9 bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có lời giải)
8 câu hỏi
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình vẽ).
a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \].
b) So sánh hai vectơ \[\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {B'D'} \].
c) Giải thích tại sao \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {AD} \].
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} + \overline {{B^\prime }{C^\prime }} = \overline {{A^\prime }{C^\prime }} {\rm{. }}\)
b) Vî AA'B'B là hình bình hành, suy ra \(AB//{A^\prime }{B^\prime }\) và \(AB = {A^\prime }{B^\prime }\).
Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \) cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \). Tương tự: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} ;\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \).
c) Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) mà \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} + \overrightarrow {{B^\prime }{C^\prime }} \).
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Tìm các vectơ tổng \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'C'} ;\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} \].
Ta có \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình lăng trụ nên \(A{A^\prime }{C^\prime }C\) là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
Tương tự, ta cūng có \(A{A^\prime }{B^\prime }B\) là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {B{B^\prime }} \).
Do đó \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {B{C^\prime }} \)
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
a) Tìm các vectơ tổng\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \].
b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \].
a) Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Do đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
Tương tự. AA' \({C^\prime }{\rm{C}}\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {C{C^\prime }} \).
Do đó \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{C^\prime }} \).
b) Có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {A{C^\prime }} \)
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Thực hiện các phép toán sau đây:
a) \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CG} \]
b) \[\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DH} \]
c) \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {EH} \]
d) \[\overrightarrow {HE} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} \]
a) Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CE} \).
b) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DH} = \overrightarrow {DF} \)
c) Ta có \(\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AD} \).
Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} \).
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AG} \).
d) Vì DCGH là hình bình hành nên \(\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {HD} \).
Tương tự \({\rm{ABGH}}\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {HG} \).
Do đó \(\overrightarrow {HE} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {HE} + \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HG} = \overrightarrow {HB} \) (theo quy tắc hình hộp).
Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy thực hiện các phép toán sau đây:
a) \[\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} \]
b) \[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {NC} \]
a) \(\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {MN} \)
(Do \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điếm của AB và CD nên \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \vec 0;\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} = \vec 0\) ).
b) \(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MN} (\) vì \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NC} = \vec 0)\).
Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:
a) \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} \]
b) \[\overrightarrow b = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} \]
a) Theo quy tắc hình hộp, ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {B{D^\prime }} \).
Mà \(\left| {\overrightarrow {B{D^\prime }} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \). Do đó \(|\vec a| = \sqrt 3 \).
b) \(\vec b = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {{C^\prime }A} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {A{C^\prime }} = \overrightarrow {{C^\prime }C} \)
Mà \(\left| {\overrightarrow {{C^\prime }C} } \right| = 1\). Do đó \(|\vec b| = 1\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \[SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB.\] Chứng minh rằng \[\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \].
vì \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Tam giác SAB có: \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) nên \({\rm{FE}}//{\rm{AB}}\) và \(EF = \frac{1}{3}AB\).
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Vî \({\rm{ABCD}}\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \({\rm{AB}}//{\rm{CD}}\). Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (2) Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có \[\overrightarrow {AA'} = \;\overrightarrow {a,} {\rm{ }}\overrightarrow {AB} = \;\overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \]. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {B'C} = \;\overrightarrow c - \overrightarrow a - \;\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow {BC'} = \;\overrightarrow a - \;\overrightarrow b + \overrightarrow c \].
Do \({\rm{AB}}{{\rm{B}}^\prime }{{\rm{A}}^\prime }\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {{B^\prime }B} = - \overrightarrow {A{A^\prime }} \).
Có \(\overrightarrow {{B^\prime }C} = \overrightarrow {{B^\prime }B} + \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {A{A^\prime }} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \vec c - \vec a - \vec b\).
Do \({\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{{\rm{A}}^\prime }\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {A{A^\prime }} \).
\(\overrightarrow {B{C^\prime }} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = \vec a - \vec b + \vec c\)
