Bài tập Bài 4. Phép nhân đa thức một biến có đáp án
14 câu hỏi
Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thức đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép nhân hai đa thức một biến, chẳng hạn ta cần thực hiện phép nhân sau:
(x – 1)(x2 + x + 1).
Làm thế nào để thực hiện được phép nhân hai đa thức một biến?
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Thực hiện phép tính:
a) x2 . x4;
b) 3x2 . x3;
c) axm . bxn (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ℕ).
a) x2 . x4 = x2 + 4 = x6.
b) 3x2 . x3 = 3x2 + 3 = 3x5.
c) axm . bxn = a . b . xm . xn = abxm + n (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ℕ).
Tính:
a) 3x5 . 5x8;
b) -2xm + 2 . 4xn - 2 (m, n ∈ℕ; n > 2).
a) 3x5 . 5x8 = 3 . 5 . x5 . x8 = 15 . x5 + 8 = 15x13.
b) -2xm + 2 . 4xn - 2 = -2 . 4 . xm + 2 . xn - 2 = -8 . xm + 2 + n - 2 = -8xm + n (m, n ∈ℕ; n > 2).
Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở Hình 3.
a) Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II);
b) Tính diện tích của hình chữ nhật MNPQ;
c) So sánh: a(b + c) và ab + ac.
a) Diện tích hình chữ nhật (I) là ab.
Diện tích hình chữ nhật (II) là ac.
b) Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là NP = b + c; chiều rộng là MN = a.
Do đó diện tích hình chữ nhật MNPQ là a(b + c).
c) Ta thấy diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật (I) và (II) nên a(b + c) = ab +ac.
Cho đơn thức P(x) = 2x và đa thức Q(x) = 3x2 + 4x + 1.
a) Hãy nhân đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x).
b) Hãy cộng các tích vừa tìm được:
a) Các đơn thức của đa thức Q(x) là 3x2; 4x; 1.
Ta có:
2x . 3x2 = 2 . 3 . x . x2 = 6 . x1 + 2 = 6x3.
2x . 4x = 2 . 4 . x . x = 8 . x1 + 1 = 8x2.
2x . 1 = 2x.
b) Khi đó 2x . 3x2 + 2x . 4x + 2x . 1 = 6x3 + 8x2 + 2x.
Tính:
a) 12x(6x - 4);
b) -x213x2−x−14.
Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở Hình 4.
a) Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II), (III), (IV).
b) Tính diện tích của hình chữ nhật MNPQ.
c) So sánh: (a + b)(c + d) và ac + ad + bc + bd.
a) Diện tích hình chữ nhật (I) là ac.
Diện tích hình chữ nhật (II) là ad.
Diện tích hình chữ nhật (III) là bc.
Diện tích hình chữ nhật (IV) là bd.
b) Hình chữ nhật MNPQ có chiều rộng là MN = a + b; chiều dài là c + d.
Khi đó diện tích hình chữ nhật MNPQ là (a + b)(c + d).
c) Diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng tổng diện của bốn hình chữ nhật (I), (II), (III), (IV) nên (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Cho đa thức P(x) = 2x + 3 và đa thức Q(x) = x + 1.
a) Hãy nhân mỗi đơn thức của đa thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x).
b) Hãy cộng các tích vừa tìm được.
a) Ta có:
2x . x = 2x2;
2x . 1 = 2x;
3 . x = 3x;
3 . 1 = 3.
b) 2x . x + 2x . 1 + 3 . x + 3 . 1 = 2x2 + 2x + 3x + 3 = 2x2 + 5x + 3.
Tính:
a) (x2 - 6)(x2 + 6);
b) (x - 1)(x2 + x + 1).
a) (x2 - 6)(x2 + 6) = x2 . x2 + x2 . 6 - 6 . x2 - 6 . 6
= x4 - 36.
b) (x - 1)(x2 + x + 1) = x . x2 + x . x + x . 1 - 1 . x2 - 1 . x - 1 . 1
= x3 + x2 + x - x2 - x - 1.
= x3 + (x2 - x2) + (x - x) - 1.
= x3 - 1
Tính:
a) 12x2 . 65x3;
b) y257y3−2y2+0,25;
c) (2x2 + x + 4)(x2 - x - 1);
d) (3x - 4)(2x + 1) - (x - 2)(6x + 3).
a) 12x2 . 65x3 = 12 . 65 . x2 . x3 = 35x5.
b) y257y3−2y2+0,25 = y2 . 57y3 - y2 . 2y2 + y2 . 0,25
= 57y5 - 2y4 + 0,25y2.
c) (2x2 + x + 4)(x2 - x - 1)
= 2x2 . x2 - 2x2 . x - 2x2 . 1 + x . x2 - x . x - x . 1 + 4 . x2 - 4 . x - 4 . 1
= 2x4 - 2x3 - 2x2 + x3 - x2 - x + 4x2 - 4x - 4
= 2x4 + (-2x3 + x3) + (-2x2 - x2+ 4x2) + (-x - 4x) - 4
= 2x4 - x3 + x2 - 5x - 4.
d) (3x - 4)(2x + 1) - (x - 2)(6x + 3)
= 3x . 2x + 3x . 1 - 4 . 2x - 4 . 1 - (x . 6x + x . 3 - 2 . 6x - 2 . 3)
= 6x2 + 3x - 8x - 4 - (6x2 + 3x - 12x - 6)
= 6x2 - 5x - 4 - (6x2 - 9x - 6)
= 6x2 - 5x - 4 - 6x2 + 9x + 6
= (6x2 - 6x2) + (-5x + 9x) + (-4 + 6)
= 4x + 2.
Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:
a) P(x) = (-2x2 - 3x + x - 1)(3x2 - x - 2);
b) Q(x) = (x5 - 5)(-2x6 - x3 + 3).
a) P(x) = (-2x2 - 3x + x - 1)(3x2 - x - 2).
= (-2x2 - 2x - 1)(3x2 - x - 2).
= -2x2 . 3x2 - (-2x2) . x - (-2x2) . 2 - 2x . 3x2 - 2x . (-x) - 2x . (-2) - 1 . 3x2 - 1 . (-x) - 1 . (-2)
= -6x4 + 2x3 + 4x2 - 6x3 + 2x2 + 4x - 3x2 + x + 2
= -6x4 + (2x3 - 6x3) + (4x2 + 2x2 - 3x2) + (4x + x) + 2
= -6x4 - 4x3 + 3x2 + 5x + 2
Khi đó đa thức P(x) có bậc bằng 4, hệ số cao nhất bằng -6, hệ số tự do bằng 2.
b) Q(x) = (x5 - 5)(-2x6 - x3 + 3)
= x5 . (-2x6) - x5 . x3 + x5 . 3 - 5 . (-2x6) - 5 . (-x3) - 5 . 3
= -2x11 - x8 + 3x5 + 10x6 + 5x3 - 15
= -2x11 - x8 + 10x6 + 3x5 + 5x3 - 15
Khi đó đa thức Q(x) có bậc bằng 11, hệ số cao nhất bằng -2, hệ số tự do bằng -15.
Xét đa thức P(x) = x2(x2 + x + 1) - 3x(x - a) + 14 (với a là một số).
a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 52.
a) P(x) = x2(x2 + x + 1) - 3x(x - a) + 14
= x2 . x2 + x2 . x + x2 . 1 - 3x . x - 3x . (-a) + 14
= x4 + x3 + x2 - 3x2 + 3ax + 14
= x4 + x3 - 2x2 + 3ax + 14
Vậy đa thức P(x) được thu gọn và sắp xếp theo số mũ giảm dần của biến là:
P(x)= x4 + x3 - 2x2 + 3ax + 14.
b) Do tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 52 nên 1 + 1 + (-2) + 3a + 14 = 52.
Suy ra 3a =52−14=104−14=94.
Do đó a = 94:3=94.13=34.
Vậy để tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 52 thì a=34.
Từ tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 20 cm và 30 cm, bạn Quân cắt đi ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh, sau đó gấp lại để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp (Hình 5).
Viết đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi.
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x (cm).
Khi đó chiều dài của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông là 30 - 2a (cm).
Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông là 20 - 2a (cm).
Ta thấy độ dài đáy của hình hộp chữ nhật là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông, chiều cao của hình hộp chữ nhật là độ dài cạnh của hình vuông.
Do đó thể tích của hình hộp chữ nhật đó là: a(30 - 2a)(20 - 2a) (cm3).
Ảo thuật với đa thức
Bạn Hạnh bảo với bạn Ngọc:
“- Nếu bạn lấy tuổi của một người bất kì cộng thêm 5;
- Được bao nhiêu đem nhân với 2;
- Lấy kết quả đó cộng với 10;
- Nhân kết quả vừa tìm được với 5;
- Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100. Mình sẽ đoán được tuổi của người đó.”
Em hãy sử dụng kiến thức nhân đa thức để giải thích vì sao bạn Hạnh lại đoán được tuổi người đó.
Gọi tuổi của người đó là x (x > 0).
Tuổi của người đó cộng thêm 5 được x + 5.
Nhân kết quả vừa tìm được với 2 được 2(x + 5) = 2x + 2 . 5 = 2x + 10.
Lấy kết quả đó cộng với 10 được 2x + 10 + 10 = 2x + 20.
Nhân kết quả vừa tìm được với 5 được 5(2x + 20) = 5. 2x + 5 . 20 = 10x + 100.
Kết quả sau khi trừ đi 100 là 10x + 100 - 100 = 10x.
Khi đó kết quả cuối cùng bằng 10 lần tuổi của người đó.
