Bài tập Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án
13 câu hỏi
Cột điện MN vuông góc với thanh xà AB tại điểm nào của đoạn thẳng AB?
Cột điện MN vuông góc với thanh xà AB tại điểm O của đoạn thẳng AB.
Lấy một mảnh giấy như trong Hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B (Hình 1b).
Theo em nếp gấp xy có vuông góc với đoạn AB tại trung điểm hay không? Vì sao?
Ta thấy khi gấp giấy điểm A trùng với điểm B nên O là trung điểm của AB.
Ngoài ra nếp gấp vuông góc với đoạn AB.
Do đó nếp gấp xy vuông góc với đoạn AB tại trung điểm của AB.
Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N, P và trên cạnh DC lấy các điểm M’, N’, P’. Cho biết AM = MN = NP = PB và MM’, NN’, PP’ đều song song với BC (Hình 3). Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AB, AN và NB.
Do ABCD là hình chữ nhật nên MM’ ^ AB, NN’ ^ AB, PP’ ^ AB.
Ta có AN = AM + MN; NB = NP + PB.
Do AM = MN = NP = PB nên AN = NB và N nằm giữa AB do đó N là trung điểm của AB.
Khi đó NN’ ^ AB và N là trung điểm của AB nên đường trung trực của đoạn AB là NN’.
Do AM = MN và M nằm giữa AN nên M là trung điểm của AN.
Do MM’ ^ AN và M là trung điểm của AN nên đường trung trực của đoạn AN là MM’.
Do NP = PB và P nằm giữa N và B nên P là trung điểm của NB.
Do PP’ ^ NB và P là trung điểm của NB nên đường trung trực của đoạn NB là PP’.
Trong Hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không. Tại sao?
Do DA = DC (theo giả thiết) nên D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (1).
Suy ra DP ^ AC.
Xét DBPA vuông tại P và DBPC vuông tại P có:
BP chung.
PA = PC (theo giả thiết).
Suy ra DBPA = DBPC (2 cạnh góc vuông).
Do đó BA = BC (2 cạnh tương ứng).
Suy ra B nằm trên đường trung trực của AC (2).
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy điểm M tùy ý thuộc d (Hình 5).
Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.
Do d là đường trung trực của AB nên d ^ AB và O là trung điểm của AB.
Khi đó OA = OB.
Xét DMOA vuông tại O và DMOB vuông tại O có:
OA = OB (chứng minh trên).
OM chung.
Do đó ΔMOA=ΔMOB (2 cạnh góc vuông).
Suy ra MA = MB (2 cạnh tương ứng).
Trong Hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.
Do M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.
Do đó x + 2 = 7 suy ra x = 5.
Vậy x = 5.
Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau:
- Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn 12AB (Hình 9a).
- Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính ở trên (Hình 9b).
- Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N (Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.
Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giả sử độ dài đoạn thẳng AB là 4 cm.
Thực hiện vẽ theo hướng dẫn của đề bài với bán kính cung tròn tại A và B là 3 cm.
Ta thu được hình sau:
Hai cung tròn tại A và B có bán kính 3 cm cắt nhau tại M và N nên
MA = MB = NA = NB = 3 cm.
Do MA = MB nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do NA = NB nên N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy MN là đường trung trực của đoạn AB.
Hình 10 minh họa một tờ giấy có hình vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB mà hình ảnh điểm B bị nhòe mất. Hãy nêu cách xác định điểm B.
Do xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên xy vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
Gọi O là giao điểm của xy và AB.
Khi đó về bên phải điểm O, trên đường thẳng qua O và vuông góc với xy, ta xác định một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến điểm O bằng độ dài đoạn OA.
Điểm đó chính là điểm B.
Ta có hình vẽ sau:
Quan sát Hình 11, cho biết M là trung điểm của BC, AM vuông góc với BC và AB = 10 cm. Tính AC.
Do M là trung điểm của BC và AM vuông góc với BC tại M nên AM là đường trung trực của BC.
Khi đó AB = AC.
Vậy AC = 10 cm.
Quan sát Hình 12, cho biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC = 8 cm. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Do DB = DC = 8 cm nên D nằm trên đường trung trực của đoạn BC.
Mà AM là đường trung trực của đoạn BC hay D nằm trên đường thẳng AM.
Do đó A, M, D thẳng hàng.
Quan sát Hình 13, biết AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC.
Do AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn BC.
Do DB = DC nên D nằm trên đường trung trực của đoạn BC.
Khi đó AD là đường trung trực của đoạn BC.
Do đó AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
Mà AD cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC.
Cho hai điểm M và N nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng EF.
Chứng minh rằng ΔEMN=ΔFMN.
Do M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF nên ME = MF và NE = NF.
Xét ΔEMN và ΔFMN có:
ME = MF (chứng minh trên).
NE = NF (chứng minh trên).
MN chung.
Do đó ΔEMN=ΔFMN (c - c - c).
Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có một con đường d và hai điểm dân cư A và B (Hình 14). Hãy tìm bên đường một địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư.
Trạm y tế cách đều hai điểm dân cư tức MA = MB.
Khi đó M nằm trên đường trung trực của AB.
Mà M nằm trên đường thẳng d nên M là giao điểm của d và đường trung trực của AB.
