20 câu hỏi
Cho dạng toàn phương Q: R3 R xác định bởi\[{\rm{Q(x, y, z) = }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4xy + 4xz + 2yz}}\]. Tìm một cơ sở\[\left\{ {{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{v}}_{\rm{3}}}} \right\}\]của R3 sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc:\[{\rm{(x, y, z) = X}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + Y}}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{ + Z}}{{\rm{v}}_{\rm{3}}}{\rm{; Q(x, y, z) = \alpha }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \beta }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \gamma }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }},0} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 2}}{{\sqrt 6 }}} \right);{\rm{\alpha }} = - 5,{\rm{\beta }} = 1,{\rm{\gamma }} = 1}\\{{\rm{p}} = 1,{\rm{q}} = 2}\end{array}\]
\[{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},0} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 2}}{{\sqrt 6 }}} \right);{\rm{\alpha }} = - 5,{\rm{\beta }} = - 1,{\rm{\gamma }} = - 1\]
\[{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{{ - 2}}{3}} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right);{\rm{\alpha }} = - 3,{\rm{\beta }} = - 1,{\rm{\gamma }} = - 1\]
\[{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{{ - 2}}{3}} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right);{\rm{\alpha }} = 5,{\rm{\beta }} = 5,{\rm{\gamma }} = - 1\]
Cho dạng toàn phương Q: R3 R có ma trận trong cơ sở chính tắc\[{\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{17}&2&{ - 2}\\{ - 2}&{14}&{ - 4}\\{ - 2}&{ - 4}&{14}\end{array}} \right)\]. Tìm một cơ sở\[\left\{ {{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}{{\rm{v}}_{\rm{3}}}} \right\}\]của R3 sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc\[{\rm{(x, y, z) = X}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + Y}}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{ + Z}}{{\rm{v}}_{\rm{3}}}{\rm{; Q(x, y, z) = \alpha }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \beta }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \gamma }}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}\]
\[{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {0,\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{{ - 4}}{{\sqrt {18} }},\frac{1}{{\sqrt {18} }},\frac{1}{{\sqrt {18} }}} \right);{\rm{\alpha }} = 9,{\rm{\beta }} = 18,{\rm{\gamma }} = 18\]
\[{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }},0} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 2}}{{\sqrt 6 }}} \right);{\rm{\alpha }} = 5,{\rm{\beta }} = 10,{\rm{\gamma }} = 10\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{2}{3}} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right);{\rm{\alpha }} = 3,{\rm{\beta }} = 5,{\rm{\gamma }} = - 1}\\{{\rm{p}} = 1,{\rm{q}} = 2}\\{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 6}\\0&1\end{array}} \right)}\end{array}\]
\[{{\rm{v}}_1} = \left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{{ - 1}}{3}} \right),{{\rm{v}}_2} = \left( {\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{2}{3}} \right),{{\rm{v}}_3} = \left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right);{\rm{\alpha }} = 1,{\rm{\beta }} = 1,{\rm{\gamma }} = 2\]
Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q: R3 R,\[{\rm{Q(x, y, z) = 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 3}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2mxy + 2xz}}\] xác định dương:
m = 1
\[m < \sqrt {\frac{5}{3}} \]
\[{\rm{m}} \ne 0\]
m = 0
Cho dạng toàn phương Q: R3 R có ma trận trong cơ sở chính tắc\[{\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\rm{m}}&{ - 1}\\{\rm{m}}&1&2\\{ - 1}&2&5\end{array}} \right)\].Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q, xác định dương:
m > 1
\(m < \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\[{\rm{m}} \ne 0\]
\[\frac{{ - 4}}{5} < {\rm{m}} < 0\]
Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q: R3 R,\[{\rm{Q(x, y, z) = }} - {\rm{4}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4m}}{{\rm{z}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2mxy}} - {\rm{4mxz + 4yz}}\] xác định âm:
m > -1
\[\left| m \right| < 2\]
-2 < m < -1
\[{\rm{m}} \ge - 2\]
Tìm k để dạng song tuyến tính xác định như sau\[\forall {\rm{(}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{),(}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}{\rm{)}} \in {{\rm{R}}^{\rm{2}}}{\rm{,\eta ((}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{),(}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}{\rm{) = }}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} - {\rm{3}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{y}}_{\rm{2}}} - {\rm{3}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }} - {\rm{k}}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}\]là một tích vô hướng của không gian véc tơ R2
k > 9
k > 0
0 < 9 < k
\[{\rm{k}} \ne 0\]
Tìm điều kiện a, b, c, d để dạng song tuyến tính xác định như sau\[\forall {\rm{(}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{),(}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}{\rm{)}} \in {{\rm{R}}^{\rm{2}}}{\rm{, \eta ((}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{),(}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}{\rm{) = a}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}{\rm{ + c}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}\]là một tích vô hướng của không gian véc tơ R2:
a > 0, b > 0, c > 0, d > 0
a > 0, d > 0, ad - bc > 0
a > 0, b = c, ad – bc > 0
a > 0, d > 0, ad – bc > 0
Cho ma trận trực giao A. Điều nào sau đây không đúng?
Hệ các véc tơ cột của A là một hệ trực chuẩn
Hệ các véc tơ hàng của A là một hệ trực chuẩn
Định thức của A luôn bằng 1
Tồn tại ma trận nghịch đảo A-1=At
Xác định xem cơ sở nào sau đây là cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ R3
\[\left\{ {(1,1,1),(0,1,1),(2,0,1)} \right\}\]
\[\left\{ {(1,2,2),(2,0,1),( - 1,0,1)} \right\}\]
\[\left\{ {\left( {\frac{2}{3},\frac{{ - 2}}{3},\frac{1}{3}} \right),\left( {\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{{ - 2}}{3}} \right),\left( {\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right)} \right\}\]
\[\left\{ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right),\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }},\frac{1}{{\sqrt 6 }},\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)} \right\}\]
Ma trận nào sau đây không phải là ma trận trực giao:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos {\rm{\varphi }}}&{ - \sin {\rm{\varphi }}}&0\\{\sin {\rm{\varphi }}}&{\cos {\rm{\varphi }}}&0\\0&0&{ - 1}\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{5}}&{\frac{4}{5}}\\{\frac{4}{5}}&{\frac{{ - 3}}{5}}\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}}&{\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{{ - 2}}{3}}&{\frac{2}{3}}&{\frac{1}{3}}\\{\frac{{ - 1}}{3}}&{\frac{{ - 2}}{3}}&{\frac{2}{3}}\end{array}} \right)\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&0&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&0\end{array}} \right)\]
\[\forall {\rm{(}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{),(}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}) \in {{\rm{R}}^{\rm{2}}}{\rm{, \eta ((}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{),(}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{,}}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}{\rm{) = }}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} - {\rm{2}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{y}}_{\rm{2}}} - {\rm{2}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5}}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{{\rm{y}}_{\rm{2}}}\]xác định một tích vô hướng của không gian véc tơ R2 .Trực chuẩn hoá GramSchmidt cơ sở\[\left\{ {{{\rm{e}}_{\rm{1}}}{\rm{ = (1, 0),}}{{\rm{e}}_{\rm{2}}}{\rm{ = (0, 1)}}} \right\}\]của R2.
\[{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{\rm{e}}_{\rm{1}}}{\rm{ = (1, 0),}}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{e}}_{\rm{2}}}{\rm{ = (0, 1)}}\]
\[{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{\rm{e}}_{\rm{1}}}{\rm{ = (1, 0),}}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{ = (2, 1)}}\]
\[{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ = (1, 2),}}{{\rm{v}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{e}}_{\rm{2}}}{\rm{ = (2, 1)}}\]
Trong không gian véc tơ R4 xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của không gian W gồm các véc tơ trực giao với hai véc tơ:\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}} = (1, - 2,3,4),{{\rm{v}}_2} = (3, - 5,7,8)\]
\[{{\rm{v}}_1} = (3,1,0, - 4),{{\rm{v}}_2} = (1, - 3,5,4)\]
\[{{\rm{v}}_1} = (4,1,0,6),{{\rm{v}}_2} = (2, - 1,3,0),{{\rm{v}}_3} = (1, - 1,3,2)\]
\[{{\rm{v}}_1} = (1,2,0),{{\rm{v}}_2} = (4,4,0,1)\]
\[{{\rm{v}}_1} = (2,4,2,0),{{\rm{v}}_2} = (5,6,1,2)\]
Trong không gian véc tơ R5 xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của phần bù trực giao \[{{\rm{W}}^ \bot }\]của không gian:\[{\rm{W = span}}\left\{ {{{\rm{u}}_{\rm{1}}} = (1,2,3, - 1,2),{{\rm{u}}_{\rm{1}}} = (2,4,7,2, - 1)} \right\}\]
\[\left\{ {{{\rm{v}}_1} = (2, - 1,0,0,0),{{\rm{v}}_2} = ( - 17,0,5,0,1),{{\rm{v}}_3} = (13,0, - 4,1,0)} \right\}\]
\[\left\{ {{{\rm{v}}_1} = (2, - 1,0,0,0),{{\rm{v}}_2} = ( - 17,0,5,0,1)} \right\}\]
\[\left\{ {{{\rm{v}}_1} = (2, - 1,0,0,0),{v_2} = (7,0,5,0,1),{{\rm{v}}_2} = (13,0, - 4,1,0)} \right\}\]
\[\left\{ {{{\rm{v}}_1} = (2, - 1,0,0,0),{v_2} = ( - 17,0,5,0,1),{{\rm{v}}_2} = (15,1, - 5,0, - 1)} \right\}\]
Giả sử W1, W2 là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ Euclide V. Điều nào sau đây không đúng?
\[{{\rm{(}}{{\rm{W}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{W}}_{\rm{2}}}{\rm{)}}^ \bot }{\rm{ = }}{{\rm{W}}_{\rm{1}}}^ \bot \cap {{\rm{W}}_{\rm{2}}}^ \bot \]
\[{{\rm{(}}{{\rm{W}}_{\rm{1}}} \cap {\rm{ }}{{\rm{W}}_{\rm{2}}}{\rm{)}}^ \bot }{\rm{ = }}{{\rm{W}}_{\rm{1}}}^ \bot + {{\rm{W}}_{\rm{2}}}^ \bot \]
\[{{\rm{(}}{{\rm{W}}_{\rm{1}}} \cap {\rm{ }}{{\rm{W}}_{\rm{2}}}{\rm{)}}^ \bot }{\rm{ = }}{{\rm{W}}_{\rm{1}}}^ \bot \cup {{\rm{W}}_{\rm{2}}}^ \bot \]
\[{{\rm{(}}{{\rm{W}}_{\rm{1}}} \subset {\rm{ }}{{\rm{W}}_{\rm{2}}}{\rm{)}}^ \bot }{\rm{ = }}{{\rm{W}}_{\rm{1}}}^ \bot \supset {{\rm{W}}_{\rm{2}}}^ \bot \]
Trường hợp nào sau đây không đúng?
Định thức của ma trận vuông có một hàng là các số 0 thì bằng không
Định thức của ma trận vuông có hai hàng tỉ lệ thì bằng không
Định thức của ma trận vuông có một hàng tỉ lệ với một cột thì bằng không
Nếu thay đổi vị trí hai hàng của định thức thì định thức đổi dấu
Cho A, B là hai ma trận vuông cấp\[{\rm{n}} \ge 2\]Trường hợp nào sau đây luôn đúng?
\[{\rm{det(kA) = kdet(A)}}\]
\[{\rm{det(A + B) = det(A) + det(B)}}\]
\[{\rm{det(AB) = det(A)det(B)}}\]
\[\det ( - {\rm{A}}) = - \det ({\rm{A}})\]
Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x_1} - 3{x_2} + 2{x_3} + 4{x_4} = 3}\\{7{x_1} - 3{x_2} + 7{x_3} + 17{x_4} = m}\\{4{x_1} - 2{x_2} + 3{x_3} + 7{x_4} = 1}\\{8{x_1} - 6{x_2} - {x_3} - 5{x_4} = 9}\end{array}} \right.\)
Hệ vô nghiệm
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0,}\\{m = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - 5{x_3} - 13{x_4} - 3}}{2};{x_1} = \frac{{ - 7{x_3} - 19{x_4} - 7}}{2}\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 9,}\\{m \ne 9}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1} = \frac{{2{x_1} + 11{x_2} - 3}}{2};{x_1} = \frac{{ - 5{x_1} + 21{x_2} - 7}}{2}\)
Tìm x, y, z sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau\[(2, - 5,3) = {\rm{x}}(1, - 3,2) + {\rm{y}}(2, - 4, - 1) + {\rm{z}}(1, - 5,7)\]
x = -2, y = 1, z = -5
x = -1, y = 4, z = -5
Không tồn tại x, y, z
x = 3, y = 11, z = -4
Tìm tất cả các giá trị m sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau\[(7, - 2,{\rm{m}}) = {\rm{x}}(2,3,5) + {\rm{y}}(2,3,5) + {\rm{z}}(1, - 6,1)\]
m = 11
m = 15
\[{\rm{m}} \ne - 11\]
m = -21
Tìm tất cả các giá trị m sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau:\[(1,3,5) = {\rm{x}}(2,3,5) + {\rm{y}}(2,4,7) + {\rm{z}}(5,6,{\rm{m}})\]
m = -10
m = 25
\[{\rm{m}} \ne - 11\]
\[{\rm{m}} \ne 10\]