Bài tập các khái niệm mở đầu có đáp án
12 câu hỏi
Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết. Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, còn gió có cả hướng và độ lớn. Với một đơn vị đo, ta có thể dùng số liệu biểu diễn nhiệt độ. Đối với các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc giờ thì sao? Ta có thể dùng đối tượng toán học nào để biểu diễn chúng?
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta sẽ sử dụng vectơ để biểu diễn các đại lượng gồm hướng và độ lớn như vận tốc gió.
Trong đó hướng của vectơ là hướng gió, độ dài vectơ là độ lớn của vận tốc gió.
Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp 10 km về hướng nam thì tới đảo B (H.4.2). Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải dài bao nhiêu kilômét?
Ta có hình vẽ sau:
Vì góc giữa hướng đông và hướng nam là bằng 900 nên AHB^=900
Xét ΔAHB vuông ở H, ta có:
AB2 = AH2 + BH2 (định lí Py – ta – go)
AB2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200
⇔AB=102km
ΔAHB vuông tại H, có AH = BH = 10 km nên ΔAHB cân tại H
⇒HAB^=450
Tia Ax là hướng nam nên Ax⊥AH⇒HAx^=900
⇒HAx^=900−HAB^=450
Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng đông nam và đi quãng đường dài 102 km.
Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng.
a) Các làn đường song song với nhau.
b) Các xe chạy theo cùng một hướng.
c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.
Quan sát hình vẽ, ta có nhận xét sau:
Các làn đường chạy song song với nhau. Do đó phát biểu a) đúng.
Có ba xe hướng từ trên xuống dưới, còn hai xe hướng từ dưới lên trên. Do đó phát biểu b) sai.
Hai xe bất kì hoặc chạy cùng hướng hoặc chạy ngược hướng nhau. Do đó phát biểu c) đúng.
Xét các vecto cùng phương trong Hình 4.7. Hai vecto a→ và AB→ được gọi là cùng hướng, còn hai vecto a→ và x→ được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vecto cùng hướng với vecto a→ và các vecto ngược hướng với vecto a→.
Theo quan sát hai vecto a→ và AB→ ta thấy hai vecto cùng hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và cùng hướng lên trên.
Do đó các vecto cùng hướng với vecto a→ là AB→ và y→.
Theo quan sát hai vecto a→ và x→ ta thấy hai vecto ngược hướng thỏa mãn điều kiện cùng phương (giá song song) và vecto a→ hướng lên trên còn vecto x→ lại hướng xuống dưới.
Do đó các vecto ngược hướng với vecto a→ là x→ và z→ .
Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD, AB < CD (H.4.10). Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vecto AD→ và BC→, AB→ và CD→, AC→ và BD→. Có cặp vecto nào trong các cặp vecto trên bằng nhau hay không?
- Cặp vectơ và :
+ Độ dài: cùng độ dài vì AD→=AD;BC→=BC mà AD = BC (tính chất hình thang cân);
+ Phương: không cùng phương do giá của hai vectơ không song song và không trùng nhau;
+ Hướng: không cùng hướng do hai vectơ này không cùng phương.
Do đó hai vectơ AD→ và BC→ không bằng nhau.
- Cặp vectơ AB→và CD→:
+ Độ dài: không cùng độ dài do mà AB < CD;
+ Phương: cùng phương do hai vectơ có giá song song với nhau;
+ Hướng: ngược hướng.
Do đó hai vectơ AB→và CD→ không bằng nhau.
- Cặp vectơ AB→và CD→ :
+ Độ dài: cùng độ dài do AC→=AC;BD→=BD mà AC = BD (tính chất hình thang cân);
+ Phương: không cùng phương do giá của hai vectơ không song song và không trùng nhau;
+ Hướng: không cùng hướng do hai vectơ này không cùng phương.
Do đó hai vectơ AC→ và BD→ không bằng nhau.
Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B
a) AB→ và AM→ ngược hướng .
b) MA→ và MB→ cùng phương .
c) AB→ và AM→ cùng hướng .
d) MA→ và MB→ ngược hướng .
Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì MA→ và MB→ ngược hướng.
Nếu hai vecto MA→ và MB→ ngược hướng thì hai vecto MA→ và MB→ cùng phương
Do đó ba điểm M, A, B thẳng hàng.
Mà hai vectơ MA→ và MB→ ngược hướng nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
Suy ra điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi MA→ và MB→ ngược hướng.
Vậy điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B là và ngược hướng.
Hai ca nô A và B chạy trên sông với các vận tốc riêng có cùng độ lớn là 15km/h. Tuy vậy, ca nô A chạy xuôi dòng còn ca nô B chạy ngược dòng. Vận tốc của dòng nước trên sông là 3km/h.
a) Hãy thể hiện trên hình vẽ, vecto vận tốc v→ của dòng nước và các vecto vận tốc thực tế va→,vb→ của ca nô A, B.
b) Trong các vecto v→,va→,vb→, những cặp vecto nào cùng phương và những cặp vecto nào ngược hướng?
a) Ta có vận tốc của dòng nước trên sông là 3 km/h nên độ lớn của vectơ v→ là 3 km/h.
Do ca nô A chạy xuôi dòng nên vận tốc thực tế của ca nô A bằng 15 + 3 = 18 km/h hay độ lớn của vectơ v→alà 18 km/h.
Do ca nô B chạy ngược dòng nên vận tốc thực tế của ca nô B bằng 15 – 3 = 12 km/h hay độ lớn của vectơ v→blà 12 km/h.
Khi đó, ta có tỉ lệ độ dài giữa các vectơ là v→ : va→ : vb→= 3 : 18 : 12 = 1 : 6 : 4.
Giả sử dòng nước chảy theo chiều từ trái qua phải, khi đó ca nô A chạy xuôi dòng từ trái qua phải và ca nô B chạy ngược dòng từ phải qua trái. Ta có sơ đồ như sau:
b) Do ca nô A chạy xuôi dòng nên các vectơ vận tốc v→và v→a cùng phương và cùng hướng, do ca nô B chạy ngược dòng nên các vectơ vận tốc v→ và vb⇀ cùng phương và ngược hướng.
Vậy trong các vectơ có:
Các cặp vecto cùng phương là: va→ và vb→; va→ và v→; v→ và vb→.
Các cặp vecto ngược hướng là: va→ và vb→; v→ và vb→.
Cho ba vecto a→,b→,c→ đều khác 0→. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) a→,b→,c→ đều cùng hướng với 0→ ;
b) Nếu b→ không cùng hướng với a→ thì b→ ngược hướng với a→ ;
c) Nếu a→ và b→ đều cùng phương với c→ thì a→ và b→ cùng phương;
d) Nếu a→ và b→ đều cùng hướng với c→ thì a→và b→ cùng hướng.
Mọi vecto đều cùng phương cùng hướng với vecto 0→. Do đó a) đúng.
Nếu b→ không cùng hướng với a→ thì hoặc b→ ngược hướng với a→ hoặc b→ không cùng phương với a→. Do đó b) sai.
Nếu a→ và b→ đều cùng phương với c→ thì a→ và b→ có giá song song hoặc trùng c→:
Suy ra a→ và b→ có giá song song hoặc trùng nhau. Do đó a→ và b→ cùng phương. Suy ra c) đúng.
Nếu a→ và b→ đều cùng hướng với c→:
Theo quan sát hình vẽ, ta thấy a→ và b→ cùng hướng với nhau. Do đó d) đúng
Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơngược hướng và các cặp vecto bằng nhau.
Quan sát hình vẽ, ta thấy các vectơ a→,b→,c→có giá song song với nhau nên các vec tơ cùng phương với nhau là: a→,b→,c→
Các cặp vecto ngược hướng: a→ và b→; b→ và c→.
+ Độ dài của vectơ a⇀ là:−22+42=25 ;
Độ dài của vectơ b⇀ là −12+22=5;
Độ dài của vectơ c⇀ là 22+−42=25 ;
Độ dài của vectơ d⇀ là 42+22=25 .
Do đó các vectơ có cùng độ dài (cạnh huyền của các tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 và 4).
Suy ra a→ và c→ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
Vậy cặp vectơ bằng nhau là a⇀ và c⇀ .
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi BC→=AD→
+) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành:
Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒AD // BC (tính chất hình bình hành) ⇒AD→ và BC→ cùng phương ⇒AD→ và BC→ cùng hướng.
Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)
⇒AD→=BC→
+ Giả sử tứ giác ABCD có BC⇀ = AD⇀ suy ra BC ⇀ và AD⇀ cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài.
Þ BC = AD (1) và AD, BC song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai đường thẳng AD, BC trùng nhau thì bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng, điều này không xảy ra vì ABCD là tứ giác. Vậy AD // BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Hãy chỉ ra tập S gồm tất cả các vecto khác 0→, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O}. Hãy chia tập S thành các nhóm sao cho hai vecto thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
Các vecto khác , có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là:
AB→,AO→,AC→,AD→,BA→,BO→,BC→,BD→,CA→,CO→,CB→,CD→,DA→,DO→,DB→,DC→,OA→,OC→,OB→,OD→
Khi đó:
S=AB→,AO→,AC→,AD→,BA→,BO→,BC→,BD→,CA→,CO→,CB→,CD→,DA→,DO→,DB→,DC→,OA→,OC→,OB→,OD→
Hai vecto bằng nhau trong tập hợp S là:
AB→=DC→;AD→=BC→;BA→=CD→;DA→=CB→;OA→=CO→;AO→=OC→;OD→=BO→;DO→=OB→;
Khi đó tập S được chia thành các nhóm là:
Nhóm 1: AB→,DC→;
Nhóm 2: AD→,BC→;
Nhóm 3: BA→,CD→;
Nhóm 4: DA→,CB→;
Nhóm 5: OA→,CO→;
Nhóm 6: AO→,OC→;
Nhóm 7: OD→,BO→;
Nhóm 8: DO→,OB→.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ các vecto OA→,MN→ với A(1;2), M(0;-1), N(3;5)
a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vecto trên.
b) Một vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ v→=OA→. Hỏi vật thể đó có đi qua N hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới N?
a) Dựng các điểm B(0; 2) và K(0; 5).
Khi đó OB = 2, BA = 1, MK = 6, KN = 3.
Suy ra hai tam giác OAB và MNK là các tam giác vuông đồng dạng.
Do đó BOA^=KMN^.
Suy ra OA // MN và MNOA=KNBA=MKOB=3.
Như vậy, hai vectơ OA→ và MN⇀ là hai vectơ cùng hướng và vectơ MN⇀ có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ .
b) Vì OA→ và MN⇀ là hai vectơ cùng hướng nên khi vật thể khởi hành từ M và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi v→=OA→ thì vật thể đó sẽ đi qua điểm N.
Hơn nữa, sau mỗi giờ vật đó đi được quãng đường bằng OA→ và MN→=3OA→.
Vậy nếu coi độ lớn của OA là một đơn vị giờ thì sau khi khởi hành 3 giờ vật sẽ tới N.
