22 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Nguyên hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F'\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2f\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C\).
\(\int {2f\left( x \right)dx} = F\left( {2x} \right) + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) cùng liên tục trên ℝ. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \).
\(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \frac{{\int {f\left( x \right)dx} }}{{\int {g\left( x \right)dx} }}\).
\(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} ,\forall k \in \mathbb{R}\).
\(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \).
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên ℝ. Tìm \(G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} \).
\(G\left( x \right) = xF\left( x \right) - x + C\).
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) - x + C\).
\(G\left( x \right) = xF\left( x \right) - 1 + C\).
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) - 1 + C\).
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,n \ne - 1\).
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\).
\(\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{x} + C\).
\(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) là
\(F\left( x \right) = \sin x + \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = \sin x - \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = - \sin x + \cos x + C\).
\(F\left( x \right) = - \sin x - \cos x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2\) là
\(F\left( x \right) = 2x\).
\(F\left( x \right) = {x^3} + 2x + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2x + C\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2 + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} + \sin 3x\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^{2x}} - \frac{1}{3}\cos 3x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^{2x}} - \cos 3x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{3}\sin 3x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {5^x}\) là
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{5^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {5^x} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = {5^x}\ln 5 + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x\) là
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{4{{\sin }^3}x}}{3} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x - \sin 2x + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\cos 2x}}{2} + C\).
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x - 2\sin 2x + C\).
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\). Biết \(F\left( 1 \right) = 1\). Tính \(F\left( 4 \right)\).
7.
2.
5.
3.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 45;45} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 2025}}\), \(f\left( {25} \right) = 0\). Tính \(f\left( { - 50} \right)\) thuộc khoảng nào?
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\int {f\left( x \right)dx} = x\sin x + C\). Tính \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(1 + \frac{\pi }{2}\).
\(0\).
\(1\).
\(1 - \frac{\pi }{2}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) thỏa mãn \(F\left( { - 2} \right) = 0\) (với C là một số thực bất kì).
a) \(F\left( { - 2e} \right) = 1\).
b) \(F\left( { - 3} \right) = \ln \frac{3}{2}\).
c) \(f\left( { - 4} \right) = \ln 2\).
d) \(F'\left( { - 1} \right) = - 1\).
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
a) \(F\left( 1 \right) = 3\). Khi đó \(F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 3\).
b)\(F\left( 1 \right) = 0\). Phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm.
c) Đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\). Khi đó \(F\left( 2 \right) = \frac{{13}}{2}\).
d) \(F\left( { - 2} \right) = \frac{1}{4}\). Hàm số \(g\left( x \right) = xF\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.
Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s2). Tại thời điểm bắt đầu chuyển động vật có vận tốc bằng 0.
a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số \(v\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s).
b) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{6}\) là 2 m/s.
c) Tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vật là \(\sqrt 2 \) m/s.
d) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) là \(2\sqrt 2 \) (m/s2).
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).
a)\(\int {f\left( x \right)} dx = x + \ln \left| x \right| + C\).
b) Nếu \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 2 + \ln 2\).
c) \(F\left( {2x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).
d) Hàm số \(f\left( {{e^x}} \right)\) có một nguyên hàm là \(2x + {e^{ - x}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ne 1\).
a)\(f\left( x \right) = 2 + \frac{3}{{x - 1}}\).
b)\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x + 2\ln \left( {x - 1} \right) + C\).
c) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).
d) Phương trình \(F\left( x \right) = 2x + 2\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Khi đó \(T = {x_1} + {x_2} = 2\).
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Nguyên hàm \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = ax + b{\cot ^c}x + C\) (với a, b, c là các số nguyên dương).
Tính \(a + 4b + c\).
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t\), với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng nước có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách (km) xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.
Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, giả sử \(f\left( x \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau x giờ làm thí nghiệm. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ tăng trưởng là \(f'\left( x \right) = {x^2} + 8x\) (con/giờ). Tính số lượng vi khuẩn sau 6 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.
Biết \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(P = abc\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 3\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( 1 \right)\).
