Bài tập Dạng toán chuyển động lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81 km và ngược dòng 105 km. Một lần khác, ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng 54 km và ngược dòng 42 km. Vận tốc riêng của ca nô là (Biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước không đổi).
3 km/h.
24 km/h.
27 km/h.
21 km/h.
Đáp án đúng là: B
Gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước (x, y > 0, km/h).
Do đó, vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + y (km/h) và vận tốc ngược dòng của ca nô là x – y (km/h).
Ca nô chạy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81 km và ngược dòng 105 km nên ta có phương trình \(\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{105}}{{x - y}} = 8\) (1)
Ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng được 54 km và ngược dòng 42 km nên ta có phương trình: \(\frac{{54}}{{x + y}} + \frac{{42}}{{x - y}} = 4\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{105}}{{x - y}} = 8\\\frac{{54}}{{x + y}} + \frac{{42}}{{x - y}} = 4\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.\) .
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {81a + 105b} \right) = 2.8\\3\left( {54a + 42b} \right) = 4.3\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}162a + 210b = 16\\162a + 126b = 12\end{array} \right.\).
Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 84b = 4 hay b = \(\frac{1}{{21}}\).
Với b = \(\frac{1}{{21}}\) suy ra a = \(\frac{1}{{27}}\).
Từ đây suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 27\\x - y = 21\end{array} \right.\) suy ra x = 24, y = 3 (thỏa mãn).
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h.
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng hơn 3 giờ so với dự định. Độ dài quãng đường AB là
12 km.
15 km.
18 km
180 km.
Đáp án đúng là: D
Gội vận tốc ban đầu là x ( x > 3, km/h), thời gian chạy dự định là y (y > 2, h).
Độ dài của quãng đường AB là xy (km).
Nếu ô tô tăng vận tốc 3 km/h thì rút ngắn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:
(x + 3)(y – 2) = xy (1)
Nếu ô tô giảm vận tốc 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: (x – 3)(y + 3) = xy (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)(y - 2) = xy\\(x - 3)(y + 3) = xy\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.\).
• Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.\) .
Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta có: x = 15 (thỏa mãn).
Với x = 15 thì y = 12 (thỏa mãn).
Vậy độ dài quãng đường AB là: 15.12 = 180 (km).
Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm mất nửa giờ. Nếu đi với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến B sớm 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định.
4,5 km.
225 km.
22,5 km.
27,5 km.
Đáp án đúng là: B
Đổi 45 phút = \(\frac{3}{4}\) giờ.
Gọi quãng đường AB là x (x > 0, km) và thời gian dự định đi từ A đến B là y (y > 0, giờ).
Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm nửa giờ, do đó ta có phương trình:
x = 45.\(\left( {y + \frac{1}{2}} \right)\) hay x – 45y = \(\frac{{45}}{2}\) (1)
Nếu đi với vận tốc 60 km/h sẽ tới B sớm hơn 45 phút, do đó ta có phương trình:
x = 60.\(\left( {y - \frac{3}{4}} \right)\) hay x – 60y = −45 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 45y = \frac{{45}}{2}\\x - 60y = - 45\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình, ta trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 15y = \(\frac{{135}}{2}\), suy ra y = 4,5 (thỏa mãn).
Thay y = 4,5 vào phương trình x – 45y = \(\frac{{45}}{2}\) được x = 225 (thỏa mãn).
Vậy quãng đường AB dài 225 km và thời gian dự định đi từ A đến B hết 4,5 giờ.
Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h. Vận tốc của ô tô là:
50 km/h.
40 km/h.
50 km.
90 km/h.
Đáp án đúng là: A
Gọi x, y lần lượt là vận tốc của ô tô và xe máy (x > y > 0, km/h).
Theo đề, hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có: 2x + 2y = 180 hay x + y = 90 (1).
Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 10 km/h nên ta có: x – y = 10 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\x - y = 10\end{array} \right.\).
• Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\x - y = 10\end{array} \right.\).
Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được 2x = 100 hay x = 50 (thỏa mãn).
Với x = 50 thì y = 40 (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h.
Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường 640 km. Biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km, hỏi vận tốc của tàu hỏa là bảo nhiêu?
40 km/h.
50 km/h.
60 km/h.
65 km/h.
Đáp án đúng là: C
Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 5).
Vì khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được 640 km nên ta có phương trình: 7x + 4y = 640 (1).
Mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km nên ta có phương trình x – y = 5 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}7x + 4y = 640\\x - y = 5\end{array} \right.\).
Từ phương trình x – y = 5 ta được x = 5 + y.
Thay x = 5 + y vào phương trình 7x + 4y = 640, ta được:
7(5 + y) + 4y = 640
11y + 35 = 640
11y = 605
y = 55 (thỏa mãn).
Suy ra x = 5 + 55 = 60 (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của tàu hỏa là 60 km/h.
Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường AB và BC có tổng độ dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC.
Học sinh tự thực hành
Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B trong một thời gian đã định với tốc độ không đổi. Nếu người đó tăng tốc độ lên 3 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu người đó giảm tốc độ 2 km/h thì đến B muộn hơn dự định 1 giờ. Độ dài quãng đường AB là
5 km.
12 km.
60 km.
17 km.
Đáp án đúng là: C
Gọi vận tốc và thời gian người đó đi quãng đường AB lần lượt là x, y (x > 2, y > 1).
Độ dài quãng đường AB là xy (km).
Theo đề, nếu người đó tăng tốc độ 3 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ nên ta có phương trình: (x + 3)(y – 1) = xy (1)
Nếu người đó giảm tốc độ 2 km/h thì đến muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình: (x – 2)(y + 1) = xy (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\\\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3y - x = 3\\x - 2y = 2\end{array} \right.\).
• Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3y - x = 3\\x - 2y = 2\end{array} \right.\).
Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được y = 5 (thỏa mãn).
Khi đó, x = 12 (thỏa mãn).
Do đó, độ dài quãng đường AB là: 5.12 = 60 (km).
Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc của ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc của ô tô tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút. Vận tốc đã định của ô tô là:
50 km/h.
60 km/h.
30km/h.
40 km/h.
Đáp án đúng là: A
Đổi 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ; 45 phút = \(\frac{3}{4}\) giờ.
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) và thời gian dự định của ô tô là y (giờ).
Điều kiện: x > 10; y > \(\frac{1}{2}\).
Quãng đường AB là: xy (km).
Nếu ô tô giảm vận tốc 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút nên ta có phương trình:
(x – 10) \(\left( {y + \frac{3}{4}} \right)\) = xy hay xy + \(\frac{3}{4}\)x – 10y – \(\frac{{15}}{2}\) = xy, suy ra 3x – 40y = 30 (1)
Nếu ô tô tăng vận tốc 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút nên ta có phương trình:
(x + 10) \(\left( {y - \frac{1}{2}} \right)\) = xy hay xy – \(\frac{1}{2}\)x +10y – 5 = xy, suy ra −x + 20y = 10 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 40y = 30\\ - x + 20y = 10\end{array} \right.\).
Thế x = 20y – 10 vào phương trình thứ nhất, ta được:
3(20y – 10) – 40y = 30 hay 20y = 60, suy ra y = 3 (thỏa mãn).
Thay y = 3 vào x = 20y – 10, suy ra x = 50 (thỏa mãn).
Vậy vận tốc đã định của ô tô là 50 km/h.
Một ca nô đi xuôi dòng 12 km rồi ngược dòng 12 km mất tổng thời gian là 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên con sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết tổng thời gian 1 giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của nước là không đổi. Vận tốc riêng của dòng nước là
2 km/h.
3 km/h.
1 km/h.
5 km/h.
Đáp án đúng là: A
Đổi 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ, 1 giờ 20 phút = \(\frac{4}{3}\) giờ.
Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là x, y (x > y > 0, km/h).
Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + y (km/h).
Vận tốc ca nô lúc ngược dòng là: x – y (km/h).
Theo đề, ca nô xuôi dòng 12 km và ngược dòng 12 km hết 2,5 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = 2,5\) (1).
Ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km hết \(\frac{4}{3}\) giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = 2,5\\\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).
• Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = 2,5\\\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}12a + 12b = 2,5\\4a + 8b = \frac{4}{3}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}12a + 12b = 2,5\\12a + 24b = 4\end{array} \right.\).
Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được 12b = 1,5 hay b = \(\frac{1}{8}\).
Do đó, a = \(\frac{1}{{12}}\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{8}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\x - y = 8\end{array} \right.\).
Suy ra 2x = 20 hay x = 10 (thỏa mãn), do đó y = 2 (thỏa mãn).
Vậy vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.
Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là
1,5 giờ.
2,5 giờ.
1,25 giờ.
1,75 giờ.
Đáp án đúng là: A
Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và AC lần lượt là x, y (0 < x < y, y > 0,5).>
Độ dài quãng đường AB là: 50x (km).
Độ dài quãng đường BC là: 45y (km).
Tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165 km nên ta có phương trình:
50x + 45y = 165 hay 10x + 9y = 33 (1)
Thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút (= 0,5 giờ) nên ta có: −x + y = 0,5 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}10x + 9y = 33\\ - x + y = 0,5\end{array} \right.\).
Từ phương trình (2) ta có y = 0,5 + x.
Thay y = 0,5 + x ta được 10x + 9(0,5 + x) = 33 hay 19x = 28,5 suy ra x = 1,5 (thỏa mãn).
Lúc đó, y = 2 (thỏa mãn).
Vậy thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là 1,5 giờ.
Lớp 9A và lớp 9B có tổng cộng \(86\) học sinh. Trong đợt thu nhặt giấy báo cũ thực hiện kế hoạch nhỏ, mỗi lớp có 3 bạn góp được \(5{\rm{ kg}}\), các bạn còn lại mỗi bạn góp \({\rm{2 kg}}{\rm{.}}\) Biết rằng lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A là \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ. Gọi \(x\) là số học sinh của lớp 9A, \(y\) là số học sinh của lớp 9B \(\left( {x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\). Khi đó:
Phương trình biểu diễn tổng số học sinh hai lớp là \(x + y = 86.\)
Phương trình biểu diễn mối liên hệ khối lượng giấy báo cũ giữa hai lớp là \(2x - 2y = 8.\)
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).
Lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Do đó, ý a) là đúng.
b) Sai.
Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ nên ta có phương trình:
\(2y + 9 - 2x - 9 = 8\) suy ra \(2y - 2x = 8\) hay \(y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Do đó, ý b) là sai.
c) Đúng.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là đúng.
d) Đúng.
Cộng theo vế hai phương trình ta được \(2y = 90\), suy ra \(y = 45\) (TM).
Thay \(y = 45\) vào phương trình (1), ta được \(x + 45 = 86\), suy ra \(x = 41\)(TM).
Vậy lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.
Do đó, ý d) là đúng.
Người ta cần sơn hai loại sản phẩm A và B bằng hai loại sơn: Sơn đỏ và sơn vàng. Lượng sơn để sơn mỗi loại sản phẩm đó được cho ở bảng (đơn vị: kg/ 1 sản phẩm):
Người ta đã sử dụng 80 kg sơn đỏ và 50 kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm đó. Gọi x (sản phẩm) và y (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm loại A, loại B được sơn. Khi đó:
Điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*.\)
Phương trình biểu diễn lượng sơn đỏ đã sử dụng là 0,6x + 0,2y = 80.
Ta thu được hệ phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{0}}{\rm{,6x}} + 0,5{\rm{y}} = 80\\{\rm{0}}{\rm{,2x}} + 0,4{\rm{y}} = 50\end{array} \right.\).
Người ta sơn được số sản phẩm loại A nhiều hơn số sản phẩm loại B.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì x (sản phẩm) và y (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm loại A, loại B được sơn nên x, y \( \in \mathbb{N}*.\) Vậy a) đúng.
b) Sai.
Vì người ta đã sử dụng 80 kg sơn đỏ nên 0,6x + 0,5y = 80 (1).
c) Đúng.
Vì người ta đã sử dụng 50 kg sơn vàng nên 0,2x + 0,4y = 50 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{0}}{\rm{,6x}} + 0,5{\rm{y}} = 80\\{\rm{0}}{\rm{,2x}} + 0,4{\rm{y}} = 50\end{array} \right.\).
d) Sai.
Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có y = 160 – 1,2x.
Thay y = 160 – 1,2x vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 0,2x+ 0,4(160 – 1,2x) = 50 nên x = 50 (thỏa mãn).
Với x = 50 thì y = 160 – 1,2.50 = 100 (thỏa mãn).
Vậy người ta sơn được số sản phẩm loại A ít hơn số sản phẩm loại B.
\({\rm{x}}{\rm{,}}\;\,{\rm{y}} \in \mathbb{N}*\), x, y < 1,1.
4x + 2y = 1,2.
Ta thu được hệ phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 2{\rm{y}} = 1,2\\{\rm{4x}} + {\rm{y}} = 1,1\end{array} \right.\).
Nhà bạn Minh phải trả số tiền ít hơn 800 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì x (triệu đồng) và y (triệu đồng) lần lượt là giá tiền buffet cho một người lớn và một trẻ em nên 0 < x, y < 1,1. Vậy a) sai.
b) Đúng.
Vì gia đình ông Ba có 4 người lớn và 2 trẻ em thanh toán hết 1,2 triệu đồng nên 4x + 2y = 1,2 (1).
c) Đúng.
Vì gia đình bà My có 4 người lớn và 1 trẻ em thanh toán hết 1,1 triệu đồng nên 4x + y = 1,1 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 2{\rm{y}} = 1,2\\{\rm{4x}} + {\rm{y}} = 1,1\end{array} \right.\).
d) Sai.
Theo c) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 2{\rm{y}} = 1,2\\{\rm{4x}} + {\rm{y}} = 1,1\end{array} \right.\).
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ ta được y = 0,1 (thỏa mãn).
Thay y = 0,1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 4x + 0,1 = 1,1 nên x = 0,25 (thỏa mãn).
Số tiền nhà bạn Minh phải trả là: 2.0,25 + 3.0,1 = 0,8 (triệu đồng).
Vậy nhà bạn Minh phải trả số tiền là 800 nghìn đồng.
Giá tiền mua 2 quả dừa và 3 quả thanh long là 68 nghìn đồng. Giá tiền mua 4 quả dừa và 1 quả thanh long là 106 nghìn đồng. Gọi số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long lần lượt là a (nghìn đồng) và b (nghìn đồng), điều kiện: 0 < a, b < 68. Khi đó:
Giá tiền mua 2 quả dừa và 3 quả thanh long là 2a + 3b = 68.
Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2a}} + 3{\rm{b}} = 68\\{\rm{4a}} + {\rm{b}} = 106\end{array} \right.\).
Giá tiền mua một quả thanh long là 25 nghìn đồng.
Một quả dừa hơn quả thanh long 9 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Vì giá tiền mua 2 quả dừa và 3 quả thanh long là 68 nghìn đồng nên 2a + 3b = 68 (1).
b) Đúng.
Vì giá tiền mua 4 quả dừa và 1 quả thanh long là 106 nghìn đồng nên 4a + b = 106 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2a}} + 3{\rm{b}} = 68\\{\rm{4a}} + {\rm{b}} = 106\end{array} \right.\).
c) Sai.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2a}} + 3{\rm{b}} = 68\\{\rm{4a}} + {\rm{b}} = 106\end{array} \right.\), ta được:
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có b = 106 – 4a.
Thay b = 106 – 4a vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có: 2a + 3(106 – 4a) = 68 nên a = 25 (thỏa mãn).
Với a = 25 thì b = 106 – 4.25 = 6 (thỏa mãn).
Do đó, giá tiền một quả dừa là 25 nghìn, một quả thanh long giá 6 nghìn.
d) Sai.
Giá tiền một quả dừa hơn giá tiền một quả thanh long là: 25 – 6 = 19 (nghìn đồng).
Vậy giá tiền mua 1 quả dừa hơn số tiền mua 1 quả thanh long là 19 nghìn đồng.Một công ty thiết kế nội thất sản xuất ra hai loại ghế là ghế bành và ghế dài từ hai loại nguyên liệu gỗ và vải. Số đơn vị nguyên liệu cần dùng để tạo ra một chiếc ghế mỗi loại được cho trong bảng sau:
| Gỗ | Vải |
Ghế bành | 40 | 30 |
Ghế dài | 30 | 25 |
Công ty đó đã sử dụng hết 2 200 đơn vị gỗ và 1 800 đơn vị vải. Gọi số ghế bành và ghế dài công ty làm được lần lượt là x (chiếc) và y (chiếc), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*\). Khi đó:
Phương trình biểu diễn số đơn vị gỗ công ty sử dụng hết là 40x + 30y = 2 200.
Phương trình biểu diễn số đơn vị vải công ty sử dụng hết là 25x + 30y = 1 800.
Số ghế bành công ty sản xuất được là 10 chiếc.
Số ghế dài công ty sản xuất được gấp 5 lần số ghế bành.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì công ty sử dụng hết 2 200 đơn vị gỗ nên 40x + 30y = 2 200 (1).
b) Sai.
Vì công ty sử dụng hết 1 800 đơn vị vải nên 30x + 25y = 1 800 (2).
c) Đúng.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{40x}} + 30{\rm{y}} = 2\;\,200\\{\rm{30x}} + 25{\rm{y}} = 1\;\,800\end{array} \right.\).
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với với 4 ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{120x}} + 90{\rm{y}} = 6\;\,600\\{\rm{120x}} + 100{\rm{y}} = 7\;\,200\end{array} \right.\) (I).
Trừ hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế phương trình thứ nhất trong hệ (I) ta có: 10y = 600 nên y = 60 (thỏa mãn).
Thay y = 60 vào phương trình thứ nhất trong hệ (I) ta có: 120x + 90.60 = 6 600 nên x = 10 (thỏa mãn).
Do đó, số ghế bành công ty sản xuất được là 10 chiếc, số ghế dài sản xuất được là 60 chiếc.
d) Sai.
Số ghế dài so với số ghế bành gấp \(\frac{{60}}{{10}} = 6\) (lần)
Vậy số chiếc ghế dài công ty đó làm được là 60 chiếc.
Một bể nước có dung tích 2 000 lít nước. Người ta cho một vòi nước lạnh chảy vào bể, mỗi phút chảy được 30 lít, rồi khóa vòi nước lạnh lại và cho vòi nước nóng chảy vào bể, mỗi phút chảy được 40 lít. Hai vòi cứ chảy lần lượt như vậy cho đến khi đầy bể. Hỏi thời gian vòi nước lạnh chảy vào bể là bao nhiêu phút? Biết rằng thời gian cả hai vòi chảy tổng cộng là 60 phút.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 40
Gọi thời gian vòi nước lạnh và nước nóng chảy vào bể lần lượt là x (phút) và y (phút), điều kiện: 0 < x, y < 60.
Vì thời gian cả hai vòi chảy tổng cộng là 60 phút nên x + y = 60 (1).
Vòi nước lạnh chảy vào bể được 30x (lít).
Vòi nước nóng chảy vào bể được 40x (lít).
Vì hai vòi chảy đến khi đầy bể và bể có dung tích 2 000 lít nên 30x + 40y = 2 000 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} + {\rm{y}} = 60\\{\rm{30x}} + 40{\rm{y}} = 2\;\,000\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: x = 60 – y.
Thay x = 60 – y vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 30(60 – y) + 40y = 2 000 nên y = 20 (thỏa mãn).
Với y = 20 thì x = 60 – 20 = 40 (thỏa mãn).
Vậy thời gian vòi nước lạnh chảy vào bể là 40 phút.
Trong phòng học lớp 9A có một số ghế dài. Nếu xếp 4 học sinh mỗi ghế thì có 1 học sinh không có chỗ. Nếu xếp 1 ghế 5 học sinh thì thừa hai ghế. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 45
Gọi số ghế và số học sinh trong của lớp 9A lần lượt là x (ghế) và y (học sinh), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*.\)
Vì xếp 4 học sinh mỗi ghế thì có 1 học sinh không có chỗ nên 4x + 1 = y (1).
Vì xếp 1 ghế 5 học sinh thì thừa hai ghế nên 5(x – 2) = y hay 5x – y = 10 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{4x}} + 1 = {\rm{y}}\\5{\rm{x}} - {\rm{y}} = 10\end{array} \right.\).
Thay y = 4x + 1 vào phương trình thứ hai trong hệ ta có 5x – (4x + 1) = 10 nên x = 11 (thỏa mãn).
Với x = 11 thì y = 4.11 + 1 = 45 (thỏa mãn).
Vậy số học sinh lớp 9A là 45 học sinh.
Một xưởng dệt theo kế hoạch phải dệt 1 500 cái áo. Thực tế, xưởng đã dệt được 1 600 cái áo, hoàn thành trước thời hạn 4 ngày và mỗi ngày làm được nhiều hơn kế hoạch 25 cái áo. Hỏi theo kế hoạch xưởng cần phải dệt bao nhiêu cái áo mỗi ngày?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 75
Gọi x (ngày, x > 4) là số ngày theo kế hoạch xưởng phải dệt áo, y (cái, \({\rm{y}} \in \mathbb{N}*\)) là số áo mỗi ngày xưởng phải dệt theo kế hoạch.
Vì theo kế hoạch xưởng phải dệt 1 500 cái áo nên xy = 1 500 (1).
Số ngày thực tế xưởng đã dệt áo là x – 4 (ngày).
Số áo mỗi ngày xưởng dệt theo thực tế là y + 25 (cái).
Vì xưởng đã dệt được 1 600 cái áo nên (x – 4)(y + 25) = 1 600, suy ra xy – 4y + 25x – 100 = 1 600, suy ra 25x – 4y = 200 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{xy}} = 1\;\,500\\{\rm{25x}} - 4{\rm{y}} = 200\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: \({\rm{x}} = \frac{{200 + 4{\rm{y}}}}{{25}}\).
Thay \({\rm{x}} = \frac{{200 + 4{\rm{y}}}}{{25}}\) vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
y.\(\frac{{200 + 4{\rm{y}}}}{{25}}\)= 1 500
4y2 + 200y – 37 500 = 0
y2 + 50y – 9 375 = 0
y2 + 125y – 75y – 9 375 = 0
y(y + 125) – 75(y + 125) = 0
(y – 75)(y + 125) = 0
y – 75 = 0 (do y + 125 > 0 với y > 0)
y = 75 (thỏa mãn).
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải dệt 75 cái áo.
Ông của Ly hơn Ly 65 tuổi. Khi cộng số tuổi của bố Ly và 6 lần số tuổi của Ly thì bằng tuổi của ông Ly. Tổng số tuổi của ba người bằng 115 tuổi. Hỏi số tuổi của Ly bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Gọi số tuổi của Ly và bố Ly lần lượt là x (tuổi) và y (tuổi), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*\), x < y < 130.
Số tuổi của ông Ly là: x + 65 (tuổi).
Vì khi cộng số tuổi của bố Ly và 6 lần số tuổi của Ly thì bằng tuổi của ông Ly nên y + 6x = x + 65 nên 5x + y = 65 (1).
Vì tổng số tuổi của ba người bằng 115 tuổi nên x + y + x + 65 = 115 nên 2x + y = 50 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{5x}} + {\rm{y}} = 65\\{\rm{2x}} + {\rm{y}} = 50\end{array} \right.\).
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ ta được 3x = 15 nên x = 5 (thỏa mãn).
Thay x = 5 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 5.5 + y = 65 nên y = 40 (thỏa mãn).
Vậy Ly 5 tuổi.
Số công nhân của xí nghiệp 1 và 2 trước kia lần lượt tỉ lệ với 3 và 4. Hiện nay, xí nghiệp 1 thêm 10 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 20 công nhân nên số công nhân hiện nay của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt tỉ lệ với 5 và 7. Hỏi trước kia xí nghiệp hai hơn xí nghiệp 1 bao nhiêu công nhân?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 30
Gọi số công nhân xí nghiệp 1 và 2 trước kia lần lượt là x (công nhân) và y (công nhân), điều kiện: x, y \( \in \mathbb{N}*\).
Vì số công nhân của xí nghiệp 1 và 2 trước kia lần lượt tỉ lệ với 3 và 4 nên \(\frac{{\rm{x}}}{3} = \frac{{\rm{y}}}{4}\) nên x \( = \frac{3}{4}{\rm{y}}\)(1).
Hiện nay, số công nhân của xí nghiệp 1 và 2 lần lượt là x + 10 (công nhân) và y + 20 (công nhân).
Vì số công nhân hiện nay của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt tỉ lệ với 5 và 7 nên \(\frac{{{\rm{x}} + 10}}{5} = \frac{{{\rm{y}} + 20}}{7}\), suy ra 7x + 70 = 5y + 100 hay 7x – 5y = 30 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{3}{4}{\rm{y}}\\{\rm{7x}} - 5{\rm{y}} = 30\end{array} \right.\).
Thay x \( = \frac{3}{4}{\rm{y}}\) vào phương trình thứ hai trong hệ ta có: 7.\(\frac{3}{4}{\rm{y}}\) – 5y = 30 nên y = 120 (thỏa mãn).
Với y = 120 thì x\( = \frac{3}{4} \cdot 120 = 90\) (thỏa mãn).
Vậy trước kia, xí nghiệp 2 hơn xí nghiệp 1 là 30 công nhân.
