10 Bài tập Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)
10 câu hỏi
Biểu thức rút gọn H = 2cos x – 3cos (π– x) + 5sin \(\left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\) bằng
tan x;
cot x;
sin x;
cos x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
H = 2cos x – 3cos (π– x) + 5sin \(\left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\)
= 2cos x + 3cos x + 5sin \(\left( {2\pi + \pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\)
= 5cos x + 5sin \(\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\) + cot \(\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
= 5cos x – 5sin \(\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) + tan x
= 5cos x – 5cos x + tan x
= tan x.
Biểu thức đơn giản củaK = (1 – sin2 x)cot2 x + (1 – cot2 x)là
sin2 x;
cos2 x;
– sin2 x;
– cos2 x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
K = (1 – sin2 x)cot2 x + (1 – cot2 x) = cot2 x – sin2 x.cot2 x + 1 – cot2 x
= – cos2 x + 1 = sin2 x.
Rút gọn biểu thức M = cos + sin (α –π) ta được
cos α + sin α;
2sin α;
sin α– cos α;
0
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
M = cos + sin (α – π) = cos – sin α = sin α – sin α = 0.
Biết \(P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} - 1}}{{\cot \alpha - \sin \alpha c{\rm{os }}\alpha }} = a{\tan ^2}\alpha .\) Giá trị của a là
1;
2;
– 2;
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} - 1}}{{\cot \alpha - \sin \alpha c{\rm{os }}\alpha }}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha c{\rm{os }}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1}}{{\frac{{{\rm{cos }}\alpha }}{{{\rm{sin }}\alpha }} - \sin \alpha \cos \alpha }}\)
\( = \frac{{ - 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha {\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \cos \alpha }}\) \( = \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha c{\rm{os }}\alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}}\) \( = \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\)
= \( - 2{\tan ^2}\alpha \).
Vậy a = – 2.
Đơn giản biểu thức Q = sin4 x – cos4 x + 2cos2 x, ta có Q bằng
0;
1;
2;
– 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
Q = sin4 x – cos4 x + 2cos2 x = (sin2 x – cos2 x)( sin2 x + cos2 x) + 2cos2 x
= sin2 x – cos2 x + 2cos2 x = sin2 x + cos2 x = 1.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
tan2 x – sin2 x = tan2 x.sin2 x;
tan2 x – sin2 x = tan2 x.cos2 x;
tan2 x – sin2 x = cot2 x.cos2 x;
tan2 x – sin2 x = sin2 x.cos2 x.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: tan2 x – sin2 x =
= sin2 x(1 + tan2 x – 1) = tan2 x.sin2 x.
Rút gọn biểu thức L = sin4 α – cos4 α+ 1 ta được
3sin2 α;
sin2 α;
– sin2 α;
2sin2 α.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
L = sin4 α – cos4 α+ 1 = (sin2 α – cos2 α)( sin2 α + cos2 α) + 1
= sin2 α – cos2 α + 1 = sin2 α + (1 – cos2 α)
= sin2 α + sin2 α = 2sin2 α.
Cho biểu thức T = = m + n.sin α.cos α (với m,n ∈ ℝ). Giá trị của m + n là:
0;
1;
;
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
T = = = 1 – sin α.cos α.
Như vậy m = 1; n = – 1 ⇒ m + n = 0.
Rút gọn biểu thứcE = ta được
1;
2;
– 1;
– 2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có E = = = = 1.
Cho tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?
sin B = sin (A + C);
cos (A + B) = – cos C;
cos (A + B – C) = cos 2C;
sin = cos C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
· Mệnh đề A đúng:
Giả sử A, B, C là số đo 3 góc của tam giác ABC, khi đó ta có:
A + B + C = 180°
⇒ B = 180° – (A + C)
⇒sin B = sin [180° – (A + C)] = sin (A + C).
· Mệnh đề B đúng:
Ta có: A + B = 180° –C
⇒ cos (A + B) = cos (180° – C) = – cos C.
· Mệnh đề D đúng:
Ta có:A + B + C = 180°
⇒A + B + 3C = 180° + 2C
⇒ =
⇒ sin = sin (90° + C)
⇒ sin = cos (–C) = cos C.
· Mệnh đề C sai:
Ta có A + B = 180° – C
⇒A + B – C = 180° – 2C
⇒ cos (A + B – C) = cos (180° – 2C) = – cos 2C.
