Bài tập Bài tập cuối chương 9 có đáp án

a) Ta có: AB→= (−1; 3), DC→ = (−1; 3) ⇒ AB→= DC→.

⇒ ABCD là hình bình hành.

Lại có: AD→ = (3; 1) ⇒ AB→. AD→= −1. 3 + 3. 1 = 0.

⇒ AB→⊥AD→ hay AB ⊥ AD.

⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = AD→=32+12=10.

          AB = AB→=(−1)2+32=10.

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông.

b) Tâm I của hình vuông ABCD nên I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD hay I là trung điểm của AC. Khi đó toạ độ điểm I là:

⇒ I2+42;1+52 ⇒ I = (3; 3).

Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ Ka+b2;0.

     H là trung điểm của CD ⇒ H0;c+d2.

⇒ Ia+b2;c+d2.

Ta có: IA→=a−a+b2;−c+d2⇒ IA = IA→=a−a+b22+−c+d22 .

          IC→=−a+b2;c−c+d2 ⇒ IC = IC→=−a+b22+c−c+d22.

Vì IA = IC (= R) ⇒ a−a+b22+−c+d22=−a+b22+c−c+d22

⇔ (a−b)² + (c+d)² = (a+b)² + (c−d)²

⇔ a²−2ab+b²+c²+2cd+d² = a²+2ab+b²+c²−2cd+d²

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có: EF→= (−a; −c}, BD→= (−b; d)

⇒ EF→. BD→= (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ EF→⊥BD→ hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

a) Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1→ = (1; −1) và  n2→= (1; 1).

Ta có: n1→. n2→= 1.1 + (−1). 1 = 0 nên  n1→ và n2→ là hai vectơ vuông góc 

⇒ d₁ ⊥ d₂ ⇒ (d₁, d₂) = 90°.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: x–y+2=0 x+y+4=0.

Giải hệ x–y+2=0 x+y+4=0ta được x=−3 y=−1⇒ M(−3; −1).

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có: u1→ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ n1→= (2; −1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Phương trình tổng quát của d₁ đi qua điểm A(1; 3) và nhận n1→= (2; −1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − (y − 3) = 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0.

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là n1→ = (1; −3)

Ta có: 21≠−1−3 ⇒ n1→ và n2→ là hai vectơ không cùng phương.

⇒ d₁ và d₂ cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình: 2x–y+1=0x−3y+2=0.

Giải hệ 2x–y+1=0x−3y+2=0 ta được x=−15y=35⇒M−15;35.

Ta có: n1→. n2→ = 2.1 + (−1).(−3) = 5; n1→=22+(−1)2=5; n2→=12+(−3)2=10

Khi đó: cos(d₁, d₂) = n1→.n2→n1→.n2→=55.10= 22.

⇒ (d₁, d₂) = 45°.

Vậy d₁ cắt d₂ tại điểm M−15;35 và (d₁, d₂) = 45°.

Vì đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 nên R = d(M; d)

Ta có: d(M; d) = 14.(−2)−5.3+60142+(−5)2=22113

⇒ R = d(M; d) = 22113

Vậy bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 là 22113.

Ta có Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1→ =(6 ; 8) và n2→= (3 ; 4).

Khi đó: 63=84(=2) ⇒ Δ và Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1;6) ∈ Δ'.

Ta tính khoảng cách từ điểm M đến phương trình Δ′ ta được :

 d(M; Δ) = 3.0+4.138−2732+42=4110 = 4,1.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ bằng 4,1.

a) Phương trình đường tròn (x − 2)²+ (y − 7)²= 64 có dạng (x − a)²+ (y − b)² = R².

⇒ Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

Vậy đường tròn (x − 2)²+ (y − 7)²= 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

b) Phương trình đường tròn (x + 3)²+ (y + 2)²= 8 có dạng (x − a)²+ (y − b)² = R².

⇒ Đường tròn có tâm I(−3; −2) và bán kính R = 22.

Vậy đường tròn (x + 3)²+ (y + 2)²= 8 có tâm I(−3; −2) và bán kính R = 22.

c) Phương trình x²+ y²− 4x − 6y – 12 = 0 có dạng x² + y²− 2ax − 2by + c = 0 với a = 2, b = 3, c = −12.

Ta có: a²+b²−c = 2²+3²+12=25⇒ bán kính R = a2+b2−c =25 = 5.

Vậy đường tròn x²+y²−4x−6y–12=0có tâm I(2; 3) và bán kính R = 5.

a) Phương trình đường tròn có tâm I(−2; 4) và bán kính R = 9 là: (x + 2)²+ (y − 4)²= 81.

b) Ta có IA→ = (3; 3) ⇒ IA = IA→=32+32= 32 .

Vì đường tròn đi qua điểm A nên  ta có: R = IA = 32

Vậy phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = 32 là: (x − 1)²+ (y − 2)²= 18.

c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: x²+ y²− 2ax − 2by + c = 0.

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y − 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

 4a+b−16=042+12−8a−2b+c=062+52−12a−10b+c=0⇔4a+b−16=0−8a−2b+c=−17−12a−10b+c=−61⇔a=3b=4c=15.

Vậy phương trình đường tròn là: x²+ y²− 6x − 8y + 15 = 0.

) Gọi A, B là giao điểm của đường tròn cần tìm với lần lượt trục Ox và Oy.

Ta có hình vẽ sau:

Kẻ OH ⊥ Ox, OK ⊥ Oy

⇒ H là trung điểm của OA (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OH = HA = 12OA = a2.

⇒ K là trung điểm của OB (đường kính vuông góc với dây) ⇒ OK = KB = 12OB = b2.

⇒ I (a2;b2)

⇒ IO→=0-a2;0-b2=-a2;-b2 ⇒ IA = -a22+ -b22=a2+b24

Phương trình đường tròn cần tìm là:

x-a22+ y-b22=a2+b24.

Đường tròn (C): (x − 5)²+ (y − 3)² = 100 có tâm I(5; 3).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

(5 − 11)(x − 11) + (3 − 11)(y − 11) = 0

⇔ −6x − 8y + 154 = 0

⇔ 3x + 4y – 77 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)²+ (y − 3)² = 100 tại điểm M(11; 11) là : 3x + 4y – 77 = 0.

a)Elip có đỉnh (5; 0), (0; 4) ⇒ a = 5; b = 4.

⇒ Phương trình elip (E) là: x225+y216=1.

Vậy elip thỏa mãn điều kiện đỉnh (5; 0), (0; 4) là x225+y216=1.

b) Elip có đỉnh (5; 0) ⇒ a = 5; tiêu điểm (3; 0) ⇒ c = 3

⇒ b = a2−c2=52−32= 4

Vậy phương trình elip cần tìm là: x225+y216=1.

c) Vì độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12 nên ta có: 2a = 16; 2b = 12 

⇒ a = 8; b = 6

⇒ Phương trình elip (E) là:x264+y236=1 .

Vậy phương trình elip cần tìm là:  x264+y236=1.

d) Vì độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12 nên ta có: 2a = 20; 2c = 12 

⇒ a = 10; c = 6 

⇒ b = a2−c2=102−62 = 8.

⇒ Phương trình elip (E) là: x2100+y264=1.

Vậy phương trình elip cần tìm là:  x2100+y264=1

a) Với parabol y²=12x :                       

Phương trình parabol có dạng: y²= 2px ⇒ 2p = 12 ⇒p = 6⇒ p2 = 3.

b) Với parabol y²=x:

Phương trình parabol có dạng: y²= 2px ⇒ 2p = 1 ⇒p = 12 ⇒ p2=14 .

Vậy tọa độ tiêu điểm là 14;0 và phương trình đường chuẩn là x + 14 = 0.

a) Parabol (P) có tiêu điểm (4; 0) ⇒ p2 = 4 ⇒p = 8.

⇒Phương trình parabol (P) là: y²= 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y²= 16x.

b. Parabol (P) có đường chuẩn là  x = −16⇒ p = 13

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²= 2. 13x = 23x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y²= 23x.

c)  Parabol(P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y²= 2px, ta được:4² = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²= 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y²= 16x.

c)  Parabol(P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y²= 2px, ta được:4² = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²= 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y²= 16x.

d) Parabol (P) tiêu điểm Fp2;0, phương trình đường chuẩn ∆ : x +  = 0.

Vì parabol (P) có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên:

d(F, Δ) = 8 ⇔ p2+p212+02= 8 ⇔ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y²= 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y²= 16x.

Vì parabol (P) có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y²=20x.

Ta có điểm A(45; y_A) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

y_A² = 20. 45 ⇒ y_A = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60cm.

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng: y²= 2px.

Ta có: A(1; 3) ∈ (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

3² = 2p. 1 ⇒ p = 92.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y²= 9x.

b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: p2 = 2,25 (m).

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol khoảng 2,25 mét.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng y² = 2px.

Gọi chiều cao của cổng là h (m) ⇒ OC = h

Ta có khoảng cách từ điểm M đến mặt đất là 2m nên MH = 2 ⇒ OK = h – 2 và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến cổng gần nhất là 0,5 m nên AH = 0,5.

Ta lại có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m nên AC = 192 : 2 = 96.

Khi đó tọa độ điểm A là A(h; 96)

Mà AH + CH = AC

⇒ CH = AC – AH = 96 – 0,5 = 95,5

⇒ M(h – 2; 95,5).

Vì các điểm M và A thuộc parabol nên tọa độ của M và A đều thỏa mãn phương trình y² = 2px, ta có:

96² = 2ph (1) và 95,5² = 2p(h – 2) (2)

Chia vế với vế của (1) cho (2) ta được:

962=2ph95,52=2p(h−2)⇒96295,52=hh−2⇒ h = 2.962962−95,52≈ 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.