10 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Toạ độ của vectơ trong không gian (có lời giải)
10 câu hỏi
Một thiết kế cơ khí trong Hình thứ nhất và được biểu diễn trong không gian Oxyz như Hình thứ hai bên phải.
a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \] lần lượt trên ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz (vectơ đơn vị có độ dài bằng 1 m).
b) Biểu diễn các vectơ \[\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} \] theo \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \].
a)
b) \(\overrightarrow {OC} = 2\vec i;\overrightarrow {OB} = 2\vec i + 3\vec j;\overrightarrow {OA} = 2\vec j + 5\vec k\);
Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = (2\vec i + 3\vec j) - (2\vec j + 5\vec k) = 2\vec i + \vec j - 5\vec k\)
Vì \(N \in (Oxy)\) nên \(N(x;y;0)\).
Xét NBO vuông tại \({\rm{B}}\), ta có: và . Xét có (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ:Suy ra \(N(6,68;10,77;0)\). Do đó \(\overrightarrow {ON} = 6,68\vec i + 10,77\vec j\)
Xét vuông tại \({\rm{C}}\), ta có: . Suy ra \(C(0;0;5,92)\). Do đó \(\overrightarrow {OC} = 5,92\vec k\).
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OC} = 6,68\vec i + 10,77\vec j + 5,92\vec k\).
Vậy \({\rm{M}}(6,68;10,77;5,92)\).
Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình 20.
a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ nào?
b) Trục Oz có vuông góc với mặt sân hay không?
a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ \(({\rm{Oxy}})\).
b) Trục Oz vuông góc vởi mặt phẳng toạ độ \((Oxy)\) nên trục Oz vuông góc với mặt sân.
Bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ (Oxz).
Quāng đường máy bay bay được với vận tốc \(890\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) trong nửa giờ là: \(890 \cdot \frac{1}{2} = 445(\;{\rm{km}})\). Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nứa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là \((0;445;0)\).
Gọi tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\). Vì chiểu rộng của sân là \(6,1\;{\rm{m}}\) nên \({x_A} = 6,1\). Do một nửa chiều dài của sân là \(6,7\;{\rm{m}}\) nên \({y_A} = 6,7\). Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) nên \({z_A} = 0\). Vì vậy, điểm \(A\) có tọa độ là \((6,1;6,7;0)\).
Độ dài đoạn thẳng AB là \(1,55\;{\rm{m}}\) nên điểm \(B\) có toạ độ là \((6,1;6,7;1,55)\).
Vậy ta có: \(\overrightarrow {AB} = (6,1 - 6,1;6,7 - 6,7;1,55 - 0)\), tức là \(\overrightarrow {AB} = (0;0;1,55)\).
Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn đối với hệ tọa độ đó.
Hệ tọa độ \({\rm{Oxyz}}\) có:
Mặt phẳng \(({\rm{Oxy}})\) là sàn nhà, hai mặt phẳng \(({\rm{Oyz}}),({\rm{Oxz}})\) là hai bức tường. Khi đó ba mặt phẳng đồi một vuông góc với nhau.
Gốc tọa độ \({\rm{O}}\) trùng với một góc phòng là giao điếm của 3 trục \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}},{\rm{Oz}}\).
Điếm \({\rm{N}}\) là vị trí của đèn.
Khi đó \(\overrightarrow {ON} = x\vec i + y\vec j + z\vec k = \vec i + 1,5\vec j + 2\vec k\). Do đó \({\rm{N}}(1;1,5;2)\).
Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec k\) cùng hướng và \({\rm{OA}} = 10\) nên \(\overrightarrow {OA} = 10\vec k\).
Xét vuông tại \({\rm{H}}\), có .
Vì \(\overrightarrow {OH} \) và \(\vec j\) cùng hướng và \(OH = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\overrightarrow {OH} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\vec j\) Có \({\rm{BH}} = {\rm{OK}} = 7,5\).
Vì \(\overrightarrow {OK} \) và \(\vec i\) cùng hướng và \(OK = 7,5\) nên \(\overrightarrow {OK} = 7,5\vec i\).
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} - \overrightarrow {OA} = 7,5\vec i + \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\vec j - 10\vec k\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = \left( {7,5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).
Cho biết OM = 50, \[\left( {\overrightarrow i {\rm{, }}\overrightarrow {OH} } \right) = {64^ \circ },\left( {\overrightarrow {OH} {\rm{, }}\overrightarrow {OM} } \right) = {48^ \circ }\]. Tìm toạ độ của điểm M.
Giả sử \({\rm{M}}({\rm{x}};{\rm{y}};{\rm{z}})\).
\({\rm{H}} \in ({\rm{Oxy}}) \Rightarrow {\rm{H}}({\rm{x}};{\rm{y}};0){\rm{. }}\)
Vì OBHA là hình bình hành nên \({\rm{BH}} = {\rm{OA}}\).
Vì \({\rm{OCMH}}\) là hình bình hành nên \({\rm{OC}} = {\rm{MH}}\).
Xét vuông tại \({\rm{H}}\), có .
Xét vuông tại \({\rm{A}}\), có
Xét vuông tại B, có \(OB = \sqrt {O{H^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{33,46}^2} - {{14,67}^2}} \approx 30,07\).
Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec i\) cùng hướng và \({\rm{OA}} = 14,67\) nên \(\overrightarrow {OA} = 14,67\vec i\).
Vì \(\overrightarrow {OB} \) và \(\vec j\) cùng hướng và \({\rm{OB}} = 30,07\) nên \(\overrightarrow {OB} = 30,07\vec j\).
Vì \(\overrightarrow {OC} \) và \(\vec k\) cùng hướng và \(OC = 37,16\) nên \(\overrightarrow {OC} = 37,16\vec k\).
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 14,67\vec i + 30,07\vec j + 27,16\vec k\)
Vậy \({\rm{M}}(14,67;30,07;27,16)\).
Gọi \({{\rm{M}}_1},\;{{\rm{N}}_1},{{\rm{P}}_1},\;{\rm{K}}\) lān lượt lä hình chiêu của \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}},{{\rm{K}}_0}\) lên mặt phăng (Oxy).
Ta thấy \(MNPQ{M_1}{N_1}{P_1}{\rm{O}}\) là hình hộp chữ nhật.
Gọi \({\rm{K'}}\)là giao hai dường chéo MP và NQ. Khi đó \(KQ = KP = KN = KM\).
\({V_1}{K_0}{\rm{M}} = {{\rm{K}}_0}\;{\rm{N}} = {{\rm{K}}_0}{\rm{P}} = {{\rm{K}}_0}{\rm{Q}}\) và camera được hạ thấp theo phương thẳng dứng từ diếm xuống điểm \({{\rm{K}}_1}\) nên các điếm \({{\rm{K}}^\prime }{{\rm{K}}_0},\;{{\rm{K}}_1},\;{\rm{K}}\) thẳng hàng.
Khi đó, các điểm \({{\rm{K}}^\prime },{\rm{Ko}},{\rm{K}}1,\;{\rm{K}}\) có hoành độ và tung độ bằng nhau.
Theo bài ra, cao độ của \({K_0}\) và \({K_1}\) lần lượt là 25 và 19 .
Giả sử \({K_0}(x;y;25)\) và \({K_1}(x;y;19)\).
Ta có \(MNPQ \cdot {M_1}{N_1}{P_1}O\) là hình hộp chữ nhật nên \(KK = OQ\), suy ra cao độ của \({K^\prime }\) bẳng 30. Do đó, \({K^\prime }(x;y;30)\).
Ta có \(\overrightarrow {{K^\prime }Q} = ( - x; - y;0),\overrightarrow {N{K^\prime }} = (x - 90;y - 120;0)\).
V1 K'là giao hai dường chéo của hình chữ nhật MMPQ nên K'là trung điếm của NQ.
Suy ra \(\overline {{K^\prime }Q} = \overrightarrow {NK} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x = x - 90}\\{ - y = y - 120}\\{0 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 45}\\{y = 60}\end{array}} \right.} \right.\).
Do vậy, \({K_0}(45;60;25),{K_1}(45;60;19)\) và \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = (0;0; - 6)\).
