11 câu Trắc nghiệm Nhị thức Niu-tơn có đáp án (Vận dụng)

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

${\left(3x-1\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$

Thay x=1 vào 2 vế, ta có: ${\left(3.1-1\right)}^n=a_0+a_1+a_2+...+a_n$

Mà tổng các hệ số trong khai triển bằng $2^{11}$ nên ${(3-1)}^n=2^{11}\iff n=11$

Số hạng tổng quát của khai triển ${(3x-1)}^{11}$ là:

$T_{k+1}=C_{11}^k{\left(3x\right)}^{11-k}.{(-1)}^k=C_{11}^k.3^{11-k}{(-1)}^k.x^{11-k}$

$a_0$ là hệ số số hạng chứa $x^0$

$a_1$ là hệ số số hạng chứa $x^1$

...

$a_6$ là hệ số số hạng chứa $x^6$

$\Rightarrow x^{11-k}=x^6\Rightarrow k=5$

Hệ số số hạng chứa $x^6$ là: $C_{11}^5.3^6.{(-1)}^5=-336798$.

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $n\ge 2$

Từ giả thiết, ta có:

$$\begin{gathered} 6C_{n+1}^{n-1}=A_n^2+160\iff 6.\frac{(n+1)!}{(n-1)!.2!}=\frac{n!}{(n-2)!}+160 \\ \iff 3n(n+1)=n(n-1)+160 \\ \iff 2n^2+4n-160=0 \\ \iff n=8( vì điều kiện n\ge 2) \end{gathered}$$

Khi đó, ta được khai triển $(1-2x^3){(2+x)}^8={(2+x)}^8-2x^3{(2+x)}^8$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

${\left(2+x\right)}^8=\sum _{k=0}^8{C}_8^k.2^{8-k}.x^k$

Suy ra hệ số của $x^7$ ứng với k+3=7 $\iff$k=4

Hệ số của $x^7$ trong khai triển $x^3{(2+x)}^8 là 2^4.C_8^4$

Vậy hệ số cần tìm là $2.C_8^7-2.2^4.C_8^4=-2224$.

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: A

Xét ${(1+2x)}^n=a_0+a_1{x}^1+...+a_n{x}^x$.

Thay $x=\frac{1}{2}$ vào hai vế

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\left(1+2.\frac{1}{2}\right)}^n=a_0+a_1.{\frac{1}{2}}^1+...+a_n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n \\ \iff 2^n=4096\iff 2^n=2^{12}\iff n=12 \end{gathered}$$

Biểu thức là: ${\left(1+2x\right)}^{12}$

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k+!}=C_{12}^k.2^k.x^k$

Hệ số lớn nhất$\iff y=C_{12}^k.2^k max(0\le k\le 12)$

Mà hệ số max$\Rightarrow k_{max}\Rightarrow$Muốn k max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1)

Ta có hệ 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{C}_{12}^{k-1}.2^{k-1}<C_{12}^k.2^k\left(1\right)\\ C_{12}^{k+1}.2^{k+1}<C_{12}^k.2^k\left(2\right)\end{array}\right. \\ \left(1\right)\Rightarrow \frac{12!}{(k-1)!(12-k+1)!}.\frac{2^k}{2}<\frac{12!}{k!(12-k)!}.2^k \\ \iff \frac{1}{(k-1)!(13-k)(12-k)!}.\frac{1}{2}<\frac{1}{k(k-1)!(12-k)!} \\ \iff \frac{1}{2.(13-k)}<\frac{1}{k}\iff \frac{1}{13-k}<\frac{2}{k} \end{gathered}$$

(2) ta làm tương tự như trên:
$\Rightarrow \frac{2}{k+1}<\frac{1}{12-k}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{13-k}<\frac{2}{k}\\ \frac{2}{k+1}<\frac{1}{12-k}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}k<\frac{26}{3}\\ k>\frac{23}{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}k<8,6\\ k>7,6\end{array}(Mà k là số nguyên)\Rightarrow k=8\right.\right.$

Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là y(8)=$C_{12}^8.2^8=126720.$

Đáp án cần chọn là: C

$$\begin{gathered} C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}=1024. \\ \iff 2\left[C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}\right]=2.1024 \end{gathered}$$

$\iff \left(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}\right)+\left(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}\right)=2.1024(*)$

Vì $C_n^k=C_n^{n-k}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{C}_{2n+1}^0=C_{2n+1}^{2n+1}\\ C_{2n+1}^1=C_{2n+1}^{2n}\\ ...\end{array}\right.$

$\Rightarrow C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}=C_{2n+1}^{2n+1}+...+C_{2n+1}^1$

(Nói cách khác: Tổng các C có chỉ số chẵn= Tổng các C có chỉ số lẻ)

$$\begin{gathered} (*)\Rightarrow \left(C_{2n+1}^{2n+1}+...+C_{2n+1}^1\right)+(C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n})=2.1024 \\ \iff C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}=2048 \\ \iff {(1+1)}^{2n+1}=2048\iff 2^{2n+1}=2024\iff 2n+1=11\iff n=5 \end{gathered}$$

+) Số hạng tổng quát của khai triển: ${\left(2-3x\right)}^{10} là:\hspace{0.17em}{T}_{k+1}=C_{10}^k.2^{10-k}.{(-3)}^k.x^k$

Số hạng chứa $x^5\Rightarrow x^5=x^k\Rightarrow k=5$

Hệ số của số hạng chứa $x^5$ là $C_{10}^5.2^5.{(-3)}^5=-1959552$.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: ${\left(1+x\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1.x+C_{2n+1}^2{x}^2+...+C_{2n+1}^{2n}.x^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}.x^{2n+1}\left(1\right)$

Mặt khác:

$$\begin{gathered} {(1+x)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+...+C_n^{n-1}{x}^{n-1}+C_n^n{x}^n \\ {(1+x)}^{n+1}=C_{n+1}^0+C_{n+1}^{1}x+C_{n+1}^x{x}^2+...+C_{n+1}^{n-1}{x}^{n-1}+C_{n+1}^n{x}^n+C_{n+1}^{n+1}{x}^{n+1} \end{gathered}$$

Suy ra:

${(1+x)}^n.{(1+x)}^{n+1}=\left(Cn0+Cn1x+Cn2.x\right)$²+...+Cnnxⁿ.Cn+10+Cn+11x+...+Cn+1n+1xⁿ⁺¹(2)

Từ (1) và (2), đồng nhất hệ số của $x^n$ ta được:

$C_n^0.C_{n+1}^n+C_n^1.C_{n+1}^{n-1}+...+C_n^{n-1}.C_{n+1}^n+C_n^n.C_{n+1}^0=C_{2n+1}^n$

Với n=9 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{19}^9=92378.$

Với n=8 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{17}^8=24310.$

Với n=7 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{15}^7=6435.$

Với n=6 ta có: $C_{2n+1}^n=C_{13}^6=1716.$