40 câu Trắc nghiệm: Phương trình đường tròn có đáp án

Áp dụng công thức ta có tâm  I(- 1; 4)

Bán kính  R​=  (−1)2+42−8=3.

 Đáp án C.

Chú ý: Khi học sinh không nhớ công thức của tâm và bán kính thì cần biến đổi phương trình đường tròn ở dạng tổng quát về dạng chính tắc

x2+y2+2x−8y+8=0⇔x+12+y−42=9

Từ đó có thông tin về tâm và bán kính của đường tròn.

Các phương án A, B, D là các sai lầm thường gặp của học sinh.

Để phương trình x2+​y2−2(m−3)x−2(2m+1)y+​3m+​10=0 là phương trình của một đường tròn thì

m−32+2m+12−3m−10>0

⇔m2−6m+9+4m2+4m+1−3m−10>​0

5m2−5m>0 ⇔m∈−∞;0∪1;+∞

Đáp án B

Ta có phương trình đường tròn là

 Đáp án D.

Tọa độ trung điểm của AB là:x=1+​(−3)2=−1y=6​+22=4

Khoảng cách AB:  AB​=  (−3−1)2+​(​2−6)2=16+​16=42

Đường tròn đường kính AB có tâm I(-1; 4) là trung điểm của AB và bán kính  nên phương trình là R=AB2=22

x+12+y−42= 222⇔x2+y2+2x−8y+9=0. Đáp án là A.

Gọi phương trình đường tròn là .x2+y2−2ax−2by+c=0

Do đường tròn qua A(-1; 3), B(1; 4), C(3; 2) nên ta có

−12+32−2.−1a−2.3b+c=012+42−2.1.a−2.4b+c=032+22−2.3a−2.2b+c=0

⇒2a−6b+c=−10−2a−8b+c=−17−6a−4b+c=−13⇔a=56b=116c=−23

Phương trình đường tròn là x2+y2−53x−113y−23=0 . Đáp án B.

Chú ý. Học sinh có thể tìm tâm và bán kính trước rồi suy ra phương trình của đường tròn, tuy nhiên cách làm này dài hơn. Khi có phương trình tổng quát của đường tròn rồi thì có ngay thông tin của tâm và bán kính của đường tròn.

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0 nên tâm I(5 – 2y; y). Mà đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1: 3x−y+5=0 và d2: x+3y−13=0  nên có bán kính R=dI;d1=dI; d2

⇒3​(5−2y)−y+532+​(−1)2=  5−2y+​3y−1312+32

⇒20−7y10=  −8+​y10⇔20−7y=−8+​y⇔400−280y+​49y2=64−​​16y+​y2⇔48y2  −264y    +336=0⇔y=2y=72

Tương ứng ta có hai bán kính của (C) là R1=610, R2=9210

Đáp án là D.

Phương trình của (C) là x2+y2−6x+4y−12=0 ⇔x−32+y+22=25

Đường tròn này có tâm I(3; -2) và bán kính R = 5.

Ta có tiếp tuyến tại A(-1; 1):  đi qua A, nhận AI→  (4;  −3) làm VTPT nên có phương trình:

4(x +1) – 3 (y -1 ) = 0 hay 4x – 3y + 7 = 0  ó  - 4x + 3y -  7 = 0

Đáp án A

Phương trình của (C) là:x2+y2−6x+4y−12=0⇔x−32+y+22=25

Đường tròn (C) có tâm I(3; -2), bán kính R = 5.

Giả sử hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ A là B, C (như hình vẽ).

 Khi đó AB⊥AC⇔Tứ giác IBAC là hình vuông ⟺ tam giác IBA vuông cân

⟺IA=IB2=R2

⟺m−32+3+22=522⇔ m2−6m−16=0⇔m= −2m=8

Đáp án là D.

Đường tròn (C) có phương trình: (x- 2)2 +  (y +1)2 =  4 có tâm I( 2; -1) và bán kính R = 2.

ĐÁP ÁN C

Ta có x2+y2+4x−6y−3=0⇔x+22+y−32=16 nên đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 4.

Chú ý. Học sinh có thể áp dụng công thức tính tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình tổng quát của đường tròn

ĐÁP ÁN D

Ta có 2x2+2y2−3x+7y+1=0⇔x2+y2−32x+72y+12=0

⟺ (x−3/4)2+(y+7/4)2=25/8 nên đường tròn có tâm I34;−74 và bán kính 258=522

ĐÁP ÁN A

Phương trình của đường tròn

x+42+y−22=52⇔x2+y2+8x−4y−5=0

ĐÁP ÁN B

Đường tròn có bán kính là R=IA=3+12+4−22=20 nên phương trình của đường tròn là

x+12+y−22=20 ⇔x2+y2+2x−4y−15=0

ĐÁP ÁN B

Tọa độ trung điểm I của AB là: x=  −2+42=1y=  1+​12=1 

Đường tròn có tâm I(1; 1) là trung điểm của AB và có bán kính R​=  IA​=  (−2−1)2+​(1 −1)2=3nên phương trình của đường tròn là:

 x−12+y−12=9 ⇔x2+y2−2x−2y−7=0

ĐÁP ÁN C

Đường tròn có bán kính là R=dI, ∆=3.2−4.5−632+−42=4

ĐÁP ÁN D

Gọi phương trình đường tròn là x2+y2−2ax−2by+c=0. Do đường tròn qua A(1;2),

B( -1;1), C(2;3) nên ta có

12+22−2.1.a−2.2.b+c=0−12+12−2.−1.a−2.1.b+c=022+32−2.2.a−2.3.b+c=0⇔−2a−4b+c=−52a−2b+c=−2−4a−6b+c=−13⇔a=−52b=132c=16

Phương trình đường tròn là: x2 + y2 +  5x – 13y + 16 =0

ĐÁP ÁN A

 

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x +y – 3 = 0 nên tâm I(x; 3 – x). Mà đường tròn đi qua A(-1; 3), B(1;4) nên 

IA2=IB2⇔x+12+−x2=x−12+−1−x2

⇔x2+​2x+​1  +​x2=x2−2x+1+​1+​2x+x2⇔2x2+​2x+​1=2x2+​2⇔2x=1⇔x=12

 

Tọa độ điểm I12;   52

Bán kính IA=  −1−122+​3−522=102

 

Phương trình đường tròn là x−122+y−522=52⇔ x2+y2−x−5y+4=0

ĐÁP ÁN C

 

 

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 6 = 0 nên tâm là I(6 – 2y; y).

Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên:

6−2y=  y  ⇔6−2y=y6−2y=  −y⇔−3y=−6−y=−6  ⇔y=2y=6

 Bán kính đường tròn là R = 2 hoặc R = 6

ĐÁP ÁN B

Để phương trình x2+y2+m−4x+m+2y+3m+10= là phương trình của một đường tròn có bán kính R = 2 thì:

m−422+​  m+​222−(3m+​10)=22=4⇔m2−8m+​164+​​​  m2+​4m+​44−3m−10−4=0⇔2m2−4m+​204​​​ −3m−14=0

⇔2m2−4m+​20−12m−56=0⇔2m2−16m  −36=0⇔m=4±34

ĐÁP ÁN A

Điều kiện để phương trình đã cho là phương trình đường tròn là: 

m−322+​  2m+​122−(3m+​10)>0⇔m2−6m+​94+​​​  4m2+​4m+​14−3m−10>0⇔5m2−2m+​104​​​ −3m−10>0⇔5m2−2m+10−12m−40>​  0⇔5m2  −14m−30>​0⇔m<​7−1995m>7+​  1995

Với điều  kiện trên phương trình đã cho là  phương trình đường tròn  có  tâm I−m−32;  −2m+12

Do tâm I nằm trên đường thẳng ∆:   x + 2y + 5 = 0 nên ta có:

−m−32+  ​2. −2m+12+​  5=0⇔−(m−3)+​  2(​−2m−1)+2.5=0⇔−m+​3  −4m−2+  ​10=0  ⇔−5m  ​+​11=0⇔m =  115

Kết hợp điều kiện, suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn,

Chú ý. Nhiều học sinh quên điều kiện để phương trình là phương trình của một đường tròn nên dẫn đến kết quả m = 11/5

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C): x2+y2+4x−6y−3=0 có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 4.

Khoảng cách dI,∆ =3.−2−4.3−25=4 nên đường thẳng tiếp xúc đường tròn.

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): x2+y2+8x+6y+5=0 có tâm I( - 4; -3) và bán kính R=20

Khoảng cáchI, ∆=3.−4−4.−3−105=2<R nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A, B cách nhau một khoảng là AB=2√(R2-(d(I,∆))2)=8

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C): x2+y2+4x−2y−4=0 có tâm I(-2; 1) và bán kính R = 3.

Ta có : IM=1+22+2−12=10>3 nên M nằm ngoài đường tròn.

Qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.

ĐÁP ÁN C

Đường tròn đã cho có tâm I  −32 ;   52

Bán kính đường tròn  là:  R​=  −322+​  522+​2=212

Độ dài IM​=   −2+​322+​  1−522=  52  <​​R

Do đó, điểm  M nằm trong đường tròn. 

Qua M không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn.

ĐÁP ÁN A

x2+y2+4x−2y−4=0 và điểm M(-2; 4)

Đường tròn (C): x2+y2+4x-2y-4=0 có tâm I(-2;1) và bán kính R=  (−2)2+​12+​4=3

 Phương trình tiếp tuyến tại M(- 2; 4) và nhận   IM→  (0;   3)​làm VTPT là: 

0( x +2) + 3 (y – 4) = 0 hay y = 4

ĐÁP ÁN D

Các phương trình song song với ∆: x+2y-5=0 có dạng d: x+2y+c=0

Từ đường tròn (C) ta có tâm I(-2;1) và bán kính R=3

Vì đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

Vậy hai phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là: x+2y+35=0 và x+2y-35=0.

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): x2 + y2 -  4x + 2y – 4= 0 có tâm I(2; -1) và  bán kính R​=  22+​(−1)2+​4=3

 Tiếp  tuyến qua M( -4; 2)  và nhận n→  (a;  b) làm VTPT có phương trình :

a( x+ 4) + b (y – 2)= 0  hay ax + by + 4a – 2b = 0    (*)

Khoảng cách từ tâm I đến  tiếp tuyến bằng bán kính nên ta có:

d(I;  d)​=   R⇔2a−b+​4a−​​2ba2+​b2=3⇔6a−3ba2+​b2=3⇔2a−ba2+​b2=1⇔2a−b=a2+​b2⇔4a2−4ab+​b2=a2+​b2⇔3a2−4ab=0⇔a(​3a−4b)=0⇔a=03a=4b

* Nếu a= 0 , chọn  b= 1 thay  vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là:  y – 2= 0

* Nếu 3a =  4b, chọn a = 4 thì b = 3 thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến là: 

4x + 3y + 10 = 0

Vậy có 2 tiếp tuyến qua M là:  y – 2= 0 và 4x +3y + 10= 0

ĐÁP ÁN D

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) nếu có là nghiệm hệ phương trình: là nghiệm của hệ phương trình

x−y+​   4=0   (1)x2+​y2+​2x−4y−8=0   (2)

Từ  (1) suy ra: y = x + 4  thay vào (2) ta được: 

x2 +  (x+ 4)2 +  2x – 4. (x+ 4) - 8 = 0  x2 + x2 +  8x + 16 + 2x -  4x – 16 - 8= 0

 2x² + 6x  - 8 =  0  ⇔x=1⇒y=  5x=−4⇒y=0

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt là (1; 5) và  ( -4; 0)

Đáp án A.

Đường tròn (C) có tâm I(a;b).

Theo quan hệ vuông góc đường kính và dây cung: Nếu đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB thì ∆⊥IM tại M.

Do đó, đường thẳng ∆: đi qua Mx0;y0và nhận  MI→=a-x0;b-y0 làm VTPT.

Phương trình ∆: a-x0x-x0+b-y0y-y0=0

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C) có  tâm I( -1; 3).

Do đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB nên   IM  ⊥Δ( quan hệ vuông góc đường kính và dây cung).

Đường thẳng ∆: đi qua  M(-2; 1) và nhận  MI→(  1 ;   2) làm VTPT nên có phương trình là :

1. (x + 2) +  2(y – 1) = 0 hay x+ 2y  = 0

(C): x2+y2−4x+2y−15=0 và đường thẳng ∆: - 4x + 3y + 1 = 0.

 Đường tròn (C): x2+y2−4x+2y−15=0 có tâm I(2; -1) và bán kính R=20.

 

Khoảng cách dI, ∆=−4.2+3.−1+15=2<R nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B cách nhau một khoảng là

AB=2R2−dI, ∆2=8.

ĐÁP ÁN C

Đường tròn (C): x2+y2−6x+8y−24=0 có tâm I(3; - 4) và bán kính R = 7.

Khoảng cách dI, ∆=4.3+3.−4−m5=m5.

Để đường thẳng cắt đường tròn theo dây cung có độ dài bằng 10 ta có:

10  =2   R2−  d(I;  Δ)2⇔5=  49−   m225⇔25=49−  m225   ⇔m225  =24⇔m2= ​600⇔m=  ±106

ĐÁP ÁN B

Đường tròn (C): x2+y2+4x−4y−10=0 có tâm I(-2;2) và bán kính R=32.

Khoảng cách d(​I;   Δ)=  −2+​2+m12+​12=  m2 

Để đường thẳng tiếp xúc đường tròn  thì:

 d(​I;   Δ)=  R⇔  m2  =32⇔m=  6⇔m=  ±6

ĐÁP ÁN A

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

x2+​y2−6x−4y+​9=0x2+​y2−2x−8y+​13=0⇔x2+​y2−6x−4y+​9=0−4x+​4y   −4=0⇔x2+​y2−6x−4y+​9=0     (1)​x−y  +​1=0                                   (2)​

Từ (2) suy ra:  y = x+ 1 thay  vào (1) ta được:

 x2+ (x+ 1)2  - 6x – 4(x+ 1) + 9  = 0  x2 + x2  + 2x + 1 -  6x -  4x – 4+ 9 =0

2x2 – 8x + 6 = 0 

Vậy 2 đường tròn đã cho cắt  nhau tại 2 điểm là (1; 2) và (3;4).

ĐÁP ÁN B

Khi 3 đường thẳng đôi một song song thì số đường tròn tiếp xúc với cả 3 đường thẳng trên là 0.

Khi có 2 đường thẳng song song và cắt đường tròn thì số đường tròn tiếp xúc với cả 3 đường thẳng trên là 2.

Khi 3 đường thẳng đôi một cắt nhau thì số đường tròn tiếp xúc với cả 3 đường thẳng trên là 4.

ĐÁP ÁN B

Ta sẽ xét xem trong 3 điểm A, B, C điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường  tròn. Từ đó ta sẽ biết được đường tròn cắt những cạnh nào của tam giác ABC.

Ta có: (-1)2 + 22 + 3.(-1) -  5.2 + 2 = -6 < 0 nên điểm A nằm trong đường tròn

  32 +  02+ 3.3 – 5. 0 + 2 =15 > 0 nên điểm B nằm ngoài đường tròn

Và 22 + 32 + 3.2 -  5.3 + 2 = 4 >0 nên điểm C nằm ngoài đường tròn.

Do vậy đường tròn cắt hai cạnh của tam giác là AB và AC.

Chọn C.

Qua điểm A(-1; m) chỉ có một tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi A∈(C

⟺1+ m2−3−5m+8=0

⇔m2-5m+6=0

⇔m=2m=3

Chọn  B

Qua điểm A(m ; m + 2) có hai tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi A nằm ngoài (C)

 ⟺ m2+m+22+4m−2m−4>0⇒2m2+6m>0⇒m>0m<−3

Chọn D

Đường tròn (C): x2+y2+6x−2y−8=0 có tâm I(-3;1) và bán kính R=32.

Giả sử hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ A là B, C (như hình vẽ).

Tứ giác IBAC có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Lại có IB = IC = R nên IBAC là hình vuông. Suy ra, tam giác IBA vuông cân.

Chọn A

Đường tròn (C): x2+y2+4x+2y+4=0 có tâm I(-2;-1) và bán kính R = 1.

Gọi 2 tiếp điểm là B và C.

Ta có: BAC^=600nên BAI^=IAC^=12BAC^=300( tính  chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Vì sinBAI^=sin300=12;  lại có:  sinBAI^=BIAI=RAI

Suy ra:  RAI=12⇔AI=2R=2 ( vì R = 1)

⇔m+22+3−m2=22⇒2m2−2m+9=0 (vô nghiệm).

Chọn D.