Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được \(\frac{1}{6}\) cánh đồng trong 15 giờ. Nếu máy I cày trong 12 giờ, máy II cày trong 20 giờ thì cả hai cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu máy I làm riêng thì sẽ cày xong cánh đồng trong bao lâu?
360 giờ.
120 giờ
240 giờ.
300 giờ.
Đáp án đúng là: A
Gọi x, y là thời gian máy cày thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc ( x, y > 15, giờ).
Trong 1 giờ máy thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, máy thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Hai máy cùng làm trong 15 giờ được \(\frac{1}{6}\) công việc nên ta có phương trình:
\(15\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{1}{6}\) hay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\) (1)
Theo đề, máy thứ nhất làm trong 12 giờ, máy thứ 2 làm trong 20 giờ thì được 20% công việc nên ta có phương trình: \(\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{90}}\\\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{{12}}{{90}}\\\frac{{12}}{x} + \frac{{20}}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).
Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ suy ra \(\frac{8}{y} = \frac{1}{{15}}\) suy ra y = 120 (thỏa mãn)
Thay y = 120 vào (1) suy ra x = 360 (thỏa mãn).
Vậy máy thứ nhất làm trong 360 giờ sẽ xong việc, máy thứ hai làm trong 120 giờ sẽ xong công việc.
Hai tổ công nhân cùng làm một công việc và dự định hoàn thành công việc trong 6 giờ. Nhưng khi làm chung được 5 giờ thì tổ II được điều đi làm việc khác. Do cải tiến cách làm nên năng suất của tổ I tăng 1,5 lần nên tổ I đã hoàn thành nốt phần công việc còn lại trong 2 giờ. Hỏi với năng suất ban đầu, tổ II làm một mình trong bao lâu thì xong công việc?
9 giờ.
18 giờ.
27 giờ.
6 giờ.
Đáp án đúng là: A
Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian tổ I và tổ II làm một mình xong công việc (0 < x, y < 6).
Trong 1 giờ tổ I làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, tổ II làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Do đó, ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\) (1)
Hai tổ làm chung trong 5 giờ được số phần công việc là: \(5\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = \frac{5}{6}\) (công việc)
Phần công việc còn lại là 1 – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{1}{6}\) (công việc)
Do cải tiến cách làm nên năng suất của tổ I tăng 1,5 lần nên tổ I đã hoàn thành nốt phần công việc còn lại trong 2 giờ do đó ta có: \(2.\frac{{1,5}}{x} = \frac{1}{6}\) suy ra x = 18 (thỏa mãn).
Với x = 18 thì y = 9 (thỏa mãn).
Vậy tổ II làm một mình xong công việc trong 9 giờ.
Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất 3 giờ. Nếu cả hai người cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực thực phẩm lên tàu bằng \(\frac{{20}}{7}\) giờ.
Hỏi nếu làm riêng thì người thứ hai chuyển hết số lương thực thực phẩm lên tàu trong thời gian bao lâu?
4 giờ.
6 giờ.
10 giờ.
8 giờ.
Đáp án đúng là: C
Gọi x, y (giờ) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (x, y > \(\frac{{20}}{7}\))
Trong 1 giờ máy thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, máy thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Nếu cả hai người cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực thực phẩm lên tàu bằng \(\frac{{20}}{7}\) giờ nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}\) (1)
Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất 3 giờ vì thế ta có phương trình: \(\frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 3\) hay y – x = 6 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\begin{array}{l}\left\{ {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{{20}}} \right.\\y - x = 6\end{array}\)
Thế y = 6 + x vào (1) ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{6 + x}} = \frac{7}{{20}}\) suy ra 20.(2x + 6) = 7x(x + 6)
Suy ra 7x2 + 2x – 120 = 0 suy ra x = 4 (thỏa mãn) hoặc x = \( - \frac{{30}}{7}\) (loại).
Với x = 4 thì y = 10 (thỏa mãn).
Vậy người thứ hai chuyển hết đồ lên tàu hết 10 giờ.
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. Gọi chiều rộng của thửa ruộng là \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\], chiều dài của thửa ruộng là \[y\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] (Điều kiện: \[0 < x < y\]), Khi đó:
\[y - x = 45\].
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\4x - y = 2\end{array} \right.\].
Chiều rộng của thửa ruộng là \[15\,\,{\rm{m}}\].
Diện tích của thửa ruộng lớn hơn \[400\,\,{{\rm{m}}^2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì chiều rộng thửa ruộng ngắn hơn chiều dài nên ta có:\[y - x = 45\].
b) Sai.
Chu vi thửa ruộng ban đầu là: \[2\left( {x + y} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Chu vi thửa ruộng khi chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần là: \[2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vì nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình \[2\left( {x + y} \right) = 2\left( {3x + \frac{y}{2}} \right)\,\] hay \[2x - \frac{y}{2} = 0\].
Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.\].
c) Đúng.
Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\2x - \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.\], ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\4x - y = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y - x = 45\\3x = 45\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 30\end{array} \right.\] (thỏa mãn).
d) Đúng.
Diện tích của thửa ruộng là: \[15 \cdot 30 = 450\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].
Số cây có thể trồng trên mảnh vườn ban đầu là xy (cây).
Nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì phương trình biểu diễn tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) = xy – 54.
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 54\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy - 32\end{array} \right.\].
Tổng số cây ban đầu trồng trên mảnh vườn nhỏ hơn 750 cây.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Số cây có thể trồng trên mảnh vườn ban đầu là xy (cây).
b) Đúng.
Nếu tăng thêm 8 luống rau nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì phương trình biểu diễn tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) = xy – 54.
c) Sai.
Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì tổng số cây trong vườn sẽ tăng thêm 32 cây nên ta có (x – 4)(y + 2) = xy + 32.
Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 54\\\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 32\end{array} \right.\].
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y = - 30\\2x - 4y = 40\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình, được x = 50 và y = 15 (thỏa mãn).
d) Sai.
Vậy ban đầu mỗi luống có 50 cây và có 15 luống.
Vậy số cây cà chua ban đầu trên mảnh vườn là: 50.15 = 750 (cây).
Diện tích ban đầu của thửa ruộng là 2(x + y) (m2).
Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi tăng chiều dài 2 m và chiều rộng thêm 3 m là (x + 2)(y + 3) = xy + 100.
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\].
Diện tích ban đầu của thửa ruộng nhỏ hơn 300 m2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Diện tích ban đầu của thửa ruộng là: xy (m2).
b) Đúng.
Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi tăng chiều dài 2 m và chiều rộng thêm 3 m là (x + 2)(y + 3) = xy + 100.
c) Đúng.
Phương trình biểu diễn diện tích thửa ruộng khi giảm chiều dài 2 m và chiều rộng 2 m là (x – 2)(y – 2) = xy – 68.
Từ đây, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\].
d) Sai.
Giải hệ phương trình, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 100\\\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 68\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 94\\ - 2x - 2y = - 72\end{array} \right.\]
Cộng theo vế hai phương trình được x = 22 (thỏa mãn) và y = 14 (thỏa mãn).
Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là: 22.14 = 308 (m2).
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 5 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195 m2. Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất (a > b > 0, m). Khi đó:
a + b = 80.
Diện tích mảnh đất sau khi tăng chiều dài, chiều rộng là (a + 3)(b + 5) (m2).
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 80\\\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right) = ab + 195\end{array} \right.\].
Diện tích mới của mảnh đất khi tăng chiều dài, chiều rộng lớn hơn 500 m2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì chu vi của mảnh đất bằng 80 m nên 2(a + b) = 80 hay a + b = 40 (m).
b) Đúng.
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật khi tăng chiều dài 3 m và chiều rộng 5 m là:
(a + 3)(b + 5) (m2).
c) Đúng.
Phương trình biểu diễn diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều dài chiều rộng là:
(a + 3)(b + 5) = ab + 195
Từ đây ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right) = ab + 195\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình, có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\5a + 3b = 180\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = 120\\5a + 3b = 180\end{array} \right.\].
Trừ theo vế hai phương trình được 2a = 60 nên a = 30 (thỏa mãn).
Với a = 30 thì b = 10 (thỏa mãn).
d) Sai.
Diện tích mới của mảnh đất sau khi tăng chiều dài, chiều rộng là:
30.10 + 195 = 495 (m2)
Cho một tam giác vuoông. Khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng lên 17 cm2. Nếu giảm một cạnh góc vuông đi 3 cm và một cạnh giảm 1 cm thì diện tích sẽ giảm 11 cm2. Gọi các cạnh của tam giác vuông đó lần lượt là x, y (x, y > 3, cm). Khi đó:
Diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là S = xy (cm2)..
Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm là (x + 2)(y + 2) = xy + 34.
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.\].
Diện tích ban đầu của tam giác đó có giá trị là một số chính phương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Diện tích ban đầu của tam giác đó là S = \[\frac{1}{2}xy\] (cm2).
b) Đúng.
Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi tăng mỗi cạnh góc
vuông lên 2 cm là \[\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\] hay (x + 2)(y + 2) = xy + 34.
c) Đúng.
Phương trình biểu diễn diện tích của tam giác vuông khi giảm độ dài một cạnh góc vuông 3 cm và một cạnh giảm 1 cm là: \[\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\].
Do đó, hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.\].
d) Đúng.
Giải hệ phương trình, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right) = \frac{1}{2}xy + 17\\\frac{1}{2}\left( {x - 3} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}xy - 11\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 15\\ - x - 3y = - 25\end{array} \right.\].
Thực hiện cộng theo vế hai phương trình ta được −2y = −10 nên y = 5.
Thay y = 5 được x = 10 (thỏa mãn).
Vậy diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là: \[\frac{1}{2}.5.10 = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].
Do đó, diện tích ban đầu của tam giác vuông có giá trị là một số chính phương.
Một khu đất dạng hình chữ nhật có chu vi \[270\] m. Biết chiều dài gấp \[5\] lần chiều rộng. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là chiều dài, chiều rộng của khu đất. Cho các khẳng định sau:
(i) Từ dữ kiện khu đất có chu vi \[270\] m ta có phương trình \[x + y = 270\].
(ii) Từ dữ kiện khu đất có chiều dài gấp \[5\] lần chiều rộng ta có phương trình \[x = 5y\].
(iii) Hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\) là \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 270\\x = 5y.\end{array} \right.\]
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Gọi chiều dài, chiều rộng của khu đất lần lượt là \[x\] (m), \[y\] (m).
Điều kiện: \[x > y > 0.\]
Nửa chu vi của khu đất là: \[270:2 = 135\] (m)
Vì nửa chu vi của khu đất là \[135\] m nên ta có phương trình \[x + y = 135\] (1)
Vì khu đất có chiều dài gấp \[5\] lần chiều rộng nên ta có phương trình \[x = 5y\] (2)
Từ (1), (2), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 135\\x = 5y.\end{array} \right.\]
Như vậy chỉ có khẳng định (ii) là đúng.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \[56{\rm{\;m}}{\rm{.}}\] Nếu tăng chiều rộng thêm \[2{\rm{\;m}}\] và giảm chiều dài đi \[{\rm{1\;m}}\] thì diện tích của mảnh đất tăng thêm \[18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\]Hỏi diện tích mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét vuông?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 192
Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là \[x{\rm{\;(m)}},\,\,y{\rm{\;(m)}}\]\[\left( {x > y > 0,\,\,x > 1} \right).\]
Vì chu vi của mảnh đất là \[56{\rm{\;m}}\] nên ta có \[2\left( {x + y} \right) = 56\] hay \[x + y = 28\] (1)
Diện tích của mảnh đất ban đầu là \[xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
Nếu tăng chiều rộng thêm \[2{\rm{\;m}}\] và giảm chiều dài đi \[1{\rm{\;m}}\] thì lúc này, chiều dài mảnh đất là \[x - 1{\rm{\;(m)}}\] và chiều rộng mảnh đất là \[y + 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\] Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm \[18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\] nên ta có phương trình:
\[\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 18\] hay \[xy + 2x - y - 2 = xy + 18\].
Tức là, \[2x - y = 20\] (2)
Từ (1), (2), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Từ phương trình (2), ta có \[y = 2x - 20\] (*)
Thế (*) vào phương trình (1), ta được:
\[x + 2x - 20 = 28\] hay \[3x = 48\], tức là, \[x = 16\] (thỏa mãn điều kiện).
Thế \[x = 16\] vào (*), ta được \[y = 2 \cdot 16 - 20 = 12\] (thỏa mãn điều kiện).
Do đó chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là \[16{\rm{\;m}}\] và \[12{\rm{\;m}}\].
Như vậy, diện tích mảnh đất đó bằng \[16 \cdot 12 = 192{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
Một khu vườn hình chữ nhật có hiệu nửa chu vi và hai lần chiều rộng là 15 m, tổng nửa chu vi và 3 lần chiều rộng là 100 m. Hỏi diện tích khu vườn bằng bao nhiêu mét vuông?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 544
Gọi chiều dài, chiều rộng của khu vườn lần lượt là \[x,\,\,y\,\,\,\left( {x > y > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)\].
Theo đề, hiệu nửa chu vi và hai lần chiều rộng là 15 m nên \[x + y - 2y = 15\] hay \[x - y = 15\] (1).
Lại có, tổng nửa chu vi và 3 lần chiều rộng là 100 m nên \[x + y + 3y = 100\] hay \[x + 4y = 100\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\x + 4y = 100\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình, được \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\5y = 85\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x - y = 15\\y = 17\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 32\\y = 17\end{array} \right.\] (thỏa mãn).
Diện tích của khu vườn là: \[32 \cdot 17 = 544\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]
Trong một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lên 3 cm thì diện tích của nó sẽ tăng lên 36 cm2 và nếu giảm một cạnh đi 2 cm và một cạnh giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác đó giảm đi 26 cm2. Hỏi chu vi của tam giác đó bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 36
Gọi x và y (cm) lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x, y > 4).
Diện tích ban đầu của tam giác vuông đó là \[S = \frac{1}{2}xy\] (cm2)
Theo đề, nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lên 3 cm thì diện tích tăng lên 36 cm2 nên ta có phương trình \[\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\] (1)
Nếu giảm một cạnh góc vuông đi 2 cm, một cạnh giảm 4 cm thì diện tích giảm đi 26 cm2 nên ta có phương trình \[\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) = \frac{1}{2}xy + 36\\\frac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = \frac{1}{2}xy - 26\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 63\\2x + y = 30\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình được x = 12 và y = 9 (thỏa mãn).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông được cạnh huyền là:
\[\sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15\,\,\,\left( {cm} \right)\].
Vậy chu vi tam giác đó là: 12 + 9 + 15 = 36 (cm).
Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340 m. Biết 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m. Tính diện tích của sân trường. (Đơn vị: m2).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 7000
Gọi x (m) là chiều dài và y (m) là chiều rộng sân trường (x > y > 0).
Chu vi sân trường bằng 340 m nên ta có: 2(x + y) = 340 hay x + y = 170 (1)
Có 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m nên 3x – 4y = 20 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 170\\3x - 4y = 20\end{array} \right.\].
Giải hệ phương trình được x = 100 và y = 70 (thỏa mãn)
Do đó chiều dài của sân trường là 100 m và chiều rộng là 70 m.
Diện tích của sân trường là: 70.100 = 7 000 (m2).
