15 câu Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác có đáp án (Nhận biết)

Đáp án C

Ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Đáp án B

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \\ \Rightarrow a=2R\sin A \end{gathered}$$

Đáp án A

Trong tam giác ABC, độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A là $m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \\ \Rightarrow a\sin B=b\sin A \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có: $\frac{1}{2}a.h_a=\frac{abc}{4R}.$

Suy ra: $h_a=\frac{bc}{2R}\Rightarrow bc=2R.h_a$

Đáp án C

+) $\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}ac.\sin B$

Suy ra $h_a=b.\sin C=c.\sin B$. Suy ra mệnh đề đáp án A và B đúng

+) $\frac{1}{2}c.h_c=\frac{1}{2}ab.\sin C$ suy ra $c.h_c=ab.\sin C$. Suy ra mệnh đề đáp án D đúng

Đáp án A

Ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Theo giả thiết $a^2<b^2+c^2\Rightarrow \cos A>0$

Vậy góc A nhọn

Đáp án A

Ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{9^2+4^2-7^2}{\mathrm{2.9.4}}=\frac{2}{3}$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow b=\frac{c}{\sin C}.\sin B \\ =\frac{5}{\sin {45}^0}.\sin {60}^0=\frac{5\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

Đáp án D

+ Có $\widehat{A}={180}^0-{30}^0-{105}^0={45}^0$

+ $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow a=\frac{b}{\sin B}.\sin A$

$=\frac{6}{\sin {30}^0}.\sin {45}^0=6\sqrt{2}$

Đáp án B

$$\begin{gathered} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ ={10}^2+{16}^2-\mathrm{2.10.16.}\cos {60}^0 \\ =196 \end{gathered}$$

Suy ra $BC=a=\sqrt{196}=14$

Đáp án D

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \widehat{A} \\ =2^2+1^2-\mathrm{2.2.1.}\cos {60}^0=3 \\ \Rightarrow BC=\sqrt{3} \end{gathered}$$

Đáp án B

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$$\begin{gathered} A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC.BC.\cos \widehat{C} \\ \Rightarrow {\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+B{C}^2-2.\sqrt{3}.BC.\cos {45}^0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ BC=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{6^2+8^2}{2}-\frac{{10}^2}{4}=25 \\ \Rightarrow m_a=5 \end{gathered}$$

Đáp án A

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến: $m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$ ta được:

$$\begin{gathered} m_a^2=\frac{A{C}^2+A{B}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4} \\ =\frac{{12}^2+9^2}{2}-\frac{{15}^2}{4}=\frac{225}{4} \\ \Rightarrow m_a=\frac{15}{2} \end{gathered}$$