57 câu Trắc nghiệm: Phương trình đường thẳng có đáp án

ĐÁP ÁN C

Gọi $\overrightarrow{u};\overrightarrow{n}$ lần lượt là vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$

Ta có:  2. 3 + (-3).2 =0

Do đó,  vecto $\overrightarrow{n_3}(3;2)$là vecto  pháp tuyến của đường thẳng.

ĐÁP ÁN D

Đường thẳng ∆ có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=-2+5t\\ y=3-2t\end{array}\right.$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(5;-2\right)$.

Các vectơ có tọa độ tỉ lệ với $\overrightarrow{u}=\left(5;-2\right)$ đều là vectơ chỉ phương.

Ta thấy:  $\overrightarrow{u_4}=-2\overrightarrow{u}$nên $\overrightarrow{u_4}$là 1 vecto chỉ phương của đường thẳng $∆$.

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng ∆ có phương trình y = 4x – 2 ⟺ 4x – y – 2 = 0 nên có một vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow{n}=\left(4;-1\right)$ 

ĐÁP ÁN B

Điểm nằm trên đường thẳng ∆ nếu tọa độ điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng ứng với một giá trị t nào đó.

Ví dụ với điểm $M_1\left(-2;5\right)$ ta xét $\left\{\begin{array}{c}-2=-2+5t\\ 5=3-2t\end{array}\right.$ vô nghiệm nên $M_1\notin ∆$

* Xét điểm M2(3; 1) ta xét  hệ: $\left\{\begin{array}{c}3=-2+5t\\ 1=3-2t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}t=1\\ t=1\end{array}\right.\iff t=1$

 

Do đó điểm M2( 3, 1)  có thuộc đường thẳng ∆.

Đường thẳng ∆ có phương trình 3x – 4y + 2 = 0.

Ta thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta được:

 * 3.2 - 4. 2 + 2  = 0 nên điểm M1 thuộc đường  thẳng

* 3. 3 – 4.(-4) + 2 = 27 nên điểm M2 không thuộc đường thẳng.

* 3.(-2) – 4. (-1) + 2= 0 nên điểm M3 thuộc đường thẳng.

* $3.0-4.\frac{1}{2}+\text{}2=0$ nên điểm M3 thuộc đường thẳng.

Chọn B.

Phương trình tham số tùy thuộc vào điểm được chọn trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Mà 1 đường  thẳng có vô số điểm  và có vô số vecto chỉ  phương nên có vô số phương trình tham số của đường thẳng.

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến$\overrightarrow{n}=\left(b;-a\right)$ nên phương trình của đường thẳng là:

 

$b\left(x-x_0\right)-a\left(y-y_0\right)=0$

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN D

Phương trình đường thẳng đi qua $M (x0; y0)$, có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$là:

$a. (x- x0) + b ( y – y0 )= 0$

ĐÁP ÁN B

Phương trình tham số của  đường thẳng đi qua M (3; 4) và vecto chỉ phương  $\overrightarrow{u}(3;\text{\hspace{0.33em}}4)$  là:

$\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}3t\\ y=4+4t\end{array}\right.(t\in R)$

ĐÁP ÁN C

Phương trình tổng quát của ∆ đi qua điểm M(3;4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1;-2)$là:

1( x-  3) – 2 ( y - 4 ) = 0

ĐÁP ÁN C

Do đường thẳng ∆ song song với đường thẳng 2x – y + 3= 0 nên đường thẳng ∆ có dạng:

2x  - y +  c= 0 $(c\ne 3)\text{}$

Do đường thẳng ∆ đi qua  M( 3; 4) nên ta có:

 2. 3 -  4 + c =0 $\iff c=-2$

Vậy phương trình của ∆ là  2x – y – 2 = 0

 

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng 2x – y + 3 = 0 có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}\text{\hspace{0.33em}}(2;-1)$

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3=0 nên đường  thẳng ∆ nhận vecto  $\overrightarrow{n}\text{\hspace{0.33em}}(2;-1)$ làm vecto chỉ phương, nên 1 vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ là :  $\overrightarrow{n_{\Delta }}\text{\hspace{0.33em}}(1;2)$

Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua $M_1\left(3;4\right)$ và vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3 = 0 là

(x – 3) + 2(y – 4) = 0 ⟺ x + 2y – 11 = 0 

ĐÁP ÁN C

Đường thẳng ∆ đi qua M(-1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(4;-2\right)$ ⇒ vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)$ nên phương trình tổng quát của ∆ là :

(x + 1) + 2(y – 3) = 0 ⟺ x + 2y – 5 = 0.

ĐÁP ÁN D

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$ ⇒ ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)$ hoặc các vectơ khác vectơ – không mà cùng phương với nó.

 Ta chỉ quan tâm đến phương án B và D. Kiểm tra tiếp hai điểm $M_1\left(3;4\right), M_2\left(1;-1\right)$ xem điểm nào nằm trên ∆. Ta có $M_1\in ∆, M_2\notin ∆$

Vậy phương trình  tham số  của đường thẳng ∆:$\left\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=4+\text{}2t\end{array}\right.$

Chú ý. Do phương trình tham số của đường thẳng là không duy nhất nên ta sẽ đi kiểm tra các phương án trả lời được đưa ra thay cho việc tiến hành viết phương trình tham số của đường thẳng.

ĐÁP ÁN A

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right)= -2 \left(2;1\right)$

 ⇒ ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$ nên phương trình tổng quát của ∆ là:

  (x – 3) – 2(y – 4) = 0 ⟺ x – 2y + 5 = 0.

ĐÁP ÁN B

Gọi M là trung điểm của AB. Tọa độ M là:$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{3+(-1)}{2}=1\\ y=\frac{4+2}{2}=3\end{array}\Rightarrow M(1;3)\right.$

Đường thẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm M(1;3) của đoạn AB và có vectơ pháp truyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right)= -2\left(2;1\right)$ nên phương trình trung trực là:

 2(x – 1) + (y – 3) = 0 ⟺ 2x + y – 5 = 0

ĐÁP ÁN C

Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BC}=\left(3;3\right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-1\right)$.

 Phương trình đường thẳng là (x – 3) – (y – 2) = 0 ⟺ x – y – 1 = 0.

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng đã cho có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}=\left(3;3\right)$= 3(1; 1) nên phương trình đường thẳng là:

(x – 3) + (y – 2) = 0 ⟺ x + y – 5 = 0

Đường thẳng d có VTPT $\overrightarrow{n_d}(2;-3)$

Gọi đường thẳng ∆ thỏa mãn có VTPT  $\overrightarrow{n_{\Delta }}(a;b)$

 Vì góc giữa hai đường thẳng bằng 60⁰ nên:

$\begin{array}{l}{\text{cos 60}}^0=\left|c\text{os ( }\overrightarrow{n_d};\overrightarrow{n_{\Delta }})\right|=\frac{\left|2a-3b\right|}{\sqrt{2^2+{(-3)}^2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\\ \iff \frac{1}{2}=\frac{\left|2a-3b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\iff \sqrt{13}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}=2.\left|2a-3b\right|\\ \iff 13(a^2+\text{}{b}^2)=4(4a^2-12ab+\text{}9b^2)\\ \iff -3a^2+\text{}48ab-23b^2=0\iff -3{\left(\frac{a}{b}\right)}^2+\text{}48.\frac{a}{b}-23=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(*)\end{array}$

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi nghiệm ta tìm được 1 cặp số (a, b) là VTPT của đường thẳng ∆. Từ đó, ta viết được 2 phương trình đường thẳng ∆ thỏa mãn. 

ĐÁP ÁN C

ĐÁP ÁN C

Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{n_{\Delta }}(a;b)(a^2+\text{}{b}^2>0)$

Đường thẳng d có VTPT là $\overrightarrow{n_d}(1;-1)$

Để đường thẳng d tạo với đường thẳng ∆ góc 45⁰ nên ta có:

$\begin{array}{l}{\text{cos 45}}^0=\left|c\text{os ( }\overrightarrow{n_d};\overrightarrow{n_{\Delta }})\right|=\frac{\left|1.a-1.b\right|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\\ \iff \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\iff \sqrt{a^2+\text{}{b}^2}=\left|a-b\right|\\ \iff a^2+\text{}{b}^2=a^2-2ab+\text{}{b}^2\iff 2ab=0\iff \left[\begin{array}{c}a=0\\ b=0\end{array}\right.\end{array}$

 * Nếu a = 0 thì chọn b = 1 .  Đường thẳng ∆ nhận vecto (0; 1) làm  VTPT và qua A( 1;3) nên có

 phương trình là 0 (x- 1) + 1( y – 3) = 0 hay y – 3 = 0.

 * Nếu b = 0 thì chọn a =1. Đường thẳng ∆ nhận vecto (1; 0) làm  VTPT và qua A(1;3) nên có

 phương trình là 1 (x- 1) + 0( y – 3) = 0 hay x= 1

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn là:  y – 3 =0 và x = 1

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng qua A và tạo với d1d2 các góc bằng nhau khi vuông góc với phân giác của góc tạo bởi d1d2.

Do vậy số lượng đường thẳng cần tìm là 2.

ĐÁP ÁN D

Đường thẳng d₁ có VTPT $\overrightarrow{n_1}(a_1;b_1)$

Đường thẳng d₂ có VTPT là $\overrightarrow{n_2}(a_2;b_2)$

Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ được xác định bởi:

 

${\text{cos (d}}_1;d_2)=\left|\cos (\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2})\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a_1{a}_2+\text{}{b}_1{b}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}.\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}$

ĐÁP ÁN B

Xét hai đường thẳng d1 :  $y = k_{1}x + m_1$   và d2: $y = k_2 x + m_2$.

Gọi $\beta$ là góc giữa d1 và trục Ox, khi đó: $\tan \beta =k_1$

Gọi $\phi$ là góc giữa d1 và trục Ox, khi đó: tan$\phi$=$k_2$

Ta có: $\alpha =\left|\beta -\phi \right|$. do đó 

 Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi: $\tan \alpha =\left|\tan \left(\beta -\phi \right)\right|=\left|\frac{\tan \beta -\tan \phi }{1+\tan \beta \tan \phi }\right|=\left|\frac{k_1-\text{}{k}_2}{1+\text{}{k}_1.k_2}\right|$

ĐÁP ÁN A

Đường thẳng d1 có VTPT  $\overrightarrow{n_1}(\text{}2;-3)$

Đường thẳng d2 có VTPT $\overrightarrow{n_2}(\text{}3;1)$

Cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

$\text{cos }\alpha =\frac{\left|2.3+\text{}(-3).1\right|}{\sqrt{2^2+\text{}{(-3)}^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{130}}$

ĐÁP ÁN B

Đường thẳng d₁ có VTPT  $\overrightarrow{n_1}(\text{}1;3)$

Đường thẳng d₂ có VTPT $\overrightarrow{n_2}(\text{}2;-1)$

Cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

$\text{cos }\alpha =\frac{\left|1.2+\text{}3.(-1)\right|}{\sqrt{1^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{3}^2}.\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

Lại có;${\sin }^2\alpha +\text{}c{\text{os}}^2\alpha =1\iff {\sin }^2\alpha =1-c{\text{os}}^2\alpha =1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}$

Do  $0^0<\text{}\alpha <\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{90}^0\text{}\Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\text{\hspace{0.33em}}\frac{7}{5\sqrt{2}}$

Đường thẳng d1 có hệ số góc k1 = 3

Đường thẳng d2 có hệ số góc k2 = -4

Khi đó, góc giữa 2 đường thẳng đã cho được xác định bởi:

$\tan \alpha =\left|\frac{k{}_1-k_2}{1+\text{}{k}_1.k_2}\right|=\left|\frac{3-(-4)}{1+\text{}3.(-4)}\right|=\frac{7}{11}$

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN D

Khoảng cách từ A đến ∆ là : $d(A;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta )=\frac{\left|a.x_0+\text{}b{y}_0+\text{}c\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}$

ĐÁP ÁN C

$d(A;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Delta )=\frac{\left|a.x_0+\text{}b{y}_0+\text{}c\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=\frac{\left|3.7-4.4+8\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=\frac{13}{5}$

Khi 2 đường thẳng song song với nhau thì khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ 1điểm bất kì nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Ta có: điểm $A\left(0;\frac{-c}{b}\right)\in d_1$

Vì d1 song song d2  nên:

 $d(d_1;d_2)=d(A;d_2)=\frac{\left|a.0+b.\frac{-c}{b}+\text{}d\right|}{\sqrt{a^2+\text{}b{}^2}}=\frac{\left|-c+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}d\right|}{\sqrt{a^2+\text{}b{}^2}}=\frac{\left|c-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}d\right|}{\sqrt{a^2+\text{}b{}^2}}$

ĐÁP ÁN A

Ta có $d_2:3x-2y+1=0 \iff 6x-4y+2=0$ 

Ta có điểm A(-1; -1) thuộc đường thẳng d2,.

Vì hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên ta có:

$d(d_1;d_2)=d(A;d_1)=\frac{\left|6.(-1)-4.(-1)+5\right|}{\sqrt{6^2+{(-4)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{52}}$

ĐÁP ÁN D

Cho 2 đường thẳng cắt nhau $d1: a_1 x + b_{1}y + c_1 =0 và d2 : a_{2}x + b_{2}y + c_2= 0.$

Lấy điểm  M(x, y) bất kì trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng d1; d2_.

Theo tính  chất  đường  phân giác của góc ta có:

$\begin{array}{l}d(M;d_1)=d(M;d_2)\iff \frac{\left|a_{1}x+\text{}{b}_{1}y+c_1\right|}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}}=\frac{\left|a_{2}x+\text{}{b}_{2}y+c_2\right|}{\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}\\ \iff \frac{a_{1}x+\text{}{b}_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}}=\pm \frac{a_{2}x+\text{}{b}_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}\end{array}$

ĐÁP ÁN B

Cho 2 đường thẳng cắt nhau $d1: a_1 x + b_{1}y + c_1 =0 và d2 : a_{2}x + b_{2}y + c_2= 0.$

Khi đó, phương trình đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng là:

$\frac{a_{1}x+\text{}{b}_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+\text{}{b}_1^2}}=\pm \frac{a_{2}x+\text{}{b}_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+\text{}{b}_2^2}}$

Áp dụng công thức ta có phương trình hai phân giác là:

$\begin{array}{l}\frac{3x-4y+\text{}1}{\sqrt{3^2+\text{}{(-4)}^2}}=\pm \frac{x+3}{\sqrt{1^2+0^2}}\iff \frac{3x-4y+\text{}1}{5}=\pm (x+\text{}3)\\ \iff 3x-4y+1=\pm 5\left(x\text{}+\text{}3\right)\iff \left[\begin{array}{c}2x+\text{}4y+\text{}14=0\\ 8x-4y+\text{}16=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{c}x+2y+\text{}7=0\\ 2x-y+\text{}4=0\end{array}\right.\end{array}$

ĐÁP ÁN C

Do các đường thẳng đôi một cắt nhau tại các điểm A, B, C nên các điểm cách đều các cạnh gồm tâm đường tròn nội tiếp và ba tâm đường tròn bàng tiếp.

Vậy có tất cả 4 điểm  M cách đều ba đường thẳng đã cho.

đáp án D