Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dung hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

Ta có

$$\begin{gathered} x^3{y}^3 + 6x^2{y}^2 + 12xy + 8 \\ = {\left(xy\right)}^3 + 3{\left(xy\right)}^2.2 + 3xy.2^2 + 2^3 \\ = {(xy + 2)}^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} 8x^3 + 12x^{2}y + 6x{y}^2 + y^3 \\ = {\left(2x\right)}^3 + 3.{\left(2x\right)}^{2}y + 3.2x.y^2 + y^3 \\ = {(2x + y)}^3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có ${(5x – 4)}^2 – 49x^2 = {(5x – 4)}^2 – {\left(7x\right)}^2$

          = (5x – 4 + 7x)(5x – 4 – 7x)

          = (12x – 4)(-2x – 4) = 4.(3x – 1).(-2)(x + 2)

          = -8(3x – 1)(x + 2)

Đáp án cần chọn là: D

Ta có ${(3x – 2y)}^2 – {(2x – 3y)}^2$= (3x – 2y + 2x – 3y)(3x – 2y – (2x – 3y))

          = (5x – 5y)(3x – 2y – 2x + 3y) = 5(x – y)(x + y)

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

+) $4x^2 + 4x + 1 = {\left(2x\right)}^2 + 2.2x.1 + 1^2= {(2x + 1)}^2 \Rightarrow A đúng$

+) $9x^2 – 24xy + 16y^2 = {\left(3x\right)}^2 – 2.3x.4y + {\left(4y\right)}^2 = {(3x – 4y)}^2 \Rightarrow B đúng$

+) $\frac{x^2}{4}+2xy+4y^2={\left(\frac{x}{2}\right)}^2+2.\frac{x}{2}.2y+{\left(2y\right)}^2={\left(\frac{x}{2}+2y\right)}^2 \Rightarrow C đúng, D sai.$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

+) $x^2 – 6x + 9 = x^2 – 2.3.x + 3^2 = {(x – 3)}^2$ nên A đúng

+) $4x^2 – 4xy + y^2 = {\left(2x\right)}^2 – 2.2x.y + y^2 = {(2x – y)}^2$ nên B đúng

+) $x^2+x+\frac{1}{4}=x^2+2x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$ nên C đúng

+) $-x^2 – 2xy – y^2 = -(x^2 + 2xy + y^2) = -{(x + y)}^2$ nên D sai

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} {(4x^2 + 4x – 3)}^2 – {(4x^2 + 4x + 3)}^2 \\ = (4x^2 + 4x – 3 + 4x^2 + 4x + 3)(4x^2 + 4x – 3 – 4x^2 – 4x – 3) \\ = (8x^2 + 8x).(-6) \\ =-48x^2-48x \\ =-48x\left(x+1\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow m=-48<0$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} (a^2 + 9{)}^2 – 36a^2 \\ = {(a^2 + 9)}^2 – {\left(6a\right)}^2 \\ = (a^2 + 9 + 6a\left)\right(a^2 + 9 – 6a) \\ = {(a + 3)}^2{(a – 3)}^2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$8x^3 – 64 = {\left(2x\right)}^3 – 4^3=(2x – 4)(4x^2 + 8x + 16)$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

$27x^3 – 0,001 = {\left(3x\right)}^3 – {(0,1)}^3 = (3x – 0,1)({\left(3x\right)}^2 + 3x.0,1 + 0,1^2) = (3x – 0,1)(9x^2 + 0,3x + 0,01)$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$\frac{x^3}{8}+8y^3={\left(\frac{x}{2}\right)}^3+{\left(2y\right)}^3=\left(\frac{x}{2}+2y\right)\left[{\left(\frac{x}{2}\right)}^2-\frac{x}{2}.2y+{\left(2y\right)}^2\right]=\left(\frac{x}{2}+2y\right)\left(\frac{x^2}{4}-xy+4y^2\right)$

Đáp án cần chọn là: B

$\frac{1}{64}{x}^6+125y^3={\left(\frac{1}{4}{x}^2\right)}^3+{\left(5y\right)}^3=(\frac{x^2}{4}+5y)(\frac{x^4}{16}-\frac{5}{4}{x}^{2}y+{\left(5y\right)}^2)=(\frac{x^2}{4}+5y)(\frac{x^4}{16}-\frac{5}{4}{x}^{2}y+25y^2)$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^3-{\left(x-y\right)}^3 \\ = \left[(x + y) – (x – y)\right]\left[{(x + y)}^2 + (x + y)(x – y) + {(x – y)}^2 \right] \\ = (x + y – x + y)(x^2 + 2xy + y^2 + x^2 – y^2 + x^2 – 2xy + y^2) \\ = 2y(3x^2 + y^2) \end{gathered}$$

=> A = 2; B = 3; C = 1

Suy ra A + B + C = 2+ 3 + 1 = 6

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$$\begin{gathered} x^6-1={\left(x^2\right)}^3-1=\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right) \\ \Rightarrow A=-1;B=C=1 \end{gathered}$$

Suy ra A + B + C = -1 + 1 + 1 = 1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} {\left(4x^2+2x-18\right)}^2-{\left(4x^2+2x\right)}^2 \\ =\left(4x^2+2x-18+4x^2+2x\right)\left(4x^2+2x-18-4x^2-2x\right) \\ =\left(8x^2+4x-18\right)\left(-18\right) \\ =2\left(4x^2+2x-9\right)\left(-18\right) \\ =\left(-36\right)\left(4x^2+2x-9\right) \\ \Rightarrow m=-36 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(x^2+y^2-17\right)}^2-4{\left(xy-4\right)}^2 \\ ={\left(x^2+y^2-17\right)}^2-{\left[2\left(xy-4\right)\right]}^2 \\ =\left(x^2+y^2-17+2xy-8\right)\left(x^2+y^2-17-2xy+8\right) \\ =\left(x^2+y^2+2xy-25\right)\left(x^2+y^2-2xy-9\right) \\ =\left[{\left(x+y\right)}^2-5^2\right]\left[{\left(x-y\right)}^2-3^2\right] \\ =\left(x+y+5\right)\left(x+y-5\right)\left(x-y+3\right)\left(x-y-3\right) \\ \Rightarrow m=-5;n=-3 \Rightarrow m.n=\left(-5\right).\left(-3\right)=15 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

$$\begin{gathered} 5x^2-10x+5=0 \\ 5\left(x^2-2x+1\right)=0 \\ 5{\left(x-1\right)}^2=0 \\ x-1=0 \\ x=1 \end{gathered}$$

Vậy x = 1.

Đáp án cần chọn là : A

Ta có:

$$\begin{gathered} x^2+\frac{1}{4}=x \\ {x}^2-x+\frac{1}{4}=0 \\ {x}^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=0 \\ {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0 \\ x-\frac{1}{2}=0 \\ x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$ Vậy x = $\frac{1}{2}$.

Đáp án cần chọn là: C

 $$\begin{gathered} Ta có {\left(2x-5\right)}^2-4{\left(x-2\right)}^2=0 \\ {\left(2x-5\right)}^2-{\left[2\left(x-2\right)\right]}^2=0 \\ {\left(2x-5\right)}^2-\left(2x-4\right)=0 \\ \left(2x-5+2x-4\right)\left(2x-5-2x+4\right)=0 \\ \left(4x-9\right).\left(-1\right)=0 \\ -4x+9=0 \\ 4x=9 \\ x=\frac{9}{4} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

$\begin{array}{l}{\left(x-3\right)}^2-9{\left(x+1\right)}^2=0\\ {\left(x-3\right)}^2-{\left[3\left(x+1\right)\right]}^2=0\\ {\left(x-3\right)}^2-{\left(3x+3\right)}^2=0\\ \left(x-3+3x+3\right)\left(x-3-3x-3\right)=0\\ 4x\left(-2x-6\right)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}4x=0\\ -2x-6=0\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-3\end{array}\right.\end{array}$

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là x = 0; x = -3

Đáp án cần chọn là: A

$$\begin{gathered} Ta có \\ 4{\left(3x-5\right)}^2-9{\left(9x^2-25\right)}^2=0 \\ 4{\left(3x-5\right)}^2-9{\left[{\left(3x\right)}^2-5^2\right]}^2=0 \\ 4{\left(3x-5\right)}^2-9{\left[\left(3x-5\right)\left(3x + 5\right)\right]}^2=0 \\ 4{\left(3x-5\right)}^2-9{\left(3x-5\right)}^2{\left(3x+5\right)}^2=0 \\ {\left(3x-5\right)}^2\left[4-{\left(3\left(3x+5\right)\right)}^2\right]=0 \\ {\left(3x-5\right)}^2\left[4-{\left(3\left(3x+5\right)\right)}^2\right]=0 \\ {\left(3x-5\right)}^2\left(2^2-{\left(9x+15\right)}^2\right)=0 \\ {\left(3x-5\right)}^2\left(2 + 9x + 15\right)\left(2 – 9x – 15\right)=0 \\ {\left(3x-5\right)}^2\left(9x + 17\right)\left(-9x – 13\right)=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}3x-5=0\\ 9x+17=0\\ -9x-13=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\ x=-\frac{17}{9}\\ x=-\frac{13}{9}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\Rightarrow x_1+x_2+x_3=\frac{5}{3}+\left(-\frac{17}{9}\right)+\left(-\frac{13}{9}\right)=-\frac{5}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

$$\begin{gathered} Xét phương trình \left(1\right) ta có \\ {\left(x+2\right)}^3+{\left(x-3\right)}^3=0 \left(1\right) \\ {\left(x+2\right)}^3- {\left(3-x\right)}^3=0 \\ {\left(x+2\right)}^3={\left(3-x\right)}^3 \\ x+2 =3-x \\ 2x=1 \\ x=\frac{1}{2} \\ Xét phương trình \left(2\right) ta có \\ {\left(x^2+x-1\right)}^2+4x^2+4x=0 \left(2\right) \\ {\left(x^2+x-1\right)}^2+ 4x^2+4x-4+4=0 \\ {\left(x^2+x-1\right)}^2+4\left(x^2+x-1\right)+4=0 \\ {\left(x^2+x-1+2\right)}^2=0 \\ {\left(x^2+x+1\right)}^2 = 0 \\ {x}^2+x+1=0 \\ x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=0 \\ {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}=0 \\ Vì {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+ \frac{3}{4}>0, \\ \forall x nên phương trình \left(2\right) vô nghiệm \end{gathered}$$

Vậy Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: x + n = 2(y - m)

Ta có: x - 4 = -2y hay x + 2y = 4 

Thay x + 2y = 4 vào M ta được 

$M = {\left(4 - 5\right)}^2 = {\left(-1\right)}^2 = 1$

Vậy M = 1

Đáp án cần chọn là C

Ta có:

$$\begin{gathered} 9a^{2 }-{\left(a-3b\right)}^2={\left(3a\right)}^2 -{\left(a-3b\right)}^2=\left(3a+a-3b\right) \left(3a-a+3b\right) \\ =\left(4a-3b\right) \left(2a+3b\right) \\ Suy ra m=2 ; n=3 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

 $$\begin{gathered} 4b^2{c}^2 - {\left(c^2+b^2-a^2\right)}^2 \\ ={\left(2bc\right)}^2-{\left(c^2+b^2-a^2\right)}^2 \\ =\left(2bc+ c^2+b^2-a^2\right)\left(2bc-c^2-b^2+a^2\right) \\ =\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-\left(b^{2 }- 2bc +c^2\right)\right] \\ =\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right] \\ =\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right) \end{gathered}$$  

Đáp án cần chọn là : A

Ta có:

$$\begin{gathered} x^6-y^6={\left(x^3\right)}^2-{\left(y^3\right)}^2=\left(x^3+y^3\right)\left(x^3-y^3\right) \\ =\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là : C

Ta có:

$$\begin{gathered} P=x^3-3x^2+3x-1+1 \\ ={\left(x-1\right)}^3+1 \\ Thay x=101 vào P ta được \\ P={\left(101-1\right)}^3+1 \\ = {100}^3+1 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là :A

$$\begin{gathered} Gọi hai số lẻ liên tiếp là : \\ 2k-1 ; 2k+1\left(k\in N^{*}\right) \\ Theo bài ra ta có \\ {\left(2k+1\right)}^2-{\left(2k-1\right)}^2= 4k^2+4k+1-4k^2 +4k - 1=4k + 4k= 8k ⋮ 8 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là :A

Ta có:

$$\begin{gathered} x^2+ 102= y^2\iff y^2-x^2=102 \\ Nhận thấy hiệu hai bình phương là một số chẵn \\ Nên x,y cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ \\ Suy ra y-x; y+x luôn là số chẵn \\ Lại có y^2-x^2 = 102 \iff \left(y-x\right)\left(y+x\right)=102 \\ Mà \left(y-x\right) và \left(y+x\right) cùng là số chẵn \\ Suy ra \left(y-x\right)\left(y+x\right) chiết cho 4 mà 102 không chia hết cho 4 \\ Nên không tồn tại cặp x;y thỏa mãn đề bài. \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là :A

$$\begin{gathered} Ta có: \\ {x}^2+y^2=a^2+b^2\iff x^2-a^2=b^2-y^2 \\ \iff \left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right) \\ Mà x+y =a+b\iff x-a=b-y nên ta có \\ \left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(x-a\right)\left(b+y\right) \\ \iff \left(x-a\right)\left(x+a\right)-\left(x-a\right)\left(b+y\right)=0 \\ \iff \left(x-a\right)\left(x+a-b-y\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x-a=0\\ x+a-b-y=0\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=a\\ x-y=b-a\end{array}\right] \end{gathered}$$

+) Với x = a thay vào x + y = a + b ta có: a + y = a + b

Suy ra y = b

Do đó:  $x^n+y^n=a^n+b^n$

+) Với x - y = b - a suy ra x = b - a + y thay vào x + y = a + b ta có:

 b - a + y  + y = a + b

2y = 2a

y = a

Suy ra x - a = b - a hay x = b

Do đó: $x^n+y^n=b^n+a^n=a^n+b^n$

Vậy $x^n+y^n=a^n+b^n$

Đáp án cần chọn là C