57 câu Trắc nghiệm: Phương trình đường thẳng có đáp án
57 câu hỏi
Cho đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u→-3;5. Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của ∆?
A,u1→3;−5
u2→−6;10
u3→−1;53
u4→5;3
Các vectơ khác vectơ – không, cùng phương (tọa độ tỉ lệ) với u→ thì đều là VTCP của đường thẳng ∆.
Ta có: −33=5−5; −3−6= 510; −3−1= 553; −35 ≠53
Do đó vectơ ở phương án D không phải là VTCP của ∆.
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:
y = 4(x – 2) + 3
4x – y – 5 = 0
x=2+ty=3+4t,t∈R
x=2+2ty=3+t,t∈R
Hướng dẫn:
Đường thẳng ∆ có hệ số góc k = 4 nên có vectơ chỉ phương u→=1;4. Do đó C là phương án đúng.
Chú ý. Học sinh có thể nhầm sang các loại phương trình khác của đường thẳng như các phương án ở A và B. Đây đều là phương trình của đường thẳng nhưng không là phương trình tham số.
Cho hai đường thẳng d1: 3x – 4y +2 = 0 và d2: mx +2y – 3 = 0. Hai đường thẳng song song với nhau khi:
m = 3
m = 3/2
m = -3/2
m = -3
Hai đường thẳng song song khi m3=2−4≠−32 nên m= −32
Chọn đáp án C.
Cho hai đường thẳng d1: y = 3x – 1 và d2:x=2−ty=5+2t Góc giữa hai đường thẳng là:
α=30°
α=45°
α=60°
α=90°
Hai đường thẳng lần lượt có các vectơ chỉ phương là u1=1;3 và u2=−1;2 nên ta có cosd1 , d2= cosu1→,u2→=1.−1+3.212+32.−12+22=12.
Do đó góc giữa hai đường thẳng là α=45°. Đáp án là phương án B.
Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d1: 3x – 4y + 2 = 0 và d2: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:
m=±1
m = 1 và m = 4
m=±4
m =- 1 và m = 4
Sử dụng công thức khoảng cách ta có
3.−2−4.1+232+−42=m−2+3.1−3m2+32
⇔85= −2mm2+9⇔8m2+9=10m⇔64(m2+9)=100m2⇔ 64m2+ 576 =100m2⇔36m2= 576⇔m2=16⇔m=±4
Đáp án là phương án C.
Chú ý. Học sinh có thể thử lại các phương án được đưa ra để chọn đáp án đúng, tuy nhiên sẽ tốn nhiều thời gian hơn là làm bài toán trực tiếp.
Cho tam giác ABC với A(-2; 3), B(1; 4), C(5; -2). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là:
x – 2y + 8 = 0
2x + 5y – 11 = 0
3x – y + 9 = 0
x + y – 1 = 0
Tọa độ M là trung điểm của BC là: xM=1+52=3yM=4+(−2)2=1⇒M(3;1)
Trung tuyến AM qua điểm A(-2; 3) và có vectơ chỉ phương là u→=AM→=5;−2 ⇒ vectơ pháp tuyến là n→2;5⇒ phương trình của AM là 2(x + 2) + 5(y – 3) = 0
Hay 2x + 5y -11= 0
Đáp án là phương án B.
Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 3x – y + 4 = 0, AC: x + 2y – 4 = 0, BC: 2x + 3y – 2 = 0. Khi đó diện tích của tam giác ABC là:
1/77
38/77
338/77
380/77
Bằng việc lần lượt giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có tọa độ các đỉnh của tam giác là A−47;167, B−1011;1411, C−8;6 .
Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là:S=12.dA, BC. BC=122.−47+3.167−213.−8+10112+6−14112=33877
Đáp án là phương án C.
Có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?
0
1
2
Vô số
Nếu n→n→≠0 là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng thì kn→ (với k ≠ 0) đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Vì thế có vô số vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.
ĐÁP ÁN D
Cho đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là u→=2;−3 . Vectơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của ∆?
u1→=3;2
u2→=−2;3
u3→=6;−9
u4→=−4;6
ĐÁP ÁN A
Nếu u→ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì ku→ (với k ≠ 0) đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Vì vậy các vectơ có tọa độ tỉ lệ với u→2;-3 đều là vectơ chỉ phương.
Ta có: 23≠−32; 2−2=−33; 26= −3−9; 2−4= −36
Do đó, trong các vecto đã cho có u1→không phải là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cho đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là u→=2;−3 . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của ∆?
n1→=−3;2
n2→=2;3
n3→=3;2
n4→=−2;−2
ĐÁP ÁN C
Gọi u→; n→ lần lượt là vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì: u→. n→=0
Ta có: 2. 3 + (-3).2 =0
Do đó, vecto n3→(3;2)là vecto pháp tuyến của đường thẳng.
Cho đường thẳng ∆ có phương trình x= −2+5ty=3−2tVectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆?
u1→=−2;3
u2→=2;3
u3→=5;2
u4→=−10;4
ĐÁP ÁN D
Đường thẳng ∆ có phương trình x=−2+5ty=3−2t nên có một vectơ chỉ phương là u→=5;−2.
Các vectơ có tọa độ tỉ lệ với u→=5;-2 đều là vectơ chỉ phương.
Ta thấy: u4→= −2u→nên u4→là 1 vecto chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cho đường thẳng ∆ có phương trình y = 4x – 2. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của ∆?
n1→=1;4
n2→=4;−1
n3→=4;−2
n4→=−1;4
ĐÁP ÁN B
Đường thẳng ∆ có phương trình y = 4x – 2 ⟺ 4x – y – 2 = 0 nên có một vectơ pháp tuyến là n→=4;−1
Cho đường thẳng ∆ có phương trình x=−2+5ty=3−2t . Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng ∆?
M1 ( - 2; 5)
M2 ( 3; 1)
M3 ( 2; - 3)
M4 ( 5; -2)
ĐÁP ÁN B
Điểm nằm trên đường thẳng ∆ nếu tọa độ điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng ứng với một giá trị t nào đó.
Ví dụ với điểm M1−2;5 ta xét −2=−2+5t5=3−2t vô nghiệm nên M1∉∆
* Xét điểm M2(3; 1) ta xét hệ: 3=−2+5t1=3−2t⇔t=1t=1⇔t=1
Do đó điểm M2( 3, 1) có thuộc đường thẳng ∆.
Cho đường thẳng ∆ có phương trình 3x – 4y + 2 = 0. Điểm nào sau đây không nằm trên đường thẳng ∆?
M1 (2; 2)
M2 (3; -4)
M3 ( -2; -1)
M4 0; 12
Đường thẳng ∆ có phương trình 3x – 4y + 2 = 0.
Ta thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta được:
* 3.2 - 4. 2 + 2 = 0 nên điểm M1 thuộc đường thẳng
* 3. 3 – 4.(-4) + 2 = 27 nên điểm M2 không thuộc đường thẳng.
* 3.(-2) – 4. (-1) + 2= 0 nên điểm M3 thuộc đường thẳng.
* 3.0−4.12+2=0 nên điểm M3 thuộc đường thẳng.
Chọn B.
Một đường thẳng có bao nhiêu phương trình tham số?
0
1
2
Vô số
Phương trình tham số tùy thuộc vào điểm được chọn trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Mà 1 đường thẳng có vô số điểm và có vô số vecto chỉ phương nên có vô số phương trình tham số của đường thẳng.
ĐÁP ÁN D
Phương trình của đường thẳng qua điểm Mx0;y0có vectơ chỉ phương u→=a;blà:
A,x−x0a+y−y0b=0
bx−x0−ay−y0=0
ax+x0+by+y0=0
ax−x0+by−y0=0
ĐÁP ÁN B
Đường thẳng có vectơ pháp tuyếnn→=b;−a nên phương trình của đường thẳng là:
bx−x0−ay−y0=0
ĐÁP ÁN B
Phương trình của đường thẳng qua điểm M(x0;y0 ) có vectơ pháp tuyến n→=a;b là:
x−x0a=y−y0b
bx−x0−ay−y0=0
ax+x0+by+y0=0
ax-x0+by-y0=0
ĐÁP ÁN D
Phương trình đường thẳng đi qua M (x0; y0), có vecto pháp tuyến n→=a;blà:
a. (x- x0) + b ( y – y0 )= 0
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3; 4) và có vectơ chỉ phương là u→=3;4 là:
x=1+3ty=−2+4t
x=3+3ty=4+4t
x=3+4ty=1−2t
x=−3+ty=−4−2t
ĐÁP ÁN B
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M (3; 4) và vecto chỉ phương u→ (3; 4) là:
x=3+3ty=4+4t (t∈ R)
Phương trình tổng quát của ∆ đi qua điểm M(3;4) và có vectơ pháp tuyến n→=1;−2 là:
3(x + 1) + 4(y – 2) = 0
3(x – 1) + 4(y + 2) = 0
(x – 3) – 2(y – 4) = 0
(x + 3) – 2(y + 4) = 0
ĐÁP ÁN C
Phương trình tổng quát của ∆ đi qua điểm M(3;4) và có vectơ pháp tuyến n→ (1; −2)là:
1( x- 3) – 2 ( y - 4 ) = 0
Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3; 4) và song song với đường thẳng 2x – y + 3 = 0 là:
2x – y – 3 = 0
2x – y + 5 = 0
2x – y – 2 = 0
2x – y=0
ĐÁP ÁN C
Do đường thẳng ∆ song song với đường thẳng 2x – y + 3= 0 nên đường thẳng ∆ có dạng:
2x - y + c= 0 (c ≠3)
Do đường thẳng ∆ đi qua M( 3; 4) nên ta có:
2. 3 - 4 + c =0 ⇔c=−2
Vậy phương trình của ∆ là 2x – y – 2 = 0
Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M13;4 và vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3 = 0 là:
x – 2y + 5 = 0
x + 2y – 11 = 0
2x – y – 2 = 0
2x – y = 0
ĐÁP ÁN B
Đường thẳng 2x – y + 3 = 0 có vecto pháp tuyến là: n→ (2;−1)
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3=0 nên đường thẳng ∆ nhận vecto n→ (2;−1) làm vecto chỉ phương, nên 1 vecto pháp tuyến của đường thẳng ∆ là : nΔ→ (1; 2)
Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua M13;4 và vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3 = 0 là
(x – 3) + 2(y – 4) = 0 ⟺ x + 2y – 11 = 0
Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là x= −1+4ty=3−2t . Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của ∆?
x – 2y + 5 = 0
x + 2y – 11 = 0
x + 2y – 5 = 0
x – y = 0
ĐÁP ÁN C
Đường thẳng ∆ đi qua M(-1; 3) và có vectơ chỉ phương u→=4;−2 ⇒ vectơ pháp tuyến n→=1;2 nên phương trình tổng quát của ∆ là :
(x + 1) + 2(y – 3) = 0 ⟺ x + 2y – 5 = 0.
Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 2x – y – 2 = 0. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của ∆?
x=3+2ty=4−t
x=1+2ty=−1+4t
x=3+4ty=1−2t
x=3+ty=4+2t
ĐÁP ÁN D
Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n→=2;−1 ⇒ ∆ có vectơ chỉ phương là u→=1;2 hoặc các vectơ khác vectơ – không mà cùng phương với nó.
Ta chỉ quan tâm đến phương án B và D. Kiểm tra tiếp hai điểm M13;4, M21;−1 xem điểm nào nằm trên ∆. Ta có M1∈∆, M2∉∆
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆:x=3+ty=4+2t
Chú ý. Do phương trình tham số của đường thẳng là không duy nhất nên ta sẽ đi kiểm tra các phương án trả lời được đưa ra thay cho việc tiến hành viết phương trình tham số của đường thẳng.
Cho điểm A(3; 4), B(-1; 2). Phương trình của đường thẳng AB là:
x – 2y + 5 = 0
2x + y – 5 =0
x + 2y – 5 = 0
2x – y =0
ĐÁP ÁN A
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương AB→=−4;−2= −2 2;1
⇒ ∆ có vectơ pháp tuyến n→=1;−2 nên phương trình tổng quát của ∆ là:
(x – 3) – 2(y – 4) = 0 ⟺ x – 2y + 5 = 0.
Cho điểm A(3; 4), B(-1; 2). Phương trình đường thẳng trung trực của đọan thẳng AB là:
x – 2y + 5 = 0
2x + y – 5 =0
C x + 2y – 5 = 0
2x + y – 1 =0
ĐÁP ÁN B
Gọi M là trung điểm của AB. Tọa độ M là:x=3+(−1)2=1y=4+22=3⇒M(1;3)
Đường thẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm M(1;3) của đoạn AB và có vectơ pháp truyến n→=AB→=−4;−2= −22;1 nên phương trình trung trực là:
2(x – 1) + (y – 3) = 0 ⟺ 2x + y – 5 = 0
Cho ba điểm A(3;2), B(1;-2), C(4;1). Đường thẳng qua A và song song với cạnh BC có phương trình là
x – y + 5 = 0
x + y – 5 = 0
x – y – 1 = 0
x + y = 0
ĐÁP ÁN C
Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương u→=BC→=3;3 nên có vectơ pháp tuyến n→=1;−1.
Phương trình đường thẳng là (x – 3) – (y – 2) = 0 ⟺ x – y – 1 = 0.
Cho ba điểm A(3;2), B(1;-2), C(4;1). Đường thẳng qua A và vuông góc với cạnh BC có phương trình là:
x – y + 5 = 0
x + y – 5 = 0
x – y – 1 = 0
x + y = 0
ĐÁP ÁN B
Đường thẳng đã cho có vectơ pháp tuyến n→=BC→=3;3= 3(1; 1) nên phương trình đường thẳng là:
(x – 3) + (y – 2) = 0 ⟺ x + y – 5 = 0
Cho điểm A(1;3) và đường thẳng d: 2x – 3y + 4 = 0. Số đường thẳng qua A và tạo với d một góc 60° là:
0
1
2
Vô số
Đường thẳng d có VTPT nd→(2; −3)
Gọi đường thẳng ∆ thỏa mãn có VTPT nΔ→(a; b)
Vì góc giữa hai đường thẳng bằng 600 nên:
cos 600=cos ( nd→; nΔ→)=2a−3b22+(−3)2. a2+b2⇔12=2a−3b13. a2+b2⇔13. a2+b2= 2. 2a−3b⇔13(a2+b2)=4(4a2−12ab+9b2)⇔−3a2+48ab−23b2=0⇔−3ab2+48.ab−23=0 (*)
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi nghiệm ta tìm được 1 cặp số (a, b) là VTPT của đường thẳng ∆. Từ đó, ta viết được 2 phương trình đường thẳng ∆ thỏa mãn.
ĐÁP ÁN C
Cho điểm A(1;3) và đường thẳng d: x – y + 4 = 0. Số đường thẳng qua A và tạo với d một góc 45° là:
y – 1 = 0 và x – 3 =0
x + 1 = 0 và y + 3= 0
y – 3 = 0 và x – 1 = 0
Không có
ĐÁP ÁN C
Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm là nΔ→(a; b) (a2+b2>0)
Đường thẳng d có VTPT là nd→(1; −1)
Để đường thẳng d tạo với đường thẳng ∆ góc 450 nên ta có:
cos 450=cos ( nd→; nΔ→)=1.a−1.b12+(−1)2. a2+b2⇔12=a−b2. a2+b2⇔ a2+b2= a−b⇔a2+b2=a2−2ab+b2⇔2ab=0⇔a=0b=0
* Nếu a = 0 thì chọn b = 1 . Đường thẳng ∆ nhận vecto (0; 1) làm VTPT và qua A( 1;3) nên có
phương trình là 0 (x- 1) + 1( y – 3) = 0 hay y – 3 = 0.
* Nếu b = 0 thì chọn a =1. Đường thẳng ∆ nhận vecto (1; 0) làm VTPT và qua A(1;3) nên có
phương trình là 1 (x- 1) + 0( y – 3) = 0 hay x= 1
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn là: y – 3 =0 và x = 1
Cho điểm A(1; 3) và hai đường thẳng d1:2x−3y+4=0, d2:3x+y=0. Số đường thẳng qua A và tạo với d1,d2 các góc bằng nhau là
1
2
4
Vô số
ĐÁP ÁN B
Đường thẳng qua A và tạo với d1d2 các góc bằng nhau khi vuông góc với phân giác của góc tạo bởi d1d2.
Do vậy số lượng đường thẳng cần tìm là 2.
Cho α là góc tạo bởi hai đường thẳng d1: a1x+b1y+c1=0 và d2: a2x+b2y+c2=0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
cosα=a1a2+b1b2a12+b12.a22+b22
cosα=a1b1+a2b2a12+b12.a22+b22
cosα=a1b1−a2b2a12+b12.a22+b22
cosα=a1a2+b1b2a12+b12.a22+b22
ĐÁP ÁN D
Đường thẳng d1 có VTPT n1→(a1; b1)
Đường thẳng d2 có VTPT là n2→(a2; b2)
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1, d2 được xác định bởi:
cos (d1; d2)=cos(n1→; n2→)=n1→. n2→n1→. n2→= a1a2+b1b2a12+b12. a22+b22
Cho α là góc tạo bởi hai đường thẳng d1: y=k1x+m1 và d2: y=k2x+m2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
tanα=k1+k21−k1k2
tanα=k1−k21+k1k2
tanα=k1−k21−k1k2
tanα=k1+k21+k1k2
ĐÁP ÁN B
Xét hai đường thẳng d1 : y = k1x + m1 và d2: y = k2 x + m2.
Gọi β là góc giữa d1 và trục Ox, khi đó: tanβ=k1
Gọi φ là góc giữa d1 và trục Ox, khi đó: tanφ=k2
Ta có: α=β-φ. do đó
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi: tanα=tanβ-φ=tanβ-tanφ1+tanβtanφ= k1−k21+k1. k2
Cho α là góc tạo bởi hai đường thẳng d1: 2x−3y+4=0 và d2: 3x+y=0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
cosα=3130
sinα=3130
cosα=−3130
sinα=−3130
ĐÁP ÁN A
Đường thẳng d1 có VTPT n1→ (2; −3)
Đường thẳng d2 có VTPT n2→ (3; 1)
Cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
cos α=2.3+(−3).122+(−3)2. 32+12=3130
Cho α là góc tạo bởi hai đường thẳng d1: x+3y+4=0 và d2: 2x−y=0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
cosα=752
sinα=752
cosα=-752
sinα=-752
ĐÁP ÁN B
Đường thẳng d1 có VTPT n1→ (1; 3)
Đường thẳng d2 có VTPT n2→ (2; −1)
Cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
cos α=1.2+3.(−1)12+ 32. 22+(−1)2=152
Lại có;sin2α+cos2α=1⇔sin2α=1−cos2α=1− 150=4950
Do 00<α< 900⇒sinα>0⇒sinα= 752
Cho α là góc tạo bởi hai đường thẳng d1:y=3x+5vàd2:y=-4x+1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
tanα=−34
tanα=713
tanα=111
tanα=711
Đường thẳng d1 có hệ số góc k1 = 3
Đường thẳng d2 có hệ số góc k2 = -4
Khi đó, góc giữa 2 đường thẳng đã cho được xác định bởi:
tanα=k−1k21+k1.k2= 3−(−4)1+3.(−4)=711
ĐÁP ÁN D
Cho điểm Ax0;y0 và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0. Khoảng các từ A đến đường thẳng ∆ được cho bởi công thức
ax0+by0+ca2+b2
ax0+by0+ca2+b2
ax0+by0+ca2+b2
ax0+by0+ca2+b2
ĐÁP ÁN D
Khoảng cách từ A đến ∆ là : d(A; Δ)= a.x0+by0+ca2+b2
Cho điểm A(7; 4) và đường thẳng ∆: 3x – 4y + 8 = 0. Khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ là
2
3/5
13/5
3/2
ĐÁP ÁN C
d(A; Δ)= a.x0+by0+ca2+b2=3.7−4.4+832+(−4)2=135
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1:ax+by+c=0vàd2:ax+by+d=0 được cho bởi công thức nào sau đây?
c−da2+b2
c+da2+b2
c−da2+b2
c+da2+b2
Khi 2 đường thẳng song song với nhau thì khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ 1điểm bất kì nằm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Ta có: điểm A0; −cb ∈d1
Vì d1 song song d2 nên:
d(d1; d2)=d(A; d2)= a.0+b.−cb+da2+b2=−c+ da2+b2= c− da2+b2
ĐÁP ÁN A
Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1: 6x-4y+5=0 và d2: 3x-2y+1=0 bằng bao nhiêu?
652
552
452
352
Ta có d2:3x−2y+1=0 ⇔6x−4y+2=0
Ta có điểm A(-1; -1) thuộc đường thẳng d2,.
Vì hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên ta có:
d(d1; d2)=d(A; d1)= 6.(−1) −4.(−1)+562+(−4)2= 352
ĐÁP ÁN D
Cho hai đường thẳng cắt nhau d1: a1x+b1y+c1=0 và d2: a2x+b2y+c2=0. Phương trình các phân giác góc tạo bởi d1;d2 là
a1x+b1y+c1a12+b12=±a2x+b2y+c2a22+b22
a1x+b1y+c1a12+b12=±a2x+b2y+c2a22+b22
a1x+b1y+c1=±a2x+b2y+c2
a1x+b1ya12+b12=±a2x+b2ya22+b22
Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1: a1 x + b1y + c1 =0 và d2 : a2x + b2y + c2= 0.
Lấy điểm M(x, y) bất kì trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng d1; d2.
Theo tính chất đường phân giác của góc ta có:
d(M; d1)= d(M;d2)⇔a1x+b1y+c1a12+b12= a2x+b2y+c2a22+b22⇔a1x+b1y+c1a12+b12= ± a2x+b2y+c2a22+b22
ĐÁP ÁN B
Cho hai đường thẳng cắt nhau d1: 3x−4y+1=0 và d2: x+3=0. Phương trình các phân giác góc tạo bởi d1d2 là
x + 2y + 7 = 0 và 2x – y + 7 = 0
x + 2y + 4 = 0 và 2x – y + 4 = 0
x + 2 y + 7 = 0 và 2x – y + 4 = 0
x + 2y – 7 = 0 và 2x – y – 7 = 0
Cho 2 đường thẳng cắt nhau d1: a1 x + b1y + c1 =0 và d2 : a2x + b2y + c2= 0.
Khi đó, phương trình đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng là:
a1x+b1y+c1a12+b12= ± a2x+b2y+c2a22+b22
Áp dụng công thức ta có phương trình hai phân giác là:
3x−4y+132+(−4)2= ± x+312+02⇔3x−4y+15= ±(x+3)⇔3x−4y+1=±5 x+3⇔2x+4y+14=08x−4y+16=0⇔x+2y+7=02x−y+4=0
ĐÁP ÁN C
Cho ba đường thẳngd1:3x−4y+1=0, d2:5x+3y−1=0, d3:x+y+6=0. Số điểm M cách đều ba đường thẳng trên là
1
2
3
4
Do các đường thẳng đôi một cắt nhau tại các điểm A, B, C nên các điểm cách đều các cạnh gồm tâm đường tròn nội tiếp và ba tâm đường tròn bàng tiếp.
Vậy có tất cả 4 điểm M cách đều ba đường thẳng đã cho.
đáp án D
Cho ba đường thẳng d1:3x−4y+1=0, d2:x−5y−3=0, d3:−6x+8y+1=0. Số điểm M cách đều ba đường thẳng trên là
1
2
3
4
ĐÁP ÁN B
Do d1 song song với d3 nên những điểm cách đều chúng nằm trên đường thẳng ∆ song song cách đều d1;d3.
Gọi khoảng cách hai đường thẳng d1, d3 là a > 0.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng ∆ và d1; ∆ và d3 là a/2
Trên đường thẳng ∆ có hai điểm A, B thỏa mãn dA,d2=dB,d2=a2
Khi đó, hai điểm A, B là hai điểm cần tìm
Số điểm M cách đề ba đường thẳng là 2.
Cho điểm A(7; 4) và đường thẳng ∆: 3x – 4y + 8 = 0. Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với ∆ là:
13/5
3/5
7/5
3/2
ĐÁP ÁN A
Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với ∆ là
R=dA, ∆=3.7−4.4+832+−42=135
Cho hai đường thẳng d1:6x−3y+4=0, d2:2x−y+3=0. Bán kính đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1;d2 là
35
35
56
53
ĐÁP ÁN C
Ta có: 62= −3−1≠43 nên d1 // d2.
Ta có: d2: 2x−y+3=0⇔6x−3y+9=0
Do d1 // d2. nên khoảng cách hai đường thẳng d1và d2 chính là đường kính của đường tròn.
Suy ra, bán kính đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1;d2 là
R=12dd1,d2=129−462+−32=56
Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác là AB: x – 3y – 1 = 0, BC: x + 3y + 7 = 0, CA: 5x – 2y + 1 = 0 Phương trình đường cao AH của tam giác là:
13x – 39y + 9 = 0
39x – 13 y + 9 = 0
39x – 13y – 9 = 0
39x + 13y + 9 = 0
Ta có, AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình :
x−3y−1=05x−2y+1=0⇒A−513;−613
Đường thẳng BC có VTPT nBC→ (1;3).
Vì AH⊥BC nên đường thẳng AH nhận vecto nBC→ (1;3)làm VTCP, một VTPT của AH là: nAH→( 3; −1)
Phương trình đường cao AH của tam giác là:
3x+513−y+613=0⇔39x−13y+9=0
ĐÁP ÁN B
Cho ba điểm A(5;2), B(1; - 4), C(3; 6). Phương trình trung tuyến AM của tam giác là:
x – 3y + 1 = 0
3x – y + 1 = 0
x – y + 1 = 0
3x – 3y + 1 = 0
Trung điểm M của BC có tọa độ là:
x=1+32=2y=−4+62=1⇒M(2; 1)
Đường thẳng AM qua A(5;2) có vectơ chỉ phương là MA→=3;1 nên có vectơ pháp tuyến n→=1;−3.
Phương trình AM là (x – 5) – 3(y – 2) = 0 ⟺ x – 3y + 1 = 0.
ĐÁP ÁN A
Nếu m là số đường thẳng ∆ có tính chất đi qua điểm M(8; 5) và cắt Ox, Oy tại A, B mà OA = OB thì
m = 0
m = 1
m = 2
m = 3
* Gọi tọa độ A( a; 0) và B(0; b).
Vì OA = OB nên a=b⇔a=ba=−b
* Trường hợp 1: Nếu a= b.
Phương trình đoạn chắn AB là: xa+ ya=1⇔x+y=a
Mà điểm M (8; 5) thuộc đường thẳng AB nên: 8 + 5 = 13
Vậy phương trình đường thẳng AB là : x + y = 13 hay x + y – 13 = 0
* Trường hợp 2: Nếu a= -b
Phương trình đoạn chắn AB là: xa− ya=1⇔x−y=a
Mà điểm M (8; 5) thuộc đường thẳng AB nên: 8 - 5 = 3
Vậy phương trình đường thẳng AB là : x - y = 3 hay x- y - 3= 0
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn.
ĐÁP ÁN C
Cho hai đường thẳng d1:3+1x+3−2y+1=0, d2:5x+4−2y−6=0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai đường thẳng trùng nhau
Hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng vuông góc với nhau
Ta có: 3+15≠ 3−24−2
Do đó, hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
Chú ý. Ta có thể kiểm tra hai đường thẳng đã cho không vuông góc.
ĐÁP ÁN C
Cho hai đường thẳng d1:2x+3y+1=0, d2:mx+2m−2y−m+6=0. Giá trị của m để hai đường thẳng song song là
m =0
m = - 4
m = 4
không tồn tại m thỏa mãn
Để hai đường thẳng song song thì:
m2=2m−23≠−m+61⇔m2=2m−23m2≠−m+61⇔3m=4m−4m≠−2m+12⇔m=4m≠4
không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
ĐÁP ÁN D
Cho ba đường thẳng d1:2x+3y+1=0, d2:mx+m−1y−2m+1=0,d3:2x+y−5=0. Giá trị của m để hai đường thẳng d1;d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên d3 là
m = 0
m = - 4
m = 4
không tồn tại giá trị m thỏa mãn
ĐÁP ÁN C
Để hai đường thẳng d1; d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên d3 khi và chỉ khi 3 đường thẳng d1; d2; d3 đồng quy.
Giao điểm của d1 và d3 là nghiệm hệ phương trình:
2x+3y+1=02x+y−5=0⇔x=4y=−3⇒A( 4; −3)
Do 3 đường thẳng này đồng quy nên điểm A thuộc d2. Suy ra:
4m + (m- 1).(-3) – 2m + 1 =0
4m – 3m + 3- 2m +1 = 0 ⇔ - m + 4 = 0⇔ m = 4
Với m = 4 thì d3: 4x+3y-7=0 cắt đường thẳng d2.
Cho ba đường thẳng d1:x−2y+1=0, d2:mx−3m−2y+2m−2=0, d3: x+y−5=0. Giá trị m để hai đường thẳng d1;d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên d3 là
m = 0
m = 1
m = 2
không tồn tại m thỏa mãn
Để hai đường thẳng d1; d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên d3 khi và chỉ khi 3 đường thẳng d1; d2; d3 đồng quy.
Giao điểm của d1 và d3 là nghiệm hệ phương trình:
x−2y+1=0x+y−5=0⇔x=3y=2⇒A(3; 2)
Do 3 đường thẳng này đồng quy nên điểm A thuộc d2. Suy ra:
3m - (3m-2).2 + 2m – 2= 0
⇔3m – 6m + 4 + 2m – 2 = 0 ⇔ - m + 2 = 0 ⇔ m= 2
Với m= 2 thì đường thẳng d2 : 2x - 4y + 2= 0 hay x- 2y + 1 =0 . Khi đó, đường thẳng d1 và d2 trùng nhau.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
ĐÁP ÁN D
Cho hai đường thẳng d: (m – 2)x +(m – 6)y + m – 1= 0, ∆: (m – 4)x + (2m – 3)y – m + 5 = 0. Tất cả giá trị của m để hai đường thẳng cắt nhau là
m ≠ 3
m ≠ 6
m ≠ 3 và m ≠ - 6
không có m thỏa mãn
Xét hệ phương trình m−2x+m−6y=−m+1m−4x+2m−3y=m−5 có định thức cấp hai là
D=m−2m−6m−42m−3= m−2.2m−3−m−4. m−6
=m2+3m−18=m−3m+6
Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
⟺ D ≠ 0 ⟺ m≠3m≠−6
ĐÁP ÁN C
Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(7; 4) và phương trình hai cạnh là: 7x – 3y + 5 = 0, 3x + 7y – 1 = 0. Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
2016/29
201658
100858
1008/29
Ta kiểm tra thấy đỉnh A(7; 4) không nằm trên các đường thẳng d1:7x−3y+5=0, d2:3x+7y−1=0 nên đây là các cạnh CB, CD. Ta có
S=dA, BC.dA, CD=7.7−3.4+572+−32.3.7+7.4−132+72=100829
ĐÁP ÁN D
Diện tích hình vuông có bốn đỉnh nằm trên hai đường thẳng song song d1:2x−4y+1=0 và d2:−x+2y+10=0 là:
1/20
121/20
81/20
441/20
Do 4 đỉnh hình vuông nằm trên 2 đường thẳng song song nên độ dài cạnh hình vuông chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Ta có: d2: - x + 2y + 10= 0 hay 2x – 4y – 20 = 0
Khoảng cách hai đường thẳng là:d(d1;d2)= 1−(−20)22+(−4)2=2120
Diện tích hình vuông cần tính là: S=21202=44120
ĐÁP ÁN D.
Cho tam giác ABC với A(-1; -1), B(2; -4), C(4; 3). Diện tích tam giác ABC là:
3/2
9/2
27/2
13
Ta có: BC= (4−2)2+(3+4)2=53
Phương trình BC : Qua B (2; -4) và nhận VTCP BC→(2; 7)nên có VTPT n→( 7; −2):
7( x -2) – 2 ( y + 4) = 0 hay 7x - 2y - 22 = 0
Khoảng cách từ A đến BC là:
d( A; BC)=7.(−1)−2.(−1)−2272+(−2)2=2753
Diện tích tam giác ABC là: S=12BC.d(A; BC)= 12. 53. 2753=272
ĐÁP ÁN C.
Cho hai điểm A(-4; -1), B(-2; 1). Điểm C trên đường thẳng ∆: x – 2y + 3 = 0 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 40 (đvdt). Khi đó tung độ của điểm C là
– 10 hoặc 10
– 40 hoặc 40
20
50
ĐÁP ÁN B.
Do C nằm trên đường thẳng ∆: x – 2y + 3 = 0 nên ta gọi tọa độ C là C(2y – 3; y).
Mà AB= (−2+4)2+ (1+1)2=22
Phương trình AB: qua A( - 4; -1) và nhận VTCP AB→ (2;2) nên có VTPT là: n→ (1; −1):
1( x+ 4) – 1 ( y + 1) = 0 hay x – y + 3 = 0
d(C; AB)= 2y−3−y+32=y2
Theo đầu bài ta có:
40=S=12.AB.d(C; AB)=12. 22.y2⇔y =40 ⇔y= ±40
