15 câu Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác có đáp án (Vận dụng)
15 câu hỏi
Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức bb2−a2=ca2−c2. Khi đó góc BAC^ bằng bao nhiêu độ?
30∘
45∘
60∘
90∘
Đáp án C
Theo định lí hàm cosin, ta có:
cosBAC^=AB2+AC2−BC22.AB.AC=c2+b2−a22bc
Mà bb2−a2=ca2−c2
⇔b3−a2b=a2c−c3⇔−a2b+c+b3+c3=0⇔b+cb2+c2−a2−bc=0
⇔b2+c2−a2−bc=0 (do b > 0, c > 0)
⇔b2+c2−a2=bc
Khi đó, cosBAC^=b2+c2−a22bc=12
⇒BAC^=600
Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và A^=600. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
R = 3
R=33
R=3
R = 6
Đáp án A
Áp dụng định lí cosin, ta có:
BC2=AB2+AC2−2.AB.AC.cosBAC^=32+62−2.3.6.cos600=27⇒BC2=27⇒BC2+AB2=AC2
Suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó bán kính R=AC2=3
Tam giác vuông cân tại A có AB = 2a. Đường trung tuyến BM có độ dài là:
3a
2a2
2a3
a5
Đáp án D
+ Ta có: AB = AC = 2a
+ Ta có: BC=AB2+AC2=4a2+4a2=22a
MB2=BC2+AB22−AC24=8a2+4a22−4a24=5a2⇒MB=a5
Tam giác ABC cân tại C, có AB = 9cm và AC=152cm. Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính độ dài cạnh AD
AD = 6cm
AD = 9cm
AD = 12cm
AD=122cm
Đáp án C
Ta có: D là điểm đối xứng của B qua C ⇒ C là trung điểm của BD.
⇒ AC là trung tuyến của tam giác ΔDAB.
BD = 2BC = 2AC = 15.
Theo hệ thức trung tuyến ta có:
AC2=AB2+AD22−BD24⇒AD2=2AC2+BD22−AB2⇒AD2=2.1522+1522−92=144⇒AD=12
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. Gọi góc ABC^=α và ACB^=β. Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh α và β
β>α
β<α
β=α
β≥α
Đáp án B
+ Có AC=BC2−AB2=132−52=12
+ bsinB=csinC⇒sinCsinB=cb=512<1 (*)
+ Tam giác ABC vuông tại A, suy ra B và C là góc nhọn. Do đó sinB > 0 và sinC > 0
Từ (*) suy ra sinC < sinB. Suy ra C < B hay β<α
Trong tam giác ABC có:
ma=b+c2
ma<b+c2
ma>b+c2
ma=b+c
Đáp án B
Ta có:
ma2−b+c22=b2+c22−a24−b2+c2+2bc4=b2+c2−a2−2bc4=b−c2−a24
Trong tam giác ta có: b−c<a suy ra b−c2<a2
Do đó b−c2−a24<0⇒ma2−b+c22<0
Vậy ma<b+c2
Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma, mb, mc thỏa mãn 5ma2=mb2+mc2. Khi đó tam giác này là tam giác gì?
Tam giác cân
Tam giác đều
Tam giác vuông
Tam giác vuông cân
Đáp án C
Ta có: ma2=b2+c22−a24mb2=a2+c22−b24mc2=a2+b22−c24
Mà: 5ma2=mb2+mc2
⇒5b2+c22−a24=a2+c22−b24+a2+b22−c24⇔10b2+10c2−5a2=2a2+2c2−b2+2a2+2b2−c2⇔b2+c2=a2
⇒ tam giác ABC vuông
Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau:
(I) ma2+mb2+mc2=34a2+b2+c2
(II) GA2+GB2+GC2=13a2+b2+c2
Trong các khẳng định đã cho có:
(I) đúng
Chỉ (II) đúng
Cả hai cùng sai
Cả hai cùng đúng
Đáp án D
Mệnh đề (I): ma2=b2+c22−a24mb2=a2+c22−b24mc2=a2+b22−c24
⇒ma2+mb2+mc2=34a2+b2+c2
Mệnh đề (II):
GA2+GB2+GC2=49ma2+mb2+mc2=49.34a2+b2+c2=13a2+b2+c2
Cho góc xOy^=300. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:
32
3
22
2
Đáp án D
Theo định lí hàm sin, ta có:
OBsinOAB^=ABsinAOB^⇔OB=ABsinAOB^.sinOAB^=1sin300.sinOAB^=2sinOAB^
Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi sinOAB^=1⇔OAB^=900
Khi đó OB = 2
Cho góc xOy^=300. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:
32
3
22
2
Đáp án B
Theo định lí hàm sin, ta có:
OBsinOAB^=ABsinAOB^⇔OB=ABsinAOB^.sinOAB^=1sin300.sinOAB^=2sinOAB^
Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi sinOAB^=1⇔OAB^=900
Khi đó OB = 2
Tam giác OAB vuông tại A
⇒OA=OB2−AB2=22−12=3
Tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. Gọi la là độ dài đoạn phân giác trong góc BAC^. Tính la theo b và c
la=2bcb+c
la=(b+c)bc
la=2bcb+c
la=2(b+c)bc
Đáp án A
Ta có BC=AB2+AC2=b2+c2
Do AD là phân giác trong của BAC^
⇒BD=ABAC.DC=cb.DC=cb+c.BC=cb2+c2b+c
Theo định lí hàm cosin, ta có:
BD2=AB2+AD2−2.AB.AD.cosBAD^⇔c2b2+c2b+c2=c2+AD2−2c.AD.cos450⇒AD2−c2.AD+c2−c2b2+c2b+c2=0⇔AD2−c2.AD+2bc3b+c2=0⇒AD=2bcb+c hay la=2bcb+c
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60∘. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
61 hải l
36 hải lí
36 hải lí
18 hải lí
Đáp án B
Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 và A^=600
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có
a2=b2+c2−2bccosA=302+402−2.30.40.cos600=900+1600−1200=1300
Vậy BC=1300≈36 (hải lí)
Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí
Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt giác kế thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60m, giả sử chiều cao của giác kế là OC = 1m. Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh OB ta nhìn thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc AOB^=600. Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:
40m
114m
105m
110m
Đáp án C
Tam giác OAB vuông tại B, ta có:
tanAOB^=ABOB⇒AB=tan600.OB=603m
Vậy chiều cao của ngọn tháp là:
h=AB+OC=603+1m
Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).
Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC^=450
Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
17,5m
17m
16,5m
16m
Đáp án B
Trong tam giác AHB, ta có
tanABH^=AHBH=420=15⇒ABH^≈11019
Suy ra ABC^=900−ABH^=78041'
Suy ra ACB^=1800−BAC^+ABC^=56019'
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:
ABsinACB^=CBsinBAC^⇒CB=AB.sinBAC^sinACB^=AH2+BH2.sin45°sin56°19'≈17m
Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, CAD^=α=630,CBD^=β=480. Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?
18m
18,5m
60m
60,5m
Đáp án D
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có:
ADsinB=ABsinD
Ta có: α=D^+β nên D^=α−β=630−480=150
Do đó AD=AB.sinβsinα−β=24.sin480sin150≈68,91m
Trong tam giác vuông ACD, có h=CD=AD.sinα≈61,4m
