25 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án
25 câu hỏi
Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì.Công thức nào sau đây là đúng:
sđ (Ou,Ov) + sđ (Ow,Ov) = sđ (Ou,Ow) + \[k{360^0}(k \in Z)\]
sđ (Ou,Ov) + sđ (Ov,Ow) = sđ (Ou,Ow) + \[k{360^0}(k \in Z)\]
sđ (Ou,Ov) − sđ (Ov,Ow) = sđ (Ou,Ow) + \[k{360^0}(k \in Z)\]
sđ (Ou,Ov) − sđ (Ow,Ov) = sđ (Ou,Ow) + \[k{360^0}(k \in Z)\]
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Công thức nào sau đây là đúng về mối quan hệ giữa góc và rad ?
\[{{\rm{1}}^{\rm{0}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{360}}}}\] rad
\[{{\rm{1}}^{\rm{0}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{180}}}}\] rad
\[1\,\,rad\,{\rm{ = }} - {\left( {\frac{{{\rm{90}}}}{{\rm{\pi }}}} \right)^{\rm{0}}}\]
\[1\,\,rad\,{\rm{ = }}{\left( {\frac{{{\rm{90}}}}{{\rm{\pi }}}} \right)^{\rm{0}}}\]
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[\widehat {{\rm{uOv}}}{\rm{ = 3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}\].Giá trị \[\widehat {{\rm{uOv}}}\]khi đổi sang rad là:
\[\frac{\pi }{4}\]
\[\frac{\pi }{5}\]
\[\frac{{3\pi }}{4}\]
\[\frac{{2\pi }}{5}\]
\[{\rm{3}}{{\rm{6}}^{{\rm{0 }}}}{\rm{ = 36 \times }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{5}}}\]
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[\widehat {{\rm{uOv}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}\]. Giá trị \[\widehat {{\rm{uOv}}}\] khi đổi sang độ là:
300
1200
1500
600
\[\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}} \times {\left( {\frac{{{\rm{180}}}}{{\rm{\pi }}}} \right)^{\rm{0}}}{\rm{ = 15}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Một đường tròn có đường kính là 50cm. Độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1200 là:
104,72cm
26,18cm
78,54cm
52,36cm
Bán kính đường tròn là:
\[{\rm{R = }}\frac{{\rm{D}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{50}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 25cm}}\]
Độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1200 là:
\[l {\rm{ = R\alpha = 25}}{\rm{.12}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{.}}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}}} \approx 52,36{\rm{cm}}\]
Chọn đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
Trên đường tròn lượng giác, cho góc lượng giác có số đo \[\frac{\pi }{3}\] rad thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác trên đều có số đo dạng:
\(\frac{\pi }{3}\)
\[\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{,(k}} \in {\rm{Z)}}\]
\[\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k2\pi , (k}} \in {\rm{Z)}}\]
\[\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k\pi , (k}} \in {\rm{Z)}}\]
Mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác trên đều có số đo dạng: \[\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k2\pi , (k}} \in {\rm{Z)}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho \[\left( {Ou,Ov} \right) = {\rm{3}}{{\rm{5}}^{\rm{0}}}{\rm{ + k36}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{(k}} \in {\rm{Z)}}\]Với giá trị nào của k thì (Ou,Ov) = 7550?
k = 1
k = −2
k = 2
k = 3
\[\left( {Ou,Ov} \right) = {\rm{3}}{{\rm{5}}^{\rm{0}}}{\rm{ + k36}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} = {755^0} \Rightarrow k = 2\]
Đáp án cần chọn là: C
Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
\[{\rm{sin\alpha > 0}}\]
\[{\rm{cos\alpha < 0}}\]
>
\[{\rm{tan\alpha < 0}}\]
>
\[{\rm{cot\alpha < 0}}\]
>
Chọn đáp án A.
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai góc nhọn α và β bù nhau. Hệ thức nào sau đây là đúng?
\[{\rm{sin\alpha = sin\beta }}\]
\[{\rm{cos\alpha = sin\beta }}\]
\[{\rm{cos\beta = sin\alpha }}\]
\[{\rm{tan\alpha = tan\beta }}\]
Chọn đáp án A.
Đáp án cần chọn là: A
Cho góc α thỏa mãn\[\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ < \alpha < \pi }}\]. Xét các mệnh đề sau:
I. \[{\rm{cos}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{\alpha }}} \right){\rm{ > 0}}\] II. \[{\rm{sin}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{\alpha }}} \right){\rm{ > 0}}\] III. \[{\rm{tan}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{\alpha }}} \right){\rm{ > 0}}\]
Mệnh đề nào sai ?
Chỉ I
Chỉ II
Chỉ II và III
Cả I, II và III
\[\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ < \alpha < \pi }} \Leftrightarrow - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ < }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{\alpha < 0}}\] nên \[\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{\alpha }}\] thuộc góc phần tư thứ IV.
Chỉ I đúng; II và III sai.
Chọn đáp án C.
Đáp án cần chọn là: C
Cho\[{\rm{cot\alpha = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}\], biết \[{\rm{\pi < \alpha < }}\frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}\]. Tính\[{\rm{cos\alpha }}\]
</>
\[\frac{4}{5}\]
\[\frac{3}{5}\]
\[ - \frac{3}{5}\]
\[ - \frac{4}{5}\]
Ta có:\[{\rm{tan\alpha }}{\rm{.cot\alpha = 1}} \Rightarrow {\rm{tan\alpha = }}\frac{{\rm{1}}}{{\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}\]
Ta lại có:\[\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha }}}}{\rm{ = 1 + ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha = 1 + }}{\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{25}}}}{{\rm{9}}} \Rightarrow {\rm{cos\alpha = \pm }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}\]
Do\( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\) nên\[{\rm{cos\alpha < 0}}\]. Vậy\[{\rm{cos\alpha = }} - \frac{3}{5}\]
Chọn đáp án C.
Đáp án cần chọn là: C
Cho\[{\rm{cos\alpha = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}\], biết\( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Giá trị biểu thức\[{\rm{P = sin\alpha + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{cos\alpha }}}}\] bằng:
\[ - \frac{1}{5}\]
\[\frac{7}{5}\]
\[\frac{{37}}{{15}}\]
\[\frac{{13}}{{15}}\]
Ta có:\[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha = 1}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha = 1}} - \frac{{\rm{9}}}{{{\rm{25}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{16}}}}{{{\rm{25}}}} \Leftrightarrow {\rm{sin\alpha = \pm }}\frac{4}{5}\]
Do\( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên\[{\rm{sin\alpha < 0}}\]. Do đó\[{\rm{sin\alpha = }} - \frac{4}{5}\]
\[ \Rightarrow {\rm{P = sin\alpha + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{cos\alpha }}}}{\rm{ = }} - \frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{3}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{13}}}}{{{\rm{15}}}}\]
Chọn đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
Cho \[{\rm{tan\alpha = 3}}\]. Tính\[{\rm{P = }}\frac{{{\rm{2sin\alpha }} - {\rm{cos\alpha }}}}{{{\rm{sin\alpha + cos\alpha }}}}\]
\[\frac{3}{2}\]
\[\frac{5}{4}\]
\[3\]
\[\frac{2}{5}\]
Chia cả tử và mẫu của P cho\[{\rm{cos\alpha }} \ne 0\]
\[{\rm{P = }}\frac{{{\rm{2sin\alpha }} - {\rm{cos\alpha }}}}{{{\rm{sin\alpha + cos\alpha }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2tan\alpha }} - {\rm{1}}}}{{{\rm{tan\alpha + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{\rm{.3}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{4}}}\]
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Cho \[{\rm{tan\alpha + cot\alpha = 2}}\]. Tính \[{\rm{P = ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha + co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha }}\]
1
4
2
3
\[{\rm{tan\alpha + cot\alpha = 2}} \Rightarrow {{\rm{(tan\alpha + cot\alpha )}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 4}} \Rightarrow {\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha + co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha + 2tan\alpha }}{\rm{.cot\alpha = 4}}\]
\[ \Rightarrow {\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha + co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha + 2 = 4}} \Rightarrow {\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha + co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{\alpha = 2}}\]
Chọn đáp án C.
Đáp án cần chọn là: C
Hai góc lượng giác \(\frac{\pi }{3}\) và \[\frac{{{\rm{m\pi }}}}{{{\rm{12}}}}\] có cùng tia đầu và tia cuối khi m có giá trị là:
m = 4 + 24k
m = 4 + 14k
m = 4 + 20k
m = 4 + 22k
Để hai góc lượng giác trùng nhau thì tồn tại một số nguyên k sao cho
\[\frac{{{\rm{m\pi }}}}{{{\rm{12}}}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ = k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{m}} - {\rm{4 = 24k}} \Leftrightarrow {\rm{m = 4 + 24k}}\]
Chọn đáp án A.
Đáp án cần chọn là: A
Góc lượng giác (Ou, Ov) có số là \[ - \frac{{{\rm{133\pi }}}}{{\rm{3}}}\]thì góc (Ou, Ov) có số đo dương nhỏ nhất là:
\[\frac{{{\rm{10\pi }}}}{{\rm{3}}}\]
\[\frac{{{\rm{11\pi }}}}{{\rm{3}}}\]
\[\frac{{{\rm{8\pi }}}}{{\rm{3}}}\]
\[\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{3}}}\]
Ta có\[\left( {{\rm{Ou, Ov}}} \right){\rm{ = }} - \frac{{{\rm{133\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{ = }} - \frac{{{\rm{133\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k2\pi > 0}} \Rightarrow {\rm{k > }}\frac{{{\rm{133}}}}{{\rm{6}}}\]
Chọn\[{\rm{k = 23}} \Rightarrow {\rm{(Ou,Ov) = }} - \frac{{{\rm{133\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{ + 46\pi = }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{3}}}\]
Chọn đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay được góc 2700 ?
\(\frac{2}{3}\) phút
\(\frac{1}{3}\) phút
\(\frac{1}{4}\) phút
\(\frac{1}{2}\) phút
Đổi\[{\rm{27}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{ = 27}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} \times \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}{\rm{.2\pi }}\]
Vậy đu quay quay được 2700 khi nó quay được \(\frac{3}{4}\) vòng
Đu quay quay được 1 vòng trong \(\frac{1}{3}\) phút
Đu quay quay được \(\frac{3}{4}\) vòng trong \[\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{.}}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\]phút
Chọn đáp án C.
Đáp án cần chọn là: C
Rút gọn biểu thức\[{\rm{P = }}\frac{{{\rm{sin}}\left( { - {\rm{23}}{{\rm{4}}^{\rm{0}}}} \right) - {\rm{cos21}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}}}{{{\rm{sin14}}{{\rm{4}}^{\rm{0}}} - {\rm{cos12}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}}}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}\]
– 2
2
1
– 1
\[{\rm{P = }}\frac{{{\rm{sin}}\left( { - {\rm{23}}{{\rm{4}}^{\rm{0}}}} \right) - {\rm{cos21}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}}}{{{\rm{sin14}}{{\rm{4}}^{\rm{0}}} - {\rm{cos12}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}}}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}} = \frac{{ - sin\left( {{{180}^0} + {{54}^0}} \right) - cos\left( {{{180}^0} + {{36}^0}} \right)}}{{sin\left( {{{180}^0} - {{36}^0}} \right) - cos\left( {{{90}^0} + {{36}^0}} \right)}}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}\]
\[ = \frac{{sin{{54}^0} + cos{{36}^0}}}{{sin{{36}^0} + sin{{36}^0}}}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}} = \frac{{sin\left( {{{90}^0} - {{36}^0}} \right) + cos{{36}^0}}}{{sin{{36}^0} + sin{{36}^0}}}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}\]
\[ = \frac{{cos{{36}^0} + cos{{36}^0}}}{{sin{{36}^0} + sin{{36}^0}}}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}} = 2\frac{{cos{{36}^0}}}{{sin{{36}^0}}}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}} = 2\cot {36^0}{\rm{.tan3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}} = 2\]
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Rút gọn biểu thức\[{\rm{A = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 3co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\], ta được:
2
−2
1
−1
\[{\rm{A = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 3co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[{\rm{ = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[{\rm{ = }} - {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\left( {{\rm{1}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right){\rm{ + 2}}\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right){\rm{ + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[{\rm{ = }} - {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2 + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = }} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2 + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 2}}\]
Chọn đáp án A.
Đáp án cần chọn là: A
Rút gọn biểu thức\[{\rm{B = }}\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}} - {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}\], ta được:
−2
2
1
−1
\[{\rm{B = }}\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x - si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}} - {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{y = }}\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}\]
\[{\rm{B = }}\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{y}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x(1}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{y)}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}\]
\[{\rm{B = }}\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{ - si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y(1}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x)}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xsi}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{y}}}}{\rm{ = }} - {\rm{1}}\]
Chọn đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
Cho \[{\rm{3si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\]. Giá trị\[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + 3co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}}\]bằng:
2
−2
1
−1
Ta có:
\[{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} \Rightarrow {\rm{3si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x = 3si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\left( {{\rm{1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}}\]
\[ \Rightarrow {\rm{3si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\left( {{\rm{1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + 2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 0}}\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right)\left( {{\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 3}}} \right){\rm{ = 0}} \Leftrightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\]
Vậy\[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + 3co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x = si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + 3}}{\left( {{\rm{1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}{\rm{ + 3}}{\left( {{\rm{1}} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = 1}}\]
Chọn đáp án C.
Đáp án cần chọn là: C
Rút gọn biểu thức\[{\rm{M = 2}}{\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}} - \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{8}}}{\rm{x + si}}{{\rm{n}}^{\rm{8}}}{\rm{x}}} \right)\]ta được:
1
−2
0
−1
\[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x = }}{\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 1}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[ \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{8}}}{\rm{x + si}}{{\rm{n}}^{\rm{8}}}{\rm{x = }}{\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}}\]
\[{\rm{ = }}{\left( {{\rm{1}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x = 2si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\rm{4si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}\]
\[{\rm{M = 2}}{\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}} - \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{8}}}{\rm{x + si}}{{\rm{n}}^{\rm{8}}}{\rm{x}}} \right)\]
\[{\rm{M = 2}}{\left( {{\rm{1}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}} - \left( {{\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\rm{4si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}} \right)\]
\[{\rm{M = 2}}{\left( {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)^{\rm{2}}} - \left( {{\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\rm{4si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}} \right)\]
\[{\rm{M = 2}}\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}} \right) - \left( {{\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{4}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{4}}}{\rm{x}} - {\rm{4si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{xco}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}} \right){\rm{ = 1}}\]
Chọn đáp án A.
Đáp án cần chọn là: A
Cho \[{\rm{C = 6co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 5si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]. Giá trị lớn nhất của biểu thức C là:
1
5
6
11
\[{\rm{C = 6co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 5si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 6}}\left( {{\rm{1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right){\rm{ + 5si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 6}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
Ta có: \[0 \le sin2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge - sin2x \ge - 1 \Leftrightarrow 6 \ge 6 - sin2x \ge 5 \Leftrightarrow 6 \ge C \ge 5\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C là 6.
Chọn đáp án C.
Cho \[{\rm{F = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2sinx + 2}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là:
1
0
2
−1
\[{\rm{F = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2sinx + 2 = 1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2sinx + 2 = }} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 2sinx + 3}}\]
\[{\rm{ = }} - \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{2sinx + 1}}} \right){\rm{ + 4 = }} - {\left( {{\rm{sinx}} - {\rm{1}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + 4}}\]
\[ - 1 \le sinx \le 1 \Rightarrow - 2 \le sinx - 1 \le 0 \Rightarrow 0 \le (sinx - 1)2 \le 4\]
\[ \Rightarrow - 4 \le - (sinx - 1)2 \le 0 \Rightarrow 0 \le F \le 4\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 0.
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Cho\[{\rm{K = }}\frac{{{\rm{1 + ta}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}{{{{\left( {{\rm{1 + tanx}}} \right)}^{\rm{3}}}}}{\rm{;}}\left( {{\rm{x}} \ne \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k\pi , x}} \ne \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k\pi , k}} \in \mathbb{Z}} \right)\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là:
1
0
2
\[\frac{1}{4}\]
\[{\rm{K = }}\frac{{{\rm{1 + ta}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}{{{{\left( {{\rm{1 + tanx}}} \right)}^{\rm{3}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{1 + tanx}}} \right)\left( {{\rm{1}} - {\rm{tanx + ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \right)}}{{{{\left( {{\rm{1 + tanx}}} \right)}^{\rm{3}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{1}} - {\rm{tanx + ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}{{{\rm{1 + 2tanx + ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}\]
Đặt\[{\rm{tanx = t}}\left( {{\rm{t}} \ne - 1} \right)\]
\[ \Rightarrow {\rm{K = }}\frac{{{\rm{1}} - {\rm{t + }}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{1 + 2t + }}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}}} \Rightarrow \left( {{\rm{K}} - {\rm{1}}} \right){{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{2K + 1}}} \right){\rm{t + K}} - {\rm{1 = 0}}\]
Với K = 1 thì phương trình có nghiệm t = 1
Với \[{\rm{K}} \ne 1\] thì phương trình phải có nghiệm\[{\rm{t}} \ne - 1\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \ge 0}\\{\left( {K - 1} \right){{\left( { - 1} \right)}^2} + \left( {2K + 1} \right)\left( { - 1} \right) + K - 1 \ne 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2K + 1} \right)}^2} - 4{{\left( {K - 1} \right)}^2}{\rm{ = }}12K - 3 \ge 0}\\{K \ne - 4}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \ge \frac{1}{4}}\\{K \ne - 4}\end{array}} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là\[\frac{1}{4}\]
Chọn đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
