Bài tập Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (có lời giải chi tiết)

Suy ra: tam giác ABC vuông tại A (định lý Py-ta-go đảo)

Diện tích tam giác ABC là:

*Gọi tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số k

Suy ra:

Thay số

Chọn đáp án B

+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có:

$$\begin{gathered} A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2 \iff 6^2+8^2=B{C}^2 \\ \iff B{C}^2=100\Rightarrow BC=10cm \end{gathered}$$

+ Vì BD là đường phân giác của tam giác ABC nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{BA}{AD}=\frac{BC}{CD}\iff \frac{BA}{AD}=\frac{BC}{CA-AD} \\ \iff \frac{6}{AD}=\frac{10}{8-AD} \end{gathered}$$

=> AD = 3cm => DC = AC - AD = 8 - 3 = 5cm

Đáp án D.

+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có:

$$\begin{gathered} A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2 \iff 6^2+8^2=B{C}^2 \\ \iff B{C}^2 =100\Rightarrow BC=10cm \end{gathered}$$

+ Vì BD là đường phân giác của tam giác ABC nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{BA}{AD}=\frac{BC}{CD}\iff \frac{BA}{AD}=\frac{BC}{CA-AD} \\ \iff \frac{6}{AD}=\frac{10}{8-AD} \end{gathered}$$

=> AD = 3cm => DC = AC - AD = 8 - 3 = 5cm

Đáp án: B

Xét 2 tam giác vuông ABD và HBI có:

$\widehat{ABD}=\widehat{HBI}$ (BD là tia phân giác của góc B)

=> ΔABD ~ ΔHBI (g - g)

$\Rightarrow \frac{AB}{HB}=\frac{BD}{BI}\iff$AB.BI = BD.HB

Đáp án: A

Xét 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có:

$\widehat{BAE}=\widehat{CAF}$ (vì AD là tia phân giác của góc A)

=> ΔABE ~ ΔACF (g - g)

$\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{BE}{CF}$(1)

Xét 2 tam giác vuông BDE và CDF ta có:

$\widehat{EDB}=\widehat{FDC}$ (2 góc đối đỉnh)

=> ΔBDE ~ ΔCDF (g - g)

$\Rightarrow \frac{BE}{CF}=\frac{DE}{DF}$(2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AE}{AF}=\frac{DE}{DF}\iff$AE.DF = AF.DE (đpcm)

Đáp án: C

Xét 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có:

$\widehat{BAE}=\widehat{CAF}$ (vì AD là tia phân giác của góc A)$\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{BE}{CF}$

=> ΔABE ~ ΔACF (g - g)

(1) => AE.CF = AF.BE hay A đúng

Xét 2 tam giác vuông BDE và CDF ta có:

$\widehat{EDB}=\widehat{FDC}$ (2 góc đối đỉnh)

=> ΔBDE ~ ΔCDF (g - g)

$\Rightarrow \frac{BE}{CF}=\frac{DE}{DF}$(2) hay D đúng

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AE}{AF}=\frac{DE}{DF}\iff$  AE.DF = AF.DE hay C đúng

Đáp án: B

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Xét ΔAHC và ΔABC có C chung và $\widehat{AHC}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$ nên ΔAHC ~ ΔBAC (g-g)

Ta có $S_{DEC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$ (1), $S_{AHC}:S_{ABC}=\frac{18}{25}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra

$$\begin{gathered} S_{DEC}:S_{AHC}=\frac{1}{2}:\frac{18}{25} \\ =\frac{25}{36}={\left(\frac{5}{6}\right)}^2 \left(3\right) \end{gathered}$$

Vì DE // AH (cùng vuông với BC) suy ra ΔDEC ~ ΔAHC nên

$S_{DEC}:S_{AHC}={\left(\frac{EC}{HC}\right)}^2$(4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{EC}{HC}=\frac{5}{6}$ tức là $\frac{EC}{18}=\frac{5}{6}$ => EC = 15cm.

Đáp án: A

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Xét ΔAHC và ΔABC có C chung và $\widehat{AHC}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$ nên ΔAHC ~ ΔBAC (g-g)

Ta có $S_{DEC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}$ (1), $S_{AHC}:S_{ABC}=\frac{HC}{BC}=\frac{9}{9+3,5}=\frac{18}{25}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $S_{DEC}:S_{AHC}=\frac{1}{2}:\frac{18}{25}=\frac{25}{36}={\left(\frac{5}{6}\right)}^2\left(3\right)$

Vì DE // AH (cùng vuông với BC) duy ra ΔDEC ~ ΔAHC nên

$S_{DEC}:S_{AHC}={\left(\frac{EC}{HC}\right)}^2\left(4\right)$

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{EC}{HC}=\frac{5}{6}$  tức là $\frac{EC}{9}=\frac{5}{6}$  => EC = 7,5cm.

Đáp án: D