13 câu Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Bài 3 (Có đáp án): Nhị thức Niu-tơn

Sử dụng nhị thức Niuton với a = x, b = - m2

$\begin{array}{l}{\left(x-m^2\right)}^4={\left[x+(-m^2)\right]}^4\\ =C_4^0.x^4+\text{}{C}_4^1.x^3.\left(-m^2\right)+C_4^2.x^2.{\left(-m^2\right)}^2+C_4^3.x.{\left(-m^2\right)}^3+\text{}{C}_4^4.{\left(-m^2\right)}^4\\ =x^4-4x^3{m}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}6x^2{m}^4-4x.m^6+m^8\end{array}$

Chọn đáp án D

Nhận xét: học sinh có thể nhầm khi áp dụng sai công thức để dẫn đến các kết quả A,B và C

Ta có

Theo nhị thức Newton ta có:

${(3+x)}^{2015}=\text{}{C}_{2015}^0.3^{2015}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_{2015}^1{.3}^{2014}.x+\text{}{C}_{2015}^2{.3}^{2013}.x^2+\mathrm{....}+C_{2015}^{2014}\mathrm{.3.}{x}^{2014}+\text{}{C}_{2015}^{2015}.x^{2015}$

Thay x = -1 ta được:

${(3-1)}^{2015}=\text{}{C}_{2015}^0.3^{2015}-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_{2015}^1{.3}^{2014}+\text{}{C}_{2015}^2{.3}^{2013}-\mathrm{....}+C_{2015}^{2014}.3-\text{}{C}_{2015}^{2015}$

Suy ra,  $S = 2^{2015}$

 Ta chọn đáp án A

Số hạng thứ k+1 trong khai triển ${(5x+2y)}^4 là C_4^k{\left(5x\right)}^4.{\left(2y\right)}^k$

Số hạng chính giữa là số hạng thứ ba ứng với k+1=3↔k=2 nên là C42(5x)2.(2y)2=600x2y2

Chọn D

Điều kiện n∈N,n≥2

Ta có:  $C_n^n+C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=79$

$$\begin{gathered} \iff 1+\hspace{0.17em} n +\hspace{0.17em}\frac{ n. (n - 1)}{2}= 79 \\ \iff 2+\hspace{0.17em}2n +\hspace{0.17em}n (n- 1) = 79. 2 \\ \iff n^2+\hspace{0.17em}n - 156= 0 \end{gathered}$$

Suy  ra;  n = -13 ( loại ) hoặc n = 12 ( thỏa mãn ).

Số hạng tổng của khai triển (2x-1)12 là

$C_{12}^k. {\left(2x\right)}^{12- k }. {(-1)}^k = {(-1)}^k. C_{12}^k.2^{12- k}.x^{12- k}$

Để số hạng  này chứa $x^5$ thì 12- k = 5 ↔k=7

Vậy hệ số $x^5$ trong khai triển (2x-1)12 là (-1)7. C127.25= -25344

Chọn C

Số hạng thứ năm ứng với k = 4.

Số hạng thứ 5 trong khai triển đã cho  là: 

$C_{11}^4. x^{11- 4}. {\left(\frac{-2}{x}\right)}^4= C_{11}^4. x^7. \frac{{(-2)}^4}{x^4} = \hspace{0.17em} C_{11}^4. {(-2)}^4. x^3= 5280x^3$

Nhận xét. Học sinh có thể nhầm số hạng thứ 5 ứng với k=5 nên là

Hoặc tính nhầm dẫn đến chọn A, hoặc chọn C

Chọn B

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển đã cho  là: 

$C{\hspace{0.17em}}_{20}^k. x^{20- k}. {( 5y)}^{k }=C{\hspace{0.17em}}_{20}^k. 5^k. x^{20- k}. y^{k }$

Để số hạng này chứa $x^6. y^{14}$ thì:

$\left\{\begin{array}{l}20- k = 6\\ k = 14\end{array}\iff k = 14\right.$

Vây hệ số chứa$x^6. y^{14}$ trong khai triển đã cho là  

 $C_{20}^{14}.5^{14}$

Chọn B

+ Xét khai triển x${(1-2x)}^5$

$$\begin{gathered} {(1- 2x)}^5=\sum _{k = 0}^5{C}_5^k. 1^{5- k}. {(- 2x)}^{k }= \sum _{k = 0}^5{C}_5^k. {(-2)}^k. x^{k } \\ \Rightarrow x. {(1-2x)}^5 = \sum _{k = 0}^5{C}_5^k. {(-2)}^k. x^{k+\hspace{0.17em}1 } \end{gathered}$$

Hệ số của x5 trong khai triển x(1-2x)5 ( ứng với  k= 4)  là $C_5^4. {(-2)}^4$

+Xét khai triển $x^2{(1+\hspace{0.17em}3x)}^{10}$

$$\begin{gathered} {(1+\hspace{0.17em}3x)}^{10}=\sum _{k = 0}^{10}{C}_{10}^k. 1^{10- k}. {\left(3x\right)}^{k }= \sum _{k = 0}^{10}{C}_{10}^k. 3^k. x^{k } \\ \Rightarrow x^2. {(1+3x)}^{10} = \sum _{k = 0}^{10}{C}_{10}^k. 3^k. x^{k+\hspace{0.17em}2 } \end{gathered}$$

Hệ số của x5 trong khai triển $x^2{(1+\hspace{0.17em}3x)}^{10}$( ứng với  k= 3)  là $C_{10}^3. 3^3$

Do đó hệ số của x5 trong khai triển x(1-2x)5+ x2(1+3x)10 là

(-2)4.C54 + 33.C103= 3320

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai  triển${(1- 3x)}^6$ là : $C_6^k.1^{6- k}. {(- 3x)}^k= C_6^k. {(- 3)}^k. x^k$  

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(1+ax\right){\left(1-3x\right)}^6$ là

$$\begin{gathered} \left(1+ax\right)C_6^k.{\left(-3\right)}^k. x^k = C_6^k.{\left(-3\right)}^k. x^k +\hspace{0.17em}ax.C_6^k.{\left(-3\right)}^k. x^k \\ = C_6^k.{\left(-3\right)}^k. x^k +\hspace{0.17em}a.C_6^k.{\left(-3\right)}^k.x^{k+\hspace{0.17em}1} \end{gathered}$$.

Hệ số chứa $x^3$ trong khai triển là

$C_6^3.{\left(-3\right)}^3+a.C_6^2.{\left(-3\right)}^2=-540+135a = 405$

$\Rightarrow a=7$

Chọn B

Chọn C

Vế trái của đẳng thức bằng (3-1)n =2n.

Do đó 2n = 2048=211,

Suy ra n=11

Chọn C

+ Áp dụng khai triển nhị thức niu ton với a = 1; b = - 2 ta được :

$C_n^0-2C_n^1+2^2 C_n^2-\dots + {(-1)}^n{2}^n{C}_n^n= {(1- 2)}^n= {(-1)}^n$

Nhận xét Học sinh dễ mắc những sai lầm :

Coi (-1)n = -1 ( chọn B) hoặc (-1)n= 1 ( chọn A)

Hoặc tính tổng trên bằng (1+2)n = 3n ( chọn D)

Chọn B

Hệ số chứa $x^8$ trong khai triển  ${(1+\hspace{0.17em}x)}^8$ là $C_8^8$

Hệ số chứa $x^8$ trong khai triển  ${(1+\hspace{0.17em}x)}^9$ là $C_9^8$

Hệ số chứa $x^8$ trong khai triển  ${(1+\hspace{0.17em}x)}^{10}$ là $C_{10}^8$

Hệ số chứa $x^8$ trong khai triển  ${(1+\hspace{0.17em}x)}^{11}$ là $C_{11}^8$

Hệ số chứa $x^8$ trong khai triển  ${(1+\hspace{0.17em}x)}^{12}$ là $C_{12}^8$

Ta có a8= C88+C98+C108+C118+C128= 1+9+45+165+495= 715