5 bài tập Tọa độ của điểm, vectơ (có lời giải)
5 câu hỏi
Cho hình hộp chữ nhật OABC.O′A′B′C′ có cạnh OA = 4, OC = 6, OO′ = 3. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O; các điểm A, C, O′ lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định toạ độ các điểm A, B, B′.
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = 4\vec i + 0\vec j + 0\vec k\), suy ra \(A(4;0;0)\);
\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 4\vec i + 6\vec j + 0\vec k{\rm{, suy ra }}B(4;6;0);\)
\({\rm{ }}\overrightarrow {O{B^\prime }} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = 4\vec i + 6\vec j + 3\vec k{\rm{, suy ra }}{B^\prime }(4;6;3)\)
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với A; các điểm B, D, A′ lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định toạ độ các điểm B, C, C′.
Vì \(\overrightarrow {OB} \) và \(\vec i\) cùng hướng và \({\rm{OB}} = 5\) nên \(\overrightarrow {OB} = 5\vec i\).
Tương tự, ta có \(\overrightarrow {OD} = 5\vec j;\overrightarrow {O{A^\prime }} = 5\vec k\).
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 5\vec i + 5\vec j\).
Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {O{A^\prime }} = 5\vec i + 5\vec j + 5\vec k\).
Do đó \({\rm{B}}(5;0;0),{\rm{C}}(5;5;0),{{\rm{C}}^\prime }(5;5;5)\).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật \(OBCD.{O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có \(B(2;0;0),D(0;1;0)\), \({O^\prime }(0;0;1)\). Tim toạ độ các đỉnh còn lại.
Ta cần tìm toạ độ các đỉnh \(O,C,{B^\prime },{C^\prime },{D^\prime }\).
- Toạ độ đỉnh \(O\) là \((0;0;0)\).
- Theo giả thiết, ta có \(\overrightarrow {OB} = 2\vec i,\overrightarrow {OD} = \vec j,\overrightarrow {O{O^\prime }} = \vec k\).
Suy ra:
\(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 2\vec i + \vec j;\overrightarrow {O{B^\prime }} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = 2\vec i + \vec k;\)
\(\overrightarrow {O{C^\prime }} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = 2\vec i + \vec j + \vec k;{\rm{ }}\overrightarrow {O{D^\prime }} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {O{O^\prime }} = \vec j + \vec k.\)
Vậy \(C(2;1;0),{B^\prime }(2;0;1),{C^\prime }(2;1;1),{D^\prime }(0;1;1)\).
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đỉnh A trùng với gốc O, các vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA\prime } \] theo thứ tự cùng hướng với \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \] và có AB = 8, AD = 6, AA′ = 4. Tìm toạ độ các vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} \] và \[\overrightarrow {AM} \]với M là trung điểm của cạnh C′D′.
Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \), ta cần biểu diễn \(\overrightarrow {AB} \) theo ba vectơ \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Do \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\vec i\) và \(|\overrightarrow {AB} | = AB = 8 = 8|\vec i|\) nên \(\overrightarrow {AB} = 8\vec i\) hay \(\overrightarrow {AB} = 8\vec i + 0\vec j + 0\vec k\).
Tương tự, ta cũng có: \(\overrightarrow {AD} = 0\vec i + 6\vec j + 0\vec k,\overrightarrow {A{A^\prime }} = 0\vec i + 0\vec j + 4\vec k\).
Trong hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 8\vec i + 6\vec j + 0\vec k\).
Trong hình bình hành \(A{A^\prime }{C^\prime }C\), ta có: \(\overrightarrow {A{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A^\prime }} = 8\vec i + 6\vec j + 4\vec k\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (8;0;0);\overrightarrow {AC} = (8;6;0);\overrightarrow {A{C^\prime }} = (8;6;4)\).
\({\rm{V`i }}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }} + \overrightarrow {A{D^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A{C^\prime }} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A^\prime }} } \right) = \frac{1}{2}(8\vec i + 6\vec j + 4\vec k + 6\vec j + 4\vec k) = 4\vec i + 6\vec j + 4\vec k\) \({\rm{n^e n }}\overrightarrow {AM} = (4;6;4).\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình vẽ).
a) Vẽ hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ.
b) Trong hệ toạ độ nói trên, tìm toạ độ các vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AS} \] và \[\overrightarrow {AM} \] với M là trung điểm của cạnh SC.
Ba vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ lần lượt là \(\vec i,\vec j,\vec k\) với độ dài của \(\vec i,\vec j,\vec k\) lần lượt bằng \(\frac{1}{2}AB,\frac{1}{2}AD,\frac{1}{3}AS\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = 2\vec i;\overrightarrow {AD} = 2\vec j;\overrightarrow {AS} = 3\vec k\).
Do đó \(\overrightarrow {AB} = (2;0;0),\overrightarrow {AD} = (0;2;0),\overrightarrow {AS} = (0;0;3)\).
Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\vec i + 2\vec j\).
Vì \({\rm{M}}\) là trung diếm của SC nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AS} ) = \frac{1}{2}(2\vec i + 2\vec j + 3\vec k) = \vec i + \vec j + \frac{3}{2}\vec k\).
Do đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;1;\frac{3}{2}} \right)\).
