22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 3. Hàm số lượng giác và đồ thị (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có \(y = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2 = 1 - {\sin ^2}x + 2\sin x + 2\)

\( =  - {\sin ^2}x + 2\sin x + 3 =  - {\left( {\sin x - 1} \right)^2} + 4.\)

Mà $-1\le \sin x\le 1\stackrel{}{\to }-2\le \sin x-1\le 0\stackrel{}{\to }0\le {\left(\sin x-1\right)}^2\le 4$

 $\stackrel{}{\to }0\ge -{\left(\sin x-1\right)}^2\ge -4\stackrel{}{\to }4\ge -{\left(\sin x-1\right)}^2+4\ge 0$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(0\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Đáp án đúng là: B

- Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}.\)

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow  - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - 3x} \right)}} = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}} = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

- Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}.\)

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow  - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \[g\left( { - x} \right) = \frac{{\left| {\sin \left( { - 2x} \right)} \right| - \cos \left( { - 3x} \right)}}{{2 + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}} = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}} = g\left( x \right)\] là hàm số chẵn.

Vậy \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) chẵn.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(y = {\sin ^2}x - 4\sin x + 5 = {\left( {\sin x - 2} \right)^2} + 1.\)

Do $-1\le \sin x\le 1\stackrel{}{\to }-3\le \sin x-2\le -1\stackrel{}{\to }1\le {\left(\sin x-2\right)}^2\le 9$

$\stackrel{}{\to }2\le {\left(\sin x-2\right)}^2+1\le 10\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}M=10\\ m=2\end{array}\right.P=M-2m^2=2.$

Ta có \(f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \frac{\pi }{4} - 1 = 0\).

Điều kiện xác định: \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,k \in \mathbb{Z}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và tập giá trị của hàm số là \[\mathbb{R}.\]

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 2x} \right) - 1 = - \tan 2x - 1\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không chẵn không lẻ.

Ta có \(f\left( {x + \pi } \right) = \tan \left( {2x + \pi } \right) - 1 = \tan 2x - 1 = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Sai,              d) Đúng.

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\). Với mọi \(x \in D\), ta có:

\( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) - 1 = {\sin ^2}x + \cos x - 1 = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Từ đó suy ra \(f\left( { - \pi } \right) = f\left( \pi \right)\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Đúng.

Khi \(t = 5\), ta có: \(h\left( 5 \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 5}}{8}} \right) \approx 69,3\,\,{\rm{(cm)}}\).

Khi \(t = 20\), ta có: \(h\left( {20} \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 20}}{8}} \right) = 75\,\,{\rm{(cm)}}\).

Ta có \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75\) hay \(h\left( t \right) \le 75\).

Giá trị lớn nhất của \(h\left( t \right)\) là 75, khi đó \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) \( \Rightarrow t = 4 + 16k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(t \in \left[ {0\,;30} \right] \Rightarrow t \in \left\{ {4\,;20} \right\}\) (ứng với \(k\) bằng 0 và 1).

Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là \(75\;\,{\rm{cm}}\)).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Sai,              d) Sai.

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\( - 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow 4 \ge 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 \ge y \ge 2\).

Vậy giá trị của hàm số là \(T = \left[ {2\,;4} \right]\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Đúng,         c) Đúng,          d) Đúng.

Dao động tổng hợp là \(x = {x_M} + {x_N} = 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 4\sqrt 3 \cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Biên độ dao động tổng hợp của hai điểm sáng M và N là \(4\sqrt 3 .\)

Khoảng cách của M và N trong quá trình chúng dao động là

\(d = 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{{2\pi }}{3}} \right) - 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{3}} \right) = - 4\sin \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {\frac{{5\pi }}{3}t + \pi } \right)\)

Khoảng cách lớn nhất của M và N trong quá trình chúng dao động là \(4.\)

Để M, N gặp nhau khi \(d = 0\).

Trong 1 chu kì, M và N gặp nhau 2 lần.

Trong 2012 chu kì đầu, 2 vật gặp nhau 2024 lần

Thời gian lần cuối hai vật gặp nhau là \(\frac{T}{4}\). Vì ta có hình bên:

Vậy sau \(2012T + \frac{T}{4} = 2012,25.\frac{6}{5} = 1214,7\) (s)

Đáp án:           a) Sai,             b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).

Do \( - 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7\).

Suy ra tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ {3\,;7} \right]\).

Vậy \(a + b = 3 + 7 = 10\).

Đáp án: 10.

Ta có \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}} \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\sin x - \left( {y + 3} \right)\cos x = 1 - 2y\).

Điều kiện để tồn tại cặp số \(\left( {x\,;y} \right)\) là \({\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} \ge {\left( {1 - 2y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow - 2{y^2} + 6y + 12 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} \le y \le \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}\).

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} + \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2} = 3\).

Đáp án: 3.

Ta có \(h\left( x \right) = 4 + 4\sin \alpha \).

Khi \(M\) ở vị trí cao nhất so với mặt nước (tức là \(h\left( x \right) = 8\) ) thì \(\sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{2}\) (vì chỉ xét 1 vòng quay đầu tiên).

Thời gian thực hiện của guồng nước là: \(t = \frac{{\frac{\pi }{2} \cdot 40}}{{2\pi }} = 10\) (giây).

Đáp án: 10.

Hàm số \(y = \frac{{ - 49}}{{2500000{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{x^2} + x{\rm{tan}}\alpha \) là một hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có tọa độ đỉnh \(I\left( {{x_I};\,{y_I}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{1250000\cos \alpha \sin \alpha }}{{49}}}\\{{y_I} = f\left( {{x_I}} \right) = \frac{{625000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}}\end{array}} \right.\).

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là \({y_{\max }} = \frac{{625000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}}\).

Mà \({y_{\max }} = \frac{{625000{{\sin }^2}\alpha }}{{49}} \le \frac{{625000}}{{49}}\), dấu bằng xảy ra khi \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1\) hay \(\alpha = 90^\circ \).

Vậy quả đạn pháo sẽ đạt độ cao lớn nhất khi góc bắn bằng \(90^\circ \).

Đáp án: \(90\).

Ta có \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) \le 1,\forall t \in \left[ {0;12} \right]\) vì chu kì của hàm số này là 12.

Suy ra \( - 1.5 \le 5.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) \le 1.5,\forall t \in \left[ {0;12} \right]\).

Do đó: \( - 1.5 + 26 \le 5.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) + 26 \le 1.5 + 26,\forall t \in \left[ {0;12} \right]\).

Hay \[21 \le 5.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) + 26 \le 31,\forall t \in \left[ {0;12} \right]\].

Suy ra, tập giá trị \(G = \left[ {21;31} \right]\). Do đó, \(P = 21 + 31 = 52.\)

Đáp án: 52.