20 câu Trắc nghiệm Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là
Đường thẳng vuông góc với \(AB.\)
Đường thẳng đi qua trung điểm của \(AB.\)
Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại trung điểm của \(AB.\)
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại trung điểm của \(AB.\)
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì
cách không đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
cách đều đoạn thẳng đó.
cách đều tất cả các điểm trên đoạn thẳng đó.
Đáp án đúng là: B
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Đường thẳng \(d\) là trung trực của đoạn thẳng \(MN\) khi
\(d\) đi qua điểm \(I\) của \(MN.\)
\(d \bot MN\) tại \(I\) và \(IM = IN.\)
\(d \bot MN.\)
\(d\) đi qua trung điểm \(I\) của \(MN.\)
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) là trung trực của đoạn thẳng \(MN\) khi \(d \bot MN\) tại \(I\) và \(IM = IN.\)
Do đó, chọn đáp án B.
Cho các hình vẽ dưới đây.
Hình vẽ biểu diễn đường trung trực của một đoạn thẳng là
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Đáp án đúng là: A
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó nên hình biểu diễn đường trung trực của đoạn thẳng là hình 1.
Điểm \(M\) thuộc đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(MA < MB.\)
\(MA = MB.\)
\(MA > MB.\)
\(MA = 2MB.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có điểm \(M\) thuộc đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) nên \(MA = MB.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trực tâm của \(\Delta ABC\) là
là điểm nằm bên trong tam giác.
là điểm nằm bên ngoài tam giác.
trùng với điểm \(A\).
là trung điểm của cạnh huyền \(BC\).
Đáp án đúng là: C
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên trực tâm của \(\Delta ABC\) trùng với điểm \(A\).
Điểm cách đều hai đầu mút đoạn thẳng thì
nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
nằm trên đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó.
nằm trên đường thẳng song song với đoạn thẳng đó.
nằm trên đường thẳng cắt đoạn thẳng đó.
Đáp án đúng là: A
Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Cho \(M\) là một điểm thuộc đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB,\) biết \(MA = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Khi đó độ dài của đoạn thẳng \(MB\) là
\(2,5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\(6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\(10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
\(5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Đáp án đúng là: D
Vì \(M\) là một điểm thuộc đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) nên \(MA = MB = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Cho đoạn thẳng \(AB\) có độ dài 6 cm, đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) cắt \(AB\) tại \(I\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(IA = IB = 6\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(IA = IB = 2\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(IA = IB = 3\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(IA = \frac{1}{2}IB\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
Cho đoạn thẳng \(AB\), đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) cắt \(AB\) tại \(I\), biết \(IA = 2\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(IB = 4\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(IB = 2\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(IB < 2\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(IA = \frac{1}{2}IB\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(AB = 2IA = 2IB = 4\,\,{\rm{cm}}\)
Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]. Vẽ \[AD\] là phân giác \[\widehat {BAC}\,\,\left( {D \in BC} \right)\]. Vẽ \[DM \bot AB\] tại \[M\], \[DN \bot AC\] tại \[N\]. Gọi \[K\] là trung điểm của \[CN\]. Trên tia đối của tia \[KD\] lấy điểm \[E\] sao cho \[KE = KD\]. Khi đó:
\[AD\] là đường trung trực của \[BC\].
\[\Delta MAD = \Delta DAN\].
\[AD\] là đường trung trực của \[MN\].
\[M,\,\,N,\,\,E\] thẳng hàng.
a) Đúng.
Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên \[AD\] vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, đường trung trực trong \[\Delta ABC\].
Do đó, \[AD\] là đường trung trực của \[BC\].
b) Sai.
Xét \[\Delta MAD\] và \[\Delta DAN\] có:
\[\widehat {MAD} = \widehat {NAD}\]
\[AD\] chung
Do đó \[\Delta MAD = \Delta NAD\] (cạnh huyền – góc nhọn)
c) Đúng.
Từ \[\Delta MAD = \Delta NAD\] (cmt) suy ra \[MD = ND\] và \[AM = AN\] (hai cạnh tương ứng)
Do đó, \[AD\] là đường trung trực của \[MN\].
d) Đúng.
Ta chứng minh được \[\Delta NKE = \Delta CKD\] (c.g.c) nên \[\widehat {NEK} = \widehat {KDC}\] (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \[NE\parallel DC\]. (1)
Có \[AM = AN\] nên \[\Delta MAN\] cân tại \[A\], suy ra \[\widehat {AMN} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\]
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[MN\parallel CB\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[NE\parallel DC\parallel MN\] nên ba điểm \[M,\,\,N,\,\,E\] thẳng hàng.
Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A\], \[M\] là trung điểm của \[BC\], \[ME\] vuông góc với \[AB\], \[MF\] vuông góc với \[AC\].
Khi đó:
\[AM\] là trung trực của \[BC\].
\[ME = MF\].
\[AM\] là trung trực của \[EF\].
\[EF\parallel BC\].
a) Đúng.
Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[AM\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường trung trực trong \[\Delta ABC\].
Vậy \[AM\] là trung trực của \[BC\].
b) Đúng.
Ta chứng minh được \[\Delta EMB = \Delta FMC\] (cạnh huyền – góc nhọn) nên \[ME = MF\] (hai cạnh tương ứng)
c) Đúng.
Ta chứng minh được \[\Delta EAM = \Delta FAM\] (cạnh huyền – góc nhọn) nên \[AE = AF\] (hai cạnh tương ứng)
Vì \[ME = MF\] và \[AE = AF\] nên \[M,\,\,A\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[EF\].
Do đó, \[AM\] là trung trực của \[EF\].
d) Đúng.
Vì \[AM\] là trung trực của \[EF\] nên \[AM \bot EF\].
Lại có \[AM\] là trung trực của \[BC\] nên \[AM \bot BC\].
Từ đây suy ra \[EF\parallel BC\].
Cho góc \[xOy\] khác góc bẹt \[Oz\] là tia phân giác của \[xOy\]. Gọi \[M\] là một điểm bất kì thuộc tia \[Oz\]. Qua \[M\] vẽ đường thẳng \[a\] vuông góc với \[Ox\] tại \[A\], cắt \[Oy\] tại \[C\] và vẽ đường thẳng \[b\] vuông góc với \[Oy\] tại \[B\], cắt \[Ox\] tại \[D\].
Khi đó:
\[O\] thuộc đường trung trực của \[AB\].
\[OM\] là đường trung trực của \[AB\].
\[OM\] là đường trung trực của \[CD\].
\[AB \bot CD\].
a) Đúng.
Xét hai tam giác vuông \[\Delta AOM\] và \[\Delta BOM\] có:
\[OM\] chung (gt)
\[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\] (gt)
Do đó, \[\Delta AOM = \Delta BOM\] (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra \[AO = OB\] (hai cạnh tương ứng)
Do đó, \[O\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[AB\].
Vậy \[O\] thuộc đường trung trực của \[AB\].
b) Đúng.
Vì \[\Delta AOM = \Delta BOM\] (cmt) nên \[MA = MB\] (hai cạnh tương ứng)
Suy ra \[M\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[AB\].
Do đó, \[M\] thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
Từ phần a) kết hợp suy ra \[OM\] là đường trung trực của \[AB\].
c) Đúng.
Ta chứng minh được \[\Delta BOD = \Delta AOC\] (cạnh góc vuông – góc nhọn)
Suy ra \[OC = OD\] (hai cạnh tương ứng) (1)
Chứng minh \[\Delta DOM = \Delta COM\] (c.g.c)
Suy ra \[MD = MC\] (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[OM\] là đường trung trực của \[CD\].
d) Sai.
Từ phần b) có \[OM\] là đường trung trực của \[AB\] nên \[OM \bot AB\].
Từ phần c) có \[OM\] là đường trung trực của \[CD\] nên \[OM \bot CD\]
Do đó, \[AB\parallel CD\].
Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A,\,\,\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\]. Đường trung trực của cạnh \[AC\] cắt tia \[CB\] tại điểm \[D\]. Trên tia đối của tia \[AD\] lấy điểm \[E\] sao cho \[AE = BD\]. Lấy \[F\] là trung điểm của \[DE\].
Khi đó:
\[\Delta ADC\] cân tại \[C.\]
\[\widehat {ABC} = \widehat {DAC}\].
\[AD = CE\].
\[CF\] là đường trung trực của \[DE.\]
a) Sai.
Vì đường trung trực của cạnh \[AC\] cắt tia \[CB\] tại điểm \[D\] nên \[D\] cách đều hai đầu mút cả \[AC\].
Hay \[DC = DA\].
Do đó, \[\Delta ADC\] cân tại \[D\].
b) Đúng.
Vì \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\]. (1)
Mà \[\Delta ADC\] cân tại \[D\] nên \[\widehat {DCA} = \widehat {DAC}\]. (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {ABC} = \widehat {DAC}\].
c) Đúng.
Xét \[\Delta BAD\] và \[\Delta AEC\], có:
\[BA = AC\] (gt)
\[\widehat {ABD} = \widehat {EAC}\left( { = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {DAC}} \right)\]
\[AE = BD\] (gt)
Do đó, \[\Delta BAD = \Delta ACE\] (c.g.c)
Suy ra \[AD = CE\] (hai cạnh tương ứng)
d) Đúng.
Vì \[AD = CE\] (cmt), mà \[AD = DC\] nên \[CD = CE\].
Do đó, \[C\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[DE\] và \[F\] là trung điểm của \[DE\],
Do đó \[CF\] là đường trung trực của \[DE.\]
Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A.\] Trên tia đối của ti \[BC\] lấy điểm \[D\], trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[E\] sao cho \[BD = CE\]. Kẻ \[BH \bot AD\] tại \[H,\] \[CK \bot AE\] tại \[K\]. Gọi \[M\] là giao điểm của \[AI,\,\,\,DE;\] \[I\] là giao của \[BH\] và \[CK\].
Khi đó:
\[\Delta ABD = \Delta AEC\].
\[\Delta BHD = \Delta CKE\].
\[\Delta ADM = \Delta EAM\].
\[AI\] là trung trực của \[DE.\]
a) Sai.
Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:
\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (\[\Delta ABC\] cân tại \[A\]) suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\]
\[BD = CE\] (gt)
\[AB = AC\] (gt)
Suy ra \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (c.g.c)
b) Đúng.
Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AD = AE\].
Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].
Do đó, \[\widehat D = \widehat E\].
Xét hai tam giác vuông \[\Delta BHD\] và \[\Delta CKE\] có:
\[\widehat D = \widehat E\] (cmt)
\[BD = CE\] (gt)
Suy ra \[\Delta BHD = \Delta CKE\] (cạnh huyền – góc nhọn)
c) Sai.
Ta có: \[\Delta BHD = \Delta CKE\] nên \[HD = KE\] (hai cạnh tương ứng)
Lại có: \[AD - HD = AE - KE\] hay \[AH = AK\].
Do đó, ta chỉ ra được \[\Delta AHI = \Delta AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \[\widehat {HAI} = \widehat {KAI}\] (hai góc tương ứng)
Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta EAM\] có:
\[\widehat {DAM} = \widehat {MAE}\] (cmt);
\[AD = AE\]
\[\widehat {ADM} = \widehat {MEA}\]
Do đó, \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (g.c.g)
d) Đúng.
Vì \[\Delta ADM = \Delta AEM\] (cmt) nên \[DM = ME\] và \[\widehat {AMD} = \widehat {EMD}\].
Do đó, \[M\] là trung điểm của \[DE\] và \[\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ \] (do \[\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}\] là hai góc kề bù).
Suy ra \[AI \bot DE\] tại trung điểm \[M\] của \[DE\].
Vậy \[AI\] là trung trực của \[DE.\]
Cho điểm \[C\] thuộc trung trực của đoạn thẳng \[AB\]. Biết \[AC = 10\,\,{\rm{cm}}\], hỏi độ dài đoạn thẳng \[CB\] bằng bao nhiêu cm?
Đáp án: 10
Vì \[C\] thuộc trung trực của đoạn thẳng \[AB\] nên \[C\] cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng \[AB\] hay \[AC = CB = 10\,\,{\rm{cm}}\].
Vậy \[CB = 10\,\,{\rm{cm}}\].
Sử dụng dữ kiện dưới đây để trả lời Câu 2, 3.
Cho \[\Delta ABC\], các đường trung trực của \[AB,\,\,AC\] cắt cạnh \[BC\] theo thứ tự ở \[M\] và \[N\]. Biết \[\widehat B = 30^\circ ,\,\,\widehat C = 45^\circ \].
Tổng \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}\] bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 75
Ta có: \[M\] nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
Do đó, \[MA = MB\] suy ra \[\Delta AMB\] cân tại \[M\].
Do đó, \[\widehat B = \widehat {{A_1}} = 30^\circ \].
Tương tự \[N\] nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\]
Do đó, \[NA = NC\] suy ra \[\Delta ANC\] cân tại \[N\].
Do đó, \[\widehat C = \widehat {{A_2}} = 45^\circ \]
Suy ra \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ \]
Số đo \[\widehat {MAN}\] bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 30
Ta có: \[\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] (tống ba góc trong tam giác)
Do đó, \[\widehat {BAC} = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \].
Lại có: \[\widehat {BAC} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {MAN}\]
Suy ra \[\widehat {BAC} - \widehat {{A_1}} - \widehat {{A_2}} = \widehat {MAN}\] nên \[\widehat {MAN} = 105^\circ - 75^\circ = 30^\circ \].
Sử dụng dữ kiện bài toán dưới đây để trả lời Câu 4, 5.
Cho \[\Delta ABC\] có \[\widehat B - \widehat C = 30^\circ \]. Đường trung trực của \[BC\] cắt \[AC\] ở \[K\]. Biết \[AB = 3{\rm{ cm, }}AC = 5{\rm{ cm}}\].
Số đo \[\widehat {ABK}\] bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 30
Ta có \[K\] thuộc đường trung trực của \[BC\] nên \[KB = KC\].
Suy ra \[\Delta KBC\] cân tại \[K\], do đó \[\widehat {KBC} = \widehat C\].
Ta có \[\widehat {ABK} = \widehat {ABC} - \widehat {KBC} = \widehat {ABC} - \widehat C = 30^\circ \].
Tính chu vi của \[\Delta ABK\]. (Đơn vị: cm)
Đáp án: 8
Ta có: \[AK + BK = AK + KC = AC = 5\,\,{\rm{cm}}\].
Do đó, chu vi \[\Delta ABK\] là: \[AB + AK + BK = 3 + 5 = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]
