30 câu Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu- tơn có đáp án (Mới nhất)

Lời giải. Từ phương trình $3C_{n+1}^2+n{P}_2=4A_n^2\to n=3.$

Với $n=3$, ta có ${\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{3n+1}={\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{10}=$

$\underset{k=0}{\overset{10}{}}{C}_{10}^k.{\left(\frac{1}{x}\right)}^{10‐k}.{\left(x^3\right)}^k=\underset{k=0}{\overset{10}{}}{C}_{10}^k.x^{4k‐10}$

Hệ số của $x^6$ ứng với $4k-10=6\iff k=4$ 

$\to$hệ số cần tìm $C_{10}^4=210$. Chọn D.

Lời giải. Từ phương trình $\frac{2}{C_n^2}+\frac{14}{3C_n^3}=\frac{1}{n}\to n=9.$

Với $n=9$, ta có ${\left(1-\sqrt{3}x\right)}^{2n}={\left(1-\sqrt{3}x\right)}^{18}=$

$\underset{k=0}{\overset{18}{}}{C}_{18}^k.{\left(-\sqrt{3}x\right)}^k=\underset{k=0}{\overset{18}{}}{C}_{18}^k.{\left(-\sqrt{3}\right)}^k.x^k$

Hệ số của $x^9$ ứng với $k=9\to$ hệ số cần tìm $-C_{18}^9{\left(\sqrt{3}\right)}^9$. Chọn A.

Lời giải. Từ phương trình $C_n^3+2n=A_{n+1}^2\to n=8.$

Với $n=8$, ta có

${\left(2x-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{2n}={\left(2x-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{16}$

$=\underset{k=0}{\overset{16}{}}{C}_{16}^k.{\left(2x\right)}^{16‐k}.{\left(-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^k$

$=\underset{k=0}{\overset{16}{}}{C}_{16}^k{.2}^{16‐k}.{\left(-3\right)}^k.x^{16-\frac{4k}{3}}.$

Số hạng không chứa x ứng với $16-\frac{4k}{3}=0\iff k=12$

$\to$ số hạng cần tìm $C_{16}^{12}{.2}^4{.3}^{12}$. Chọn C.

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${\left(3x^2-\frac{2}{x}\right)}^n=\underset{k=0}{\overset{n}{}}{C}_n^k.{\left(3x^2\right)}^{n‐k}.{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k$

$=\underset{k=0}{\overset{n}{}}{C}_n^k{.3}^{n‐k}{\left(-2\right)}^k.x^{2n‐3k}$

Số hạng thứ 3 ứng với $k=2$, kết hợp với giả thiết ta có

$C_n^2{.3}^{n‐2}.4=1080\iff n\left(n-1\right){.3}^n={\mathrm{4.5.3}}^5\iff n=5.$

Hệ số của $x^7$ ứng với $2n-3k=7\iff 10-3k=7\iff k=1$

$\to$ hệ số cần tìm $C_5^1{3}^4\left(-2\right)=-810$. Chọn B.

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${\left(x^3+xy\right)}^{21}=\underset{k=0}{\overset{21}{}}{C}_{21}^k.{\left(x^3\right)}^{21-k}.{\left(xy\right)}^k$

$=\underset{k=0}{\overset{21}{}}{C}_{21}^k.x^{63‐2k}.y^k$

Suy ra khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng

thứ 11 (ứng với k=10) và số hạng thứ 12 (ứng với k=11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10}{x}^{43}{y}^{10}$; $C_{21}^{11}{x}^{41}{y}^{11}$. Chọn D.

Lời giải. Tính tổng các hệ số trong khai triển $\to$ cho $x=1.$

Khi đó $S={\left(3.1-4\right)}^{17}=-1$. Chọn B.

Lời giải. Ta có $P\left(x\right)=a_{1000}{x}^{1000}+a_{999}{x}^{999}+\dots +a_{1}x+a_0.$

Cho $x=1$ ta được $P\left(1\right)=$ $a_{1000}$ $+a_{999}+\dots +a_1+a_0.$

Mặt khác $P\left(x\right)={\left(2x-1\right)}^{1000}\to P\left(1\right)={\left(2.1-1\right)}^{1000}=1.$

Từ đó suy ra $a_{1000}+a_{999}+\dots +a_1+a_0=1$

$\to a_{1000}+a_{999}+\dots +a_1=1-a_0.$

Mà là số hạng không chứa x  trong khai triển $P\left(x\right)={\left(2x-1\right)}^{1000}P\left(x\right)={\left(2x-1\right)}^{1000}$ nên

$a_0=C_{1000}^{1000}{\left(2x\right)}^0{\left(-1\right)}^{1000}=C_{1000}^{1000}=1.$

Vậy $a_{1000}+a_{999}+\dots +a_1=0$. Chọn D.

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$x{\left(1-2x\right)}^5=x.\underset{k=0}{\overset{5}{}}{C}_5^k.{\left(-2x\right)}^{5-k}$

$=\underset{k=0}{\overset{5}{}}{C}_5^k.{\left(-2\right)}^{5-k}.x^{6-k}$

$\to$ số hạng chứa $x^5$tương ứng với $6-k=5\iff k=1.$

Tương tự, ta có $x^2{\left(1+3x\right)}^{10}=x^2.\underset{l=0}{\overset{10}{}}{C}_{10}^l.{\left(3x\right)}^{10‐l}$

$=\underset{l=0}{\overset{10}{}}{C}_{10}^l{.3}^{10‐l}.x^{12‐l}$

$\to$ số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $12-l=5\iff l=7.$

Vậy hệ số của $x^5$ cần tìm $P\left(x\right)$ là $C_5^1.{\left(2\right)}^4+C_{10}^7{.3}^3=3320$. Chọn C.

Lời giải. Từ phương trình $C_n^{n‐2}+6n+5=A_{n+1}^2\to n=10.$

Với $n=10$, khi đó $P\left(x\right)={\left(1-x-3x^3\right)}^n={\left(1-x-3x^3\right)}^{10}.$

Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

$P\left(x\right)={\left(1-x-3x^3\right)}^{10}={\left(1-\left(x+3x^3\right)\right)}^{10}=\underset{k=0}{\overset{10}{}}{C}_{10}^k{\left(-1\right)}^k{\left(x+3x^3\right)}^k$

$=\underset{k=0}{\overset{10}{}}{C}_{10}^k{\left(-1\right)}^k{x}^k{\left(1+3x^2\right)}^k=\underset{k=0}{\overset{10}{}}{C}_{10}^k\underset{l=0}{\overset{k}{}}{C}_k^l{\left(-1\right)}^k{3}^l{x}^{k+2l}$

Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển tương ứng với $\left\{\begin{array}{l}k+2l=4\\ 0\le k\le 10\iff \left(k;l\right)=\left\{\left(4;0\right),\left(2;1\right)\right\}\\ 0\le l\le k\end{array}\right.$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển là $C_{10}^4{C}_4^0+C_{10}^2{C}_2^{1}3=480$. ChọnC.

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có

${\left(1+x+x^2+x^3\right)}^5={\left(1+x\right)}^5{\left(1+x^2\right)}^5$

$=\underset{k=0}{\overset{5}{}}{C}_5^k{x}^k.\underset{l=0}{\overset{5}{}}{C}_5^l{\left(x^2\right)}^l=\underset{k=0}{\overset{5}{}}{C}_5^k.\underset{l=0}{\overset{5}{}}{C}_5^l.x^{k+2l}$

Số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển tương ứng với $k+2l=10\iff k=10-2l.$

Kết hợp với điều kiện ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}k+2l=10\\ k,l\in \mathbb{N}\end{array}\right.\iff 0\le k\le 5,0\le l\le 5$

$\iff \left(k;l\right)=\left\{\left(0;5\right),\left(2;4\right),\left(4;3\right)\right\}.$

Vậy hệ số cần tìm là $C_5^0.C_5^5+C_5^2.C_5^4+C_5^4.C_5^3=101$. Chọn C.

Lời giải. Các biểu thức $\left(1+x\right)$ , ${\left(1+x\right)}^2,\mathrm{....},{\left(1+x\right)}^4$ không chứa số hạng chứa $x^5.$

Hệ số của số hạng chứa $x^5.$ trong khai triển 5 ${\left(1+x\right)}^5$ là $5C_5^5.$

Hệ số của số hạng chứa $x^5.$ trong khai triển 6 ${\left(1+x\right)}^6$ là $6C_6^5.$

Hệ số của số hạng chứa $x^5.$ trong khai triển 7 ${\left(1+x\right)}^7$ là $7C_7^5.$

Hệ số của số hạng chứa $x^5.$ trong khai triển 8 ${\left(1+x\right)}^8$ là $8C_8^5.$

Vậy hệ số của $x^5.$ trong khai triển $P\left(x\right)$ là $5C_5^5+6C_6^5+7C_7^5+8C_8^5=636$. Chọn C.

Lời giải. Áp dụng công thức $C_n^k=C_n^{n‐k}$, ta có $\left\{\begin{array}{l}{C}_{2n}^0=C_{2n}^{2n}\\ C_{2n}^1=C_{2n}^{2n‐1}\\ \dots \\ C_{2n}^{n1}=C_{2n}^{n+1}\end{array}\right.$

Cộng vế theo vế, ta được $C_{2n}^0+C_{2n}^1+\dots +C_{2n}^{n‐1}=$

$C_{2n}^{n+1}+C_{2n}^{n+2}+\dots +C_{2n}^{2n}$. Chọn B.

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${\left(1+x\right)}^n$, ta có

${\left(1+x\right)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\mathrm{...}+C_n^n{x}^n.$

Cho x=1, ta được $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^n={\left(1+1\right)}^n=2^n$. Chọn B.

Lời giải.

Ta có ${\left(1+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}$. ( 11)

Lại có $C_{2n+1}^0=C_{2n+1}^{2n+1}$; $C_{2n+1}^1=C_{2n+1}^{2n}$;

$C_{2n+1}^2=C_{2n+1}^{2n‐1}$; ...; $C_{2n+1}^n=C_{2n+1}^{n+1}$. (2)

Từ ( 1) và (2) , suy ra $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\dots +C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}$

$\iff C_{2n+1}^1+\dots +C_{2n+1}^n=2^{2n}-1\iff 2^{20}-1=2^{2n}-1\iff n=10.$

Vậy $n=10$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Lời giải. Xét khai triển ${\left(x+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0{x}^{2n+1}+C_{2n+1}^1{x}^{2n}+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}.$

Cho x=1, ta được $2^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}$. ( 11)

Cho $x=-1$, ta được $0=-C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1-\dots +C_{2n+1}^{2n+1}$. (2)

Cộng ( 1) và (2) vế theo vế, ta được

$2^{2n+1}=2\left(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}\right)\iff 2^{2n+1}=2.1024\iff n=5$. Chọn A.

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${\left(1+x\right)}^n$, ta có

${\left(1+x\right)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\mathrm{...}+C_n^n{x}^n.$

Cho x=3, ta được $C_n^0+3C_n^1+3^2{C}_n^3+\dots +3^n{C}_n^n={\left(1+3\right)}^n=4^n$. Chọn D.

Lời giải. Khai triển nhị thức Niu‐tơn của ${\left(1+2x\right)}^{12}$, ta có

${\left(1+2x\right)}^{12}=\underset{k=0}{\overset{12}{}}{C}_{12}^k{\left(2x\right)}^k=\underset{k=0}{\overset{12}{}}{C}_{12}^k{2}^k{x}^k$

Suy ra $a_k=C_{12}^k{2}^k.$

Hệ số $a_k$ lớn nhất khi $\left\{\begin{array}{l}{a}_k\ge a_{k+1}\\ a_k\ge a_{k‐1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{2}^k.c_{12}^k\ge 2^{k+1}{C}_{12}^{k+1}\\ 2^k{c}_{12}^k\ge 2^{k‐1}{C}_{12}^{k‐1}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{12-k}\ge \frac{2}{k+1}\\ \frac{2}{k}\ge \frac{1}{12-k+1}\end{array}\right.\iff \frac{23}{3}\le k\le \frac{26}{3}$

$\frac{0\le k\le 12}{k\in \mathbb{N}}\Rightarrow k=8$

Vậy hệ số lớn nhất là $a_8=C_{12}^8{.2}^8$. Chọn B.