40 câu Trắc nghiệm: Phương trình đường tròn có đáp án

Ta có $x^2+y^2+4x-6y-3=0\iff {\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=16$ nên đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 4.

Chú ý. Học sinh có thể áp dụng công thức tính tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình tổng quát của đường tròn

ĐÁP ÁN D

Ta có $2x^2+2y^2-3x+7y+1=0\iff x^2+y^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}=0$

⟺ ${(x-3/4)}^2+{(y+7/4)}^2=25/8$ nên đường tròn có tâm $I\left(\frac{3}{4};-\frac{7}{4}\right)$ và bán kính $\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}$

ĐÁP ÁN A

Phương trình của đường tròn

${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=5^2\iff x^2+y^2+8x-4y-5=0$

ĐÁP ÁN B

Đường tròn có bán kính là $R=IA=\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2}=\sqrt{20}$ nên phương trình của đường tròn là

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=20 \iff x^2+y^2+2x-4y-15=0$

ĐÁP ÁN B

Tọa độ trung điểm I của AB là: $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{-2+4}{2}=1\\ y=\frac{1+\text{}1}{2}=1\end{array}\right.$ 

Đường tròn có tâm I(1; 1) là trung điểm của AB và có bán kính $R\text{}=IA\text{}=\sqrt{{(-2-1)}^2+\text{}{(1-1)}^2}=3$nên phương trình của đường tròn là:

 ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=9 \iff x^2+y^2-2x-2y-7=0$

ĐÁP ÁN C

Đường tròn có bán kính là $R=d\left(I, ∆\right)=\frac{\left|3.2-4.5-6\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=4$

ĐÁP ÁN D

Gọi phương trình đường tròn là $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Do đường tròn qua A(1;2),

B( -1;1), C(2;3) nên ta có

$\left\{\begin{array}{c}{1}^2+2^2-\mathrm{2.1.}a-\mathrm{2.2.}b+c=0\\ {\left(-1\right)}^2+1^2-2.\left(-1\right).a-\mathrm{2.1.}b+c=0\\ 2^2+3^2-\mathrm{2.2.}a-\mathrm{2.3.}b+c=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}-2a-4b+c=-5\\ 2a-2b+c=-2\\ -4a-6b+c=-13\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}a=-\frac{5}{2}\\ b=\frac{13}{2}\\ c=16\end{array}\right.\right.\right.$

Phương trình đường tròn là: $x^2 + y^2 + 5x – 13y + 16 =0$

ĐÁP ÁN A

 

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x +y – 3 = 0 nên tâm I(x; 3 – x). Mà đường tròn đi qua A(-1; 3), B(1;4) nên 

$I{A}^2=I{B}^2\iff {\left(x+1\right)}^2+{\left(-x\right)}^2={\left(x-1\right)}^2+{\left(-1-x\right)}^2$

$\begin{array}{l}\iff x^2+\text{}2x+\text{}1+\text{}{x}^2=x^2-2x+1+\text{}1+\text{}2x+x^2\\ \iff 2x^2+\text{}2x+\text{}1=2x^2+\text{}2\\ \iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}\end{array}$

 

Tọa độ điểm $I\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$

Bán kính $IA=\sqrt{{\left(-1-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\text{}3-\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

 

Phương trình đường tròn là ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}\iff x^2+y^2-x-5y+4=0$

ĐÁP ÁN C

 

 

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 6 = 0 nên tâm là I(6 – 2y; y).

Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên:

$\begin{array}{l}\left|6-2y\right|=\left|y\right|\iff \left[\begin{array}{c}6-2y=y\\ 6-2y=-y\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{c}-3y=-6\\ -y=-6\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}y=2\\ y=6\end{array}\right.\end{array}$

 Bán kính đường tròn là R = 2 hoặc R = 6

ĐÁP ÁN B

Để phương trình $x^2+y^2+\left(m-4\right)x+\left(m+2\right)y+3m+10=$ là phương trình của một đường tròn có bán kính R = 2 thì:

$\begin{array}{l}{\left(\frac{m-4}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{m+\text{}2}{2}\right)}^2-(3m+\text{}10)=2^2=4\\ \iff \frac{m^2-8m+\text{}16}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{m^2+\text{}4m+\text{}4}{4}-3m-10-4=0\\ \iff \frac{2m^2-4m+\text{}20}{4}\text{\hspace{0.17em}}-3m-14=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff 2m^2-4m+\text{}20-12m-56=0\\ \iff 2m^2-16m-36=0\iff m=4\pm \sqrt{34}\end{array}$

ĐÁP ÁN A

Điều kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn là: 

$\begin{array}{l}{\left(\frac{m-3}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{2m+\text{}1}{2}\right)}^2-(3m+\text{}10)>0\\ \iff \frac{m^2-6m+\text{}9}{4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{4m^2+\text{}4m+\text{}1}{4}-3m-10>0\\ \iff \frac{5m^2-2m+\text{}10}{4}\text{\hspace{0.17em}}-3m-10>0\iff 5m^2-2m+10-12m-40>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0\\ \iff 5m^2-14m-30>\text{}0\iff \left[\begin{array}{c}m<\text{}\frac{7-\sqrt{199}}{5}\\ m>\frac{7+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sqrt{199}}{5}\end{array}\right.\end{array}$

Với điều  kiện trên phương trình đã cho là  phương trình đường tròn  có  tâm $I\left(-\frac{m-3}{2};-\frac{2m+1}{2}\right)$

Do tâm I nằm trên đường thẳng ∆:   x + 2y + 5 = 0 nên ta có:

$\begin{array}{l}-\frac{m-3}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2.\left(-\frac{2m+1}{2}\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5=0\\ \iff -(m-3)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2(\text{}-2m-1)+2.5=0\\ \iff -m+\text{}3-4m-2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}10=0\\ \iff -5m\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}11=0\iff m=\frac{11}{5}\end{array}$

Kết hợp điều kiện, suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn,

Chú ý. Nhiều học sinh quên điều kiện để phương trình là phương trình của một đường tròn nên dẫn đến kết quả m = 11/5

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C): $x^2+y^2+4x-6y-3=0$ có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 4.

Khoảng cách $d\left(I,∆ \right)=\frac{\left|3.\left(-2\right)-4.3-2\right|}{5}=4$ nên đường thẳng tiếp xúc đường tròn.

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): $x^2+y^2+8x+6y+5=0$ có tâm I( - 4; -3) và bán kính $R=\sqrt{20}$

Khoảng cách$\left(I, ∆\right)=\frac{\left|3.\left(-4\right)-4.\left(-3\right)-10\right|}{5}=2<R$ nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A, B cách nhau một khoảng là $AB=2\surd (R^2-(d(I,∆){)}^2)=8$

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C): $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ có tâm I(-2; 1) và bán kính R = 3.

Ta có : $IM=\sqrt{{\left(1+2\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2}=\sqrt{10}>3$ nên M nằm ngoài đường tròn.

Qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.

ĐÁP ÁN C

Đường tròn đã cho có tâm $I\left(\frac{-3}{2};\frac{5}{2}\right)$

Bán kính đường tròn  là:  $R\text{}=\sqrt{{\left(\frac{-3}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+\text{}2}=\sqrt{\frac{21}{2}}$

Độ dài $IM\text{}=\sqrt{{\left(-2+\text{}\frac{3}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(1-\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5}{2}}<\text{}R$

Do đó, điểm  M nằm trong đường tròn. 

Qua M không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn.

ĐÁP ÁN A

$x^2+y^2+4x-2y-4=0$ và điểm M(-2; 4)

Đường tròn (C): $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ có tâm I(-2;1) và bán kính $R=\sqrt{{(-2)}^2+\text{}{1}^2+\text{}4}=3$

 Phương trình tiếp tuyến tại M(- 2; 4) và nhận $\overrightarrow{IM}(0;3)\text{}$làm VTPT là: 

0( x +2) + 3 (y – 4) = 0 hay y = 4

ĐÁP ÁN D

Các phương trình song song với ∆: x+2y-5=0 có dạng d: x+2y+c=0

Từ đường tròn (C) ta có tâm I(-2;1) và bán kính R=3

Vì đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

Vậy hai phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là: $x+2y+3\sqrt{5}=0$ và $x+2y-3\sqrt{5}=0$.

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): $x^2 + y^2 - 4x + 2y – 4= 0$ có tâm I(2; -1) và  bán kính $R\text{}=\sqrt{2^2+\text{}{(-1)}^2+\text{}4}=3$

 Tiếp  tuyến qua M( -4; 2)  và nhận $\overrightarrow{n}(a;b)$ làm VTPT có phương trình :

a( x+ 4) + b (y – 2)= 0  hay ax + by + 4a – 2b = 0    (*)

Khoảng cách từ tâm I đến  tiếp tuyến bằng bán kính nên ta có:

$\begin{array}{l}d(I;d)\text{}=R\iff \frac{\left|2a-b+\text{}4a-\text{}2b\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=3\\ \iff \frac{\left|6a-3b\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=3\iff \frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}=1\\ \iff \left|2a-b\right|=\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}\iff 4a^2-4ab+\text{}{b}^2=a^2+\text{}{b}^2\\ \iff 3a^2-4ab=0\iff a(\text{}3a-4b)=0\\ \iff \left[\begin{array}{c}a=0\\ 3a=4b\end{array}\right.\end{array}$

* Nếu a= 0 , chọn  b= 1 thay  vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là:  y – 2= 0

* Nếu 3a =  4b, chọn a = 4 thì b = 3 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: 

4x + 3y + 10 = 0

Vậy có 2 tiếp tuyến qua M là:  y – 2= 0 và 4x +3y + 10= 0

ĐÁP ÁN D

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) nếu có là nghiệm hệ phương trình: là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}x-y+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4=0\left(1\right)\\ x^2+\text{}{y}^2+\text{}2x-4y-8=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ  (1) suy ra: y = x + 4  thay vào (2) ta được: 

$$\begin{gathered} x^2 + {(x+ 4)}^2 + 2x – 4. (x+ 4) - 8 = 0 \\ x^2 + x^2 + 8x + 16 + 2x - 4x – 16 - 8= 0 \end{gathered}$$

 2x² + 6x  - 8 =  0  $\iff \left[\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=5\\ x=-4\Rightarrow y=0\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt là (1; 5) và  ( -4; 0)

Đáp án A.

Đường tròn (C) có tâm I(a;b).

Theo quan hệ vuông góc đường kính và dây cung: Nếu đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB thì $∆\perp IM$ tại M.

Do đó, đường thẳng ∆: đi qua $M\left(x_0;y_0\right)$và nhận  $\overrightarrow{MI}=\left(a-x_0;b-y_0\right)$ làm VTPT.

Phương trình ∆: $\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0$

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C) có  tâm I( -1; 3).

Do đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB nên   $IM\perp \Delta$( quan hệ vuông góc đường kính và dây cung).

Đường thẳng ∆: đi qua  M(-2; 1) và nhận  $\overrightarrow{MI}(1;2)$ làm VTPT nên có phương trình là :

1. (x + 2) +  2(y – 1) = 0 hay x+ 2y  = 0

(C): $x^2+y^2-4x+2y-15=0$ và đường thẳng ∆: - 4x + 3y + 1 = 0.

 Đường tròn (C): $x^2+y^2-4x+2y-15=0$ có tâm I(2; -1) và bán kính $R=\sqrt{20}$.

 

Khoảng cách $d\left(I, ∆\right)=\frac{\left|-4.2+3.\left(-1\right)+1\right|}{5}=2<R$ nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B cách nhau một khoảng là

$AB=2\sqrt{R^2-{\left(d\left(I, ∆\right)\right)}^2}=8$.

ĐÁP ÁN C

Đường tròn (C): $x^2+y^2-6x+8y-24=0$ có tâm I(3; - 4) và bán kính R = 7.

Khoảng cách $d\left(I, ∆\right)=\frac{\left|4.3+3.\left(-4\right)-m\right|}{5}=\frac{\left|m\right|}{5}$.

Để đường thẳng cắt đường tròn theo dây cung có độ dài bằng 10 ta có:

$\begin{array}{l}10=2\sqrt{R^2-{\left[d(I;\Delta )\right]}^2}\iff 5=\sqrt{49-\frac{m^2}{25}}\\ \iff 25=49-\frac{m^2}{25}\iff \frac{m^2}{25}=24\\ \iff m^2=\text{\hspace{0.33em}}600\iff m=\pm 10\sqrt{6}\end{array}$

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): $x^2+y^2+4x-4y-10=0$ có tâm I(-2;2) và bán kính $R=3\sqrt{2}$.

Khoảng cách $d(\text{}I;\Delta )=\frac{\left|-2+\text{}2+m\right|}{\sqrt{1^2+\text{}{1}^2}}=\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}$ 

Để đường thẳng tiếp xúc đường tròn  thì:

 $\begin{array}{l}d(\text{}I;\Delta )=R\iff \frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\\ \iff \left|m\right|=6\iff m=\pm 6\end{array}$

ĐÁP ÁN A

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}{x}^2+\text{}{y}^2-6x-4y+\text{}9=0\\ x^2+\text{}{y}^2-2x-8y+\text{}13=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2+\text{}{y}^2-6x-4y+\text{}9=0\\ -4x+\text{}4y-4=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2+\text{}{y}^2-6x-4y+\text{}9=0\left(1\right)\text{}\\ x-y+\text{}1=0\left(2\right)\text{}\end{array}\right.\end{array}$

Từ (2) suy ra:  y = x+ 1 thay  vào (1) ta được:

$$\begin{gathered} x^2+ {(x+ 1)}^2 - 6x – 4(x+ 1) + 9 = 0 \\ {x}^2 + x^2 + 2x + 1 - 6x - 4x – 4+ 9 =0 \end{gathered}$$

$2x^2 – 8x + 6 = 0$

Vậy 2 đường tròn đã cho cắt  nhau tại 2 điểm là (1; 2) và (3;4).

ĐÁP ÁN B

Khi 3 đường thẳng đôi một song song thì số đường tròn tiếp xúc với cả 3 đường thẳng trên là 0.

Khi có 2 đường thẳng song song và cắt đường tròn thì số đường tròn tiếp xúc với cả 3 đường thẳng trên là 2.

Khi 3 đường thẳng đôi một cắt nhau thì số đường tròn tiếp xúc với cả 3 đường thẳng trên là 4.

ĐÁP ÁN B

Ta sẽ xét xem trong 3 điểm A, B, C điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường  tròn. Từ đó ta sẽ biết được đường tròn cắt những cạnh nào của tam giác ABC.

Ta có: ${(-1)}^2 + 2^2 + 3.(-1) - 5.2 + 2 = -6 < 0$ nên điểm A nằm trong đường tròn

  $3^2 + 0^2+ 3.3 – 5. 0 + 2 =15 > 0$ nên điểm B nằm ngoài đường tròn

Và $2^2 + 3^2 + 3.2 - 5.3 + 2 = 4 >$0 nên điểm C nằm ngoài đường tròn.

Do vậy đường tròn cắt hai cạnh của tam giác là AB và AC.

Chọn C.