12 câu Trắc nghiệm Nhị thức Niu tơn có đáp án (Phần 2)

Trong khai triển ${\left(a+2\right)}^{n+6},\left(n\in \mathbb{N}\right)$ có tất cả n+6 +1 = n +7 số hạng.

Do đó $n+7=17\iff n=10$.

Chọn đáp án C

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$\begin{array}{l}{\left(2x-x^2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2x\right)}^{10-k}.{\left(-x^2\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2\right)}^{10-k}.{(-1)}^k.x^{10-k+2k}\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2\right)}^{10-k}.{(-1)}^k.x^{10+k}.\end{array}$

Hệ số của $x^{12}$ ứng với $10+k=12\iff k=2$ 

Hệ số cần tìm $C_{10}^2{2}^8.$

Chọn đáp án B

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^9=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.x^{9-k}.{\left(\frac{1}{2x}\right)}^k=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.{\left(\frac{1}{2}\right)}^k.x^{9-2k}.$

Hệ số của $x^3$ ứng với $9-2k=3\iff k=3$ 

Vậy số hạng cần tìm $\frac{1}{8}{C}_9^3{x}^3.$ 

Chọn đáp án B.

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$$\begin{gathered} {\left(x^3+xy\right)}^{21}=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.{\left(x^3\right)}^{21-k}.{\left(xy\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-3k}.x^k.y^k=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-2k}.y^k. \end{gathered}$$

Suy ra khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k= 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k =11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10}{x}^{43}{y}^{10}; C_{21}^{11}{x}^{41}{y}^{11}$.

Chọn đáp án D.

* Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$$\begin{gathered} x{\left(1-2x\right)}^5=x.\sum _{k=0}^5{C}_5^k.1^{5- k}{\left(-2x\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^5{C}_5^k.{\left(-2\right)}^k.x^{k+\hspace{0.17em}1}. \end{gathered}$$

Suy ra, số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $k+ 1=5\iff k=4$.

* Tương tự, ta có $x^2{\left(1+3x\right)}^{10}=x^2.\sum _{l=0}^{10}{C}_{10}^l.1^{10- l}.{\left(3x\right)}^l=\sum _{l=0}^{10}{C}_{10}^l{.3}^l.x^{l+\hspace{0.17em}2}$.

Suy ra, số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $l+\hspace{0.17em}2=5\iff l=3$.

Vậy hệ số của $x^5$ cần tìm P(x)  là $C_5^4.{\left(-2\right)}^4+C_{10}^3{.3}^3=3320$.

Chọn đáp án C.

Ta có $2^{2n+1}={\left(1+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$.         (1)

Lại có $C_{2n+1}^0=C_{2n+1}^{2n+1}; C_{2n+1}^1=C_{2n+1}^{2n}; C_{2n+1}^2=C_{2n+1}^{2n-1};...; C_{2n+1}^n=C_{2n+1}^{n+1}$.  (2)

Từ (1) và (2), suy ra $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}$    

$\iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}-C_{2n+1}^0$

$$\begin{gathered} \iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=2^{2n}-1 \\ \iff 2^{20}-1=2^{2n}-1\iff n=10 \end{gathered}$$.

Vậy n =10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.

Các biểu thức $\left(1+x\right),{\left(1+x\right)}^2,\cdots ,{\left(1+x\right)}^4$ không chứa số hạng chứa $x^5$.

Hệ số của số hạng chứa $x^5$ trong khai triển $5{\left(1+x\right)}^5$ là $5C_5^5.$

Hệ số của số hạng chứa $x^5$ trong khai triển $6{\left(1+x\right)}^6$ là $6C_6^5.$

Hệ số của số hạng chứa $x^5$ trong khai triển $7{\left(1+x\right)}^7$ là $7C_7^5.$

Hệ số của số hạng chứa $x^5$ trong khai triển $8{\left(1+x\right)}^8$ là $8C_8^5.$

Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển P(x) là  $5C_5^5+6C_6^5+7C_7^5+8C_8^5=636$.

 Chọn đáp án C.

Xét khai triển ${\left(x+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0{x}^{2n+1}+C_{2n+1}^1{x}^{2n}+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$.

Cho x =1 , ta được $2^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$.(1)

Cho x= -1, ta được $0=-C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1-\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$. (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được :

$\begin{array}{l}{2}^{2n+1}=2\left(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}\right)\\ \iff 2^{2n+1}=2.1024=2^{11}\\ \iff 2n+1=11\iff n=5\end{array}$.

 Chọn đáp án A.

Xét khai triển: ${(1+x)}^n=C_n^0+x{C}_n^1+x^2{C}_n^2+\mathrm{...}+x^n{C}_n^n$

Cho x= 2 ta có: $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{...}+2^n{C}_n^n=3^n$

Do vậy ta suy ra $3^n=243=3^5\Rightarrow n=5$.

Chọn đáp án A

* Xét khai triển:

${(1+x)}^{2011}=C_{2011}^0+x{C}_{2011}^1+x^2{C}_{2011}^2+\mathrm{...}+x^{2010}{C}_{2011}^{2010}+x^{2011}{C}_{2011}^{2011}$

* Cho x= 2  ta có được:

$3^{2011}=C_{2011}^0+2.C_{2011}^1+2^2{C}_{2011}^2+\mathrm{...}+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}+2^{2011}{C}_{2011}^{2011}$ (1)

* Cho x= -2 ta có được:

$-1=C_{2011}^0-2.C_{2011}^1+2^2{C}_{2011}^2-\mathrm{...}+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}-2^{2011}{C}_{2011}^{2011}$  (2)

* Lấy (1) + (2) ta có:

$2\left(C_{2011}^0+2^2{C}_{2011}^2+\mathrm{...}+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}\right)=3^{2011}-1$

Suy ra:$S=C_{2011}^0+2^2{C}_{2011}^2+\mathrm{...}+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}=\frac{3^{2011}-1}{2}$.

Chọn đáp án D

Chọn C

Ta có: 

$$\begin{gathered} (1 + ax). {(1- 3x)}^6= {(1- 3x)}^6+\hspace{0.17em}ax.{(1-3x)}^6 \\ = \sum _{k= 0}^6{C}_6^k. 1^{6- k}. {(- 3x)}^k+\hspace{0.17em} a x. \sum _{k= 0}^6{C}_6^k. 1^{6- k}. {(- 3x)}^k \\ = \sum _{k= 0}^6{C}_6^k. {(-3)}^{ k}. x^k+\hspace{0.17em}\sum _{k= 0}^{6}a.C_6^k. {(-3)}^{ k}. x^{k+1} \end{gathered}$$

Do đó, hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển  là: 

$$\begin{gathered} C_6^3. {(-3)}^3 +\hspace{0.17em}a.C_6^2. {(-3)}^2= 405 \\ \iff -540 + 135a = 405 \\ \iff a = 7 \end{gathered}$$

Vậy a = 7

Ta có ${\left(2+1\right)}^{2017}=C_{2017}^0{.2}^{2017}+C_{2017}^1{.2}^{2016}+\mathrm{...}+C_{2017}^{2017}{.2}^0$

${\left(2-1\right)}^{2017}=C_{2017}^0{.2}^{2017}+C_{2017}^1{.2}^{2016}.\left(-1\right)+\mathrm{...}+C_{2017}^{2017}{.2}^0.{\left(-1\right)}^{2017}$

Trừ từng vế hai đẳng thức trên ta được:

$3^{2017}-1=2\left(C_{2017}^1{.2}^{2016}+C_{2017}^3{.2}^{2014}+\mathrm{...}+C_{2017}^{2017}{.2}^0\right)$

Vậy $M=\frac{3^{2017}-1}{2}$

Chọn đáp án D.