10 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Toạ độ của vectơ trong không gian (có lời giải)
10 câu hỏi
Một thiết kế cơ khí trong Hình thứ nhất và được biểu diễn trong không gian Oxyz như Hình thứ hai bên phải.
a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \] lần lượt trên ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz (vectơ đơn vị có độ dài bằng 1 m).
b) Biểu diễn các vectơ \[\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} \] theo \[\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \].
a)
b) \(\overrightarrow {OC} = 2\vec i;\overrightarrow {OB} = 2\vec i + 3\vec j;\overrightarrow {OA} = 2\vec j + 5\vec k\);
Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = (2\vec i + 3\vec j) - (2\vec j + 5\vec k) = 2\vec i + \vec j - 5\vec k\)
Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ toạ độ Oxyz được thiết lập như Hình vẽ, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, góc NOB = 32o, góc MOC=65o. Tìm toạ độ điểm M.
Vì \(N \in (Oxy)\) nên \(N(x;y;0)\).
Xét NBO vuông tại \({\rm{B}}\), ta có: tan32°=NBOB=xy và x2+y2=ON2(1). Xét có ON=MC=OM⋅sin65°=14⋅sin65°≈12,67 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ: xy=tan32°x2+y2=12,672⇔x≈0,62y(0,62y)2+y2=12,672⇔x≈6,68y≈10,77
Suy ra \(N(6,68;10,77;0)\). Do đó \(\overrightarrow {ON} = 6,68\vec i + 10,77\vec j\)
Xét vuông tại \({\rm{C}}\), ta có: OC=OM⋅cos65°=14⋅cos65°≈5,92. Suy ra \(C(0;0;5,92)\). Do đó \(\overrightarrow {OC} = 5,92\vec k\).
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OC} = 6,68\vec i + 10,77\vec j + 5,92\vec k\).
Vậy \({\rm{M}}(6,68;10,77;5,92)\).
Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình 20.
a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ nào?
b) Trục Oz có vuông góc với mặt sân hay không?
a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ \(({\rm{Oxy}})\).
b) Trục Oz vuông góc vởi mặt phẳng toạ độ \((Oxy)\) nên trục Oz vuông góc với mặt sân.
Một căn phòng với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình 21. Cho biết bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng toạ độ nào.
Bức tường phía sau của căn phòng nằm trong mặt phẳng tọa độ (Oxz).
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Quāng đường máy bay bay được với vận tốc \(890\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\) trong nửa giờ là: \(890 \cdot \frac{1}{2} = 445(\;{\rm{km}})\). Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nứa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là \((0;445;0)\).
Hình vẽ dưới đây mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như ở Hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
Gọi tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\). Vì chiểu rộng của sân là \(6,1\;{\rm{m}}\) nên \({x_A} = 6,1\). Do một nửa chiều dài của sân là \(6,7\;{\rm{m}}\) nên \({y_A} = 6,7\). Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) nên \({z_A} = 0\). Vì vậy, điểm \(A\) có tọa độ là \((6,1;6,7;0)\).
Độ dài đoạn thẳng AB là \(1,55\;{\rm{m}}\) nên điểm \(B\) có toạ độ là \((6,1;6,7;1,55)\).
Vậy ta có: \(\overrightarrow {AB} = (6,1 - 6,1;6,7 - 6,7;1,55 - 0)\), tức là \(\overrightarrow {AB} = (0;0;1,55)\).
Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn đối với hệ tọa độ đó.
Hệ tọa độ \({\rm{Oxyz}}\) có:
Mặt phẳng \(({\rm{Oxy}})\) là sàn nhà, hai mặt phẳng \(({\rm{Oyz}}),({\rm{Oxz}})\) là hai bức tường. Khi đó ba mặt phẳng đồi một vuông góc với nhau.
Gốc tọa độ \({\rm{O}}\) trùng với một góc phòng là giao điếm của 3 trục \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}},{\rm{Oz}}\).
Điếm \({\rm{N}}\) là vị trí của đèn.
Khi đó \(\overrightarrow {ON} = x\vec i + y\vec j + z\vec k = \vec i + 1,5\vec j + 2\vec k\). Do đó \({\rm{N}}(1;1,5;2)\).
Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như Hình vẽ với độ dài đơn vị trên các trục toạ độ bằng 1 m. Tìm toạ độ của vectơ \[\overrightarrow {AB} \].
Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec k\) cùng hướng và \({\rm{OA}} = 10\) nên \(\overrightarrow {OA} = 10\vec k\).
Xét vuông tại \({\rm{H}}\), có BH=OB⋅sin30°=7,5 m, OH=OB⋅cos30°=1532 m.
Vì \(\overrightarrow {OH} \) và \(\vec j\) cùng hướng và \(OH = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\overrightarrow {OH} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\vec j\) Có \({\rm{BH}} = {\rm{OK}} = 7,5\).
Vì \(\overrightarrow {OK} \) và \(\vec i\) cùng hướng và \(OK = 7,5\) nên \(\overrightarrow {OK} = 7,5\vec i\).
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} - \overrightarrow {OA} = 7,5\vec i + \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\vec j - 10\vec k\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = \left( {7,5;\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).
Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình vẽ bên dưới. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy).
Cho biết OM = 50, \[\left( {\overrightarrow i {\rm{, }}\overrightarrow {OH} } \right) = {64^ \circ },\left( {\overrightarrow {OH} {\rm{, }}\overrightarrow {OM} } \right) = {48^ \circ }\]. Tìm toạ độ của điểm M.
Giả sử \({\rm{M}}({\rm{x}};{\rm{y}};{\rm{z}})\).
\({\rm{H}} \in ({\rm{Oxy}}) \Rightarrow {\rm{H}}({\rm{x}};{\rm{y}};0){\rm{. }}\)
Vì OBHA là hình bình hành nên \({\rm{BH}} = {\rm{OA}}\).
Vì \({\rm{OCMH}}\) là hình bình hành nên \({\rm{OC}} = {\rm{MH}}\).
Xét △MHO vuông tại \({\rm{H}}\), có OH=OM⋅cos48°=50⋅cos48°≈33,46.
MH=OM⋅sin48°=50⋅sin48°≈37,16.
Xét △OAH vuông tại \({\rm{A}}\), có BH=OA=OH⋅cos64°=33,46⋅cos64°≈14,67
Xét△OAH vuông tại B, có \(OB = \sqrt {O{H^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{33,46}^2} - {{14,67}^2}} \approx 30,07\).
Vì \(\overrightarrow {OA} \) và \(\vec i\) cùng hướng và \({\rm{OA}} = 14,67\) nên \(\overrightarrow {OA} = 14,67\vec i\).
Vì \(\overrightarrow {OB} \) và \(\vec j\) cùng hướng và \({\rm{OB}} = 30,07\) nên \(\overrightarrow {OB} = 30,07\vec j\).
Vì \(\overrightarrow {OC} \) và \(\vec k\) cùng hướng và \(OC = 37,16\) nên \(\overrightarrow {OC} = 37,16\vec k\).
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 14,67\vec i + 30,07\vec j + 27,16\vec k\)
Vậy \({\rm{M}}(14,67;30,07;27,16)\).
Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M(90 ; 0 ; 30), N(90 ; 120 ; 30), P(0 ; 120 ; 30), Q(0 ; 0 ; 30) (Hình 34). Giả sử K, là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và KoM=KoN= KoP=KoQ. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K1 cao độ bằng 19 (Nguồn: https://www.abiturloesung.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI). Tìm toạ độ của các điểm Ko, K1 và của vectơ \[\overrightarrow {{K_o}{K_1}} \].
Gọi \({{\rm{M}}_1},\;{{\rm{N}}_1},{{\rm{P}}_1},\;{\rm{K}}\) lān lượt lä hình chiêu của \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}},{{\rm{K}}_0}\) lên mặt phăng (Oxy).
Ta thấy \(MNPQ{M_1}{N_1}{P_1}{\rm{O}}\) là hình hộp chữ nhật.
Gọi \({\rm{K'}}\)là giao hai dường chéo MP và NQ. Khi đó \(KQ = KP = KN = KM\).
\({V_1}{K_0}{\rm{M}} = {{\rm{K}}_0}\;{\rm{N}} = {{\rm{K}}_0}{\rm{P}} = {{\rm{K}}_0}{\rm{Q}}\) và camera được hạ thấp theo phương thẳng dứng từ diếm xuống điểm \({{\rm{K}}_1}\) nên các điếm \({{\rm{K}}^\prime }{{\rm{K}}_0},\;{{\rm{K}}_1},\;{\rm{K}}\) thẳng hàng.
Khi đó, các điểm \({{\rm{K}}^\prime },{\rm{Ko}},{\rm{K}}1,\;{\rm{K}}\) có hoành độ và tung độ bằng nhau.
Theo bài ra, cao độ của \({K_0}\) và \({K_1}\) lần lượt là 25 và 19 .
Giả sử \({K_0}(x;y;25)\) và \({K_1}(x;y;19)\).
Ta có \(MNPQ \cdot {M_1}{N_1}{P_1}O\) là hình hộp chữ nhật nên \(KK = OQ\), suy ra cao độ của \({K^\prime }\) bẳng 30. Do đó, \({K^\prime }(x;y;30)\).
Ta có \(\overrightarrow {{K^\prime }Q} = ( - x; - y;0),\overrightarrow {N{K^\prime }} = (x - 90;y - 120;0)\).
V1 K'là giao hai dường chéo của hình chữ nhật MMPQ nên K'là trung điếm của NQ.
Suy ra \(\overline {{K^\prime }Q} = \overrightarrow {NK} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x = x - 90}\\{ - y = y - 120}\\{0 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 45}\\{y = 60}\end{array}} \right.} \right.\).
Do vậy, \({K_0}(45;60;25),{K_1}(45;60;19)\) và \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = (0;0; - 6)\).
