10 Bài tập Tính giá trị của biểu thức liên quan đến các giá trị lượng giác

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay x = 30° vào biểu thức A ta có:

A = sin (2.30°) – 3cos 30° = sin 60° – 3cos 30° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ – 3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = – $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: α + β = π ⇒ α = π – β.

Do đó A = sin² (π – β) + cos² (π – α) = (sin α)² + (– cos α)² = sin² α + cos² α = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin² x + cos² x = 1 ⇒ cos² x = 1 – sin² x = $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

Do đó A = $\frac{4}{3}$.$\frac{1}{16}$ + $\frac{15}{16}$ = $\frac{49}{48}$.

Như vậy a = 49, b = 48 ⇒ a – b = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 1 + tan² α = \(\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\) ⇒ cos² α = \(\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\) = \(\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).

Mà sin² α + cos² α = 1 ⇒ \({\sin ^2}\alpha = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Do đó P = 2.\(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{7}{4}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: sin² x + cos² x = 1 ⇒ cos² x = 1 – sin² x.

⇒ cos x = \( \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Vì cos x nhận giá trị âm nên cos x = \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó A = \(\frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 2 - \sqrt 3 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin² α + cos² α = 1 ⇒ cos² α = 1 – sin² α.

⇒ cos α = \( \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\)

Mà 90° < α < 180° nên cos α < 0 ⇒ cos α = \( - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Do đó 4sin² α + 2cos² α = \(4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} = \frac{{26}}{9};\)

4sin α + 2cos α = \(4.\frac{2}{3} + 2.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = \frac{{8 - 2\sqrt 5 }}{3}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tan x = 3 nên cos x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu biểu thức A cho cos x ta có:

A = $\frac{4.\frac{\sin x}{\text{cos x}}+1}{\frac{\sin x}{\text{cos x}}+2}$ = $\frac{4\tan x+1}{\tan x+2}$ = $\frac{4.3+1}{3+2}$ = $\frac{13}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì cot x = 2 ⇒ sin x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho sin x ta có:

$P=\frac{3.\frac{\text{cos x}}{\sin x}-1}{\frac{\text{cos x}}{\sin x}+1}$ = $\frac{3\cot x-1}{\cot x+1}=\frac{3.2-1}{2+1}=\frac{5}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có sin² α + cos² α = 1 ⇒ sin² α = 1 – cos² α.

⇒ sin α = \( \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mà 90° < α < 180° nên sin α > 0 ⇒ sin α = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có tan α = \(\frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha }} = - \sqrt 3 \) ⇒ cot α = \(\frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Suy ra C = \(\frac{{2{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }}{{4{{\tan }^2}\alpha - 3{{\cot }^2}\alpha }}\) = \(\frac{{2.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}{{4.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} - 3{{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{33}}\).

Như vậy a = 19; b = 33 ⇒ a + b = 52.