55 câu Trắc nghiệm: Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

Áp dụng định lí cô sin  trong tam giác  ta có: 

BC2=AB2+AC2−2 AB.AC.cosA=42+62−2.4.6.cos120°

=42+62−2.4.6.−12=76⇒BC=76=219.

 

Chọn B.

Áp dụng hệ quả của định lí cô sin trong tam giác ta có: 

 cos⁡A=(b2+c2-a2)/2bc=(52+42-62)/2.5.4=1/8=0,125.

Chọn A.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

 mc2=a2+b22−c24=32+522−624=8⇒mc=22.

Chọn B.

Sử dụng công thức trung tuyến, ta có:

ma2+mb2+mc2=2b2+2c2−a24+2c2+2a2−b24+2a2+2b2−c24

=34a2+b2+c2

Chọn D

 Áp dụng định lí sin trong tam giác ta cóasinA=2R. Suy ra:

 R=a2sin60°=a2. 32=a33.

Chọn A.

  S=12AB.AC.sinA=12.10.12.sin150°=60.12=30.

Chọn B.

Ta có: AB2+AC2=32+42=52⇒AB2+AC2=BC2 

⇒ ∆ABC vuông tại A.

Diện tích tam  giác ABC  là:

S∆ABC=12AB.AC=12.3.4=6 .

 Nửa chu vi của tam giác là p=1/2 (3+4+5)=6.

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là:

r=Sp=66=1. Chọn D.

Ta có:

 aha=bhb=2S⇒hahb=ba=68=34.

Chọn A.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:   p=5+6+72=9

Áp dụng công  thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là: 

 S=9.9−5.9−6.9−7=36.6=66.

Chọn C.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:  p=3+5+62=7

Áp dụng công  thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là: 

 S=√(7.(7-3).(7-5).(7-6) )=√56=2√14

Bán kính đường trong nội tiếp của tam giác là:

r=Sp=2147. Chọn A.

a2+b2=52+122=132⇒a2+b2=c2 ⇒ ∆ABC vuông tại C

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R=c2=132=6,5.

Chọn C.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

 c2=22+222−2.2.22.cos135°=4+8−2.2.22.−12=20

c=25

Chọn D

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 cosB=32+232−422.3.23=−112

Chọn B

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 cosC=22+32−1922.2.3=13−1912=−12⇒C^=120°

Chọn D

Ta có:  a² = b² +c² – bc nên b² + c² – a² = bc

 Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 cosA=b2+c2−a22.bc=bc2bc=12⇒A^=60°

Chọn C

Ta có: a2=b2+​c2+2bc⇒b2+c2−a2=−2bc

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ta có:

 cosA=b2+c2−a22.bc=−2bc2bc=−22⇒A^=135°

Chọn A

Chọn D

Ta có:  a² + b² = c² nên tam giác ABC là tam giác vuông.

Chọn C

Ta có: cosC =  a2+​b2−c22ab=82+​92−1022.8.9>0

⇒00<​C^<900

Tam giác ABC có AB = c là cạnh lớn nhất. Do đó, góc C là góc lớn nhất.

Lại có:  00<​C^<900nên tam giác ABC là tam giác nhọn.

Chọn A

Ta có: cosC =  a2+​b2−c22ab=62+​72−1022.6.7<0

⇒​C^>900

Suy ra, tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B

ĐÁP ÁN C

Ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc . cosA

Suy ra: bc.cosA =  b2+​c2−a22

Tương tự, ab.cosC =  a2+​b2−c22;​ ac.cosB =  a2+​c2−b22

Do đó,  P =  a2+​b2−c22+b2+​c2−a22​+​  a2+​c2−b22=a2+​b2+c22

Áp dụng hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có:

cosA =  b2+c2−a22bc⇒cosAa=b2+c2−a22abc

cosB =  a2+c2−b22ac⇒cosBb=a2+c2−b22abc

cosC =  a2+b2−c22bc⇒cosCc=a2+b2−c22abc

Do đó, 

cosAa+cosBb+​  ​cosCc=b2+c2−a22abc+  ​a2+c2−b22abc+​  a2+b2−c22abc=a2+b2+c22abc

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN B

Áp dụng công thức đường trung  tuyến trong tam giác ta có:

 mc2=312+2922−2724=23 ⇒ mc=23

Áp dụng công thức đường trung  tuyến trong tam giác ta có:

 mc2=a2+b22−c24⇒ c24=a2+b22−mc2=42+622−42=10

⇒c2=40⇒c=210

ĐÁP ÁN A

Ta có:

ma2−mb2=2b2+2c2−a24−2c2+2a2−b24=34b2−a2

ĐÁP ÁN A

 

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: GA​=23  ma. Suy ra: 

 GA2=23ma2=49.2b2+2c2−a24=2b2+2c2−a29

ĐÁP ÁN D

 

Theo hệ quả định lí cô sin trong tam giác ta có: cosB =  c2+​a2−b22ca

Từ  giả thiết: c = a. cosB nên: 

c=a.c2+a2−b22.ca⇒c=c2+a2−b22c⇒2c2=c2+a2−b2⇒a2=b2+c2

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

ĐÁP ÁN C

Áp dụng định lí sin trong tam giác: asinA=2R

Suy ra: R=a2.sinA=302.sin600=103

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam giác  ABC là:

S=12a.ha=12.10.3=15

ĐÁP ÁN B

Nửa chu vi tam giác ABC là:  p=4+6+82=9

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC: 

S=99−49−69−8=315

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam  giác ABC là: 

S​=12AB.AC.sinA=12.4.6.sin300=6

ĐÁP ÁN B

Ta có:  AB2 + AC2 = BC2 ( 32 + 42 = 52 )

 Suy ra, tam giác vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là:  S=12.AB.AC=6

Nửa chu vi tam giác: p=3+4+52=6

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là: r=Sp=1

ĐÁP ÁN A

Nửa chu vi tam giác: p=7+8+92=12

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC

S=1212−712−812−9=12.5.4.3=125

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là r=Sp=12512=5 

ĐÁP ÁN C

 

Nửa chu vi tam giác p=5+7+82=10

Áp dụng công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC

S=1010−510−710−8=103

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

R=abc4S=5.7.8403=733 

ĐÁP ÁN B.

Hình lục giác đã cho là hợp của 2 tam giác đều có độ dài cạnh là 4 và 1 hình chữ nhật với độ dài 2 cạnh là 4 và 6.

 Diện tích mỗi tam giác đều là 12.4.4.sin60°=43.

Diện tích hình chữ nhật là 24.

Diện tích của hình lục giác là: 43+43+​​24=83+24 

ĐÁP ÁN D

Gọi O là tâm của hình lục giác đều – O là giao điểm các đường chéo.

Hình lục giác đều cạnh 8 cm được chia thành sáu tam giác đều cạnh 8 cm.

Diện tích mỗi tam giác đều là 12.8.8.sin60°=163.

Diện tích lục giác là 163.6= 963 cm2.

ĐÁP ÁN C

Giả sử tam giác ABC cân tại C, AC = BC = a, C =  α

Diện tích tam giác là:

​S=12ab.sinC=12a.a.sinα=12a2sinα

ĐÁP ÁN B

Gọi O là tâm đa giác, giả sử A, B là hai đỉnh kề nhau của đa giác

Ta có AOB^=360n°. Diện tích đa giác đều bằng.

S=nSOAB=n.12OA.OB.sinAOB^=12nR2.sin360n°

ĐÁP ÁN A

Diện tích phần được tô màu bằng hiệu diện tích của hình vuông cạnh 8cm và 4 tam giác bằng nhau có 1 cạnh bằng 8 và đường cao ứng với cạnh đó bằng 2 cm.

Diện tích của 1 tam giác là: S=12.2.8=8

Diện tích hình vuông là:  S’ = 82 = 64

Diện tích phần tô đậm là:  64 – 4.8 =  32.

ĐÁP ÁN B

S=12.2.3.sin120°+12.3.4.sin120°+12.4.2.sin120°=1332

ĐÁP ÁN B

ĐÁP ÁN D

Ta có: S=12bc.sinA⇒4S​=2bc.sinA  (1)

Theo giả thiết ta có: bc = 4S   (2)

Từ (1) (2) suy ra:

2bc.sinA=bc⇔2sinA=1⇔sinA=12⇔A^=300A^=1500

Theo định lí sin trong tam giác ta có: asinA=2R⇒sin​A=a2R 

 cotA=cosAsinA=cosAa2R=2Rcos Aa

ĐÁP ÁN C

Theo định lí sin trong tam giác ta có: asinA=2R⇒sin​A=a2R

cotA=cosAsinA=cosAa2R=2Rcos Aa=2Rb2+c2−a22bca=R.b2+c2−a2abc

ĐÁP ÁN A

Diện tích tam giác ABC là:  S​=  12bc.sinA⇒4S=2bcsinA

 cotA=cosAsinA=b2+c2−a22bcsin A=b2+c2−a24S

ĐÁP ÁN D

* Diện tích tam giác ABC là:  S​=  12bc.sinA⇒4S=2bcsinA

cotA=cosAsinA=b2+​c2−a22bcsinA=b2+​c2−a22bc.sinA=b2+​c2−a24S

* Tương tự, ta có:  cotB=a2+​c2−b24S;   cotC=a2+​b2−c24S

* Do đó,

cotA+​cotB+cotC=b2+​c2−a24S+​a2+​c2−b24S+a2+​b2−c24S=a2+​b2+c24S

ĐÁP ÁN B

Ta có: S=  12a.ha⇒a=2Sha  

Tương tự, S=  12b.hb⇒b=2Shb

Theo giả thiết  a= 2b nên 2Sha=2.2Shb⇔1ha=2hb⇔hb=2ha

ĐÁP ÁN A

Theo định lí sin trong tam giác ta có: asinA=2R⇒a=2R.sinA

Tương tự, b = 2RsinB; c= 2R.sin C

Theo đầu bài:

 a + b =2c ⇒ 2Rsin A + 2Rsin B = 4Rsin C ⇒ sin A + sin B = 2sin C.

ĐÁP ÁN C

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

asinA=2R⇒a=2R​.sinA

Tương tự, b=2R.sinB;  c=2R.sinC

Ta có: ab = c2 nên 2R.sinA . 2R. sin B = (2Rsin C)2

Hay sin A. sin B= (sinC)2

^{ĐÁP ÁN A}

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

asinA=2R⇒a=2R​.sinA

Tương tự,b=2R.sinB;  c=2R.sinC

 Theo bất đẳng thức tam giác ta có:  a + b > c

Do đó,  2Rsin A + 2Rsin B > 2Rsin C ⇒ sin A + sin B > sin C

Tương tự, sin A + sin C > sin B và sin B + sin C > sin A

Vậy D sai.

ĐÁP ÁN D

ĐÁP ÁN B

Giả sử A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của đa giác đều.

Tam giác ABC cân tại B có góc ở đỉnh là α, góc ở đáy là 90°−α2.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R nên a=2Rsin90°−α2=2Rcosα2

 

Ta có:

S=pr=a+b+c2.r⇒r=2Sa+​b+cS​=12a.ha⇒ha=2Sa

Suy ra:  rha=2Sa+b+c2Sa=aa+b+c

ĐÁP ÁN B

 

Áp dụng định lí sin trong tam giác: asin​A=bsinB=csinC=2R

Suy ra:  b = 2R sin B;  c =  2R . sin C

 Ta có, S​=12a.ha nên :

 ha=2Sa=2abc4Ra=bc2R=2Rsin B.2Rsin C2R=2Rsin Bsin C

ĐÁP ÁN C

Ta có: BOC^=2BAC^, COA^=2CBA^, AOB^=2ACB^

( góc ở tâm gấp 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn 1 cung )

S=SOAB+SOBC+SOCA 

= 12OA.OB.sinAOB^+12OB.OC.sinBOC^+12OC.OA.sinCOA^

S=12R2sin2A+sin2B+sin2C .

ĐÁP ÁN A

SAMNSABC=12AM.AN.sinA12AB.AC.sinA=AMAB.ANAC

ĐÁP ÁN D

Ta có:  b.cosC+c.cosB=b.a2+b2−c22ab+c.c2+a2−b22ac

=a2+​b2−c22a+​c2+a2−b22a=a2+​b2−c2+c2+a2−b2​2a=2a22a=a

ĐÁP ÁN B