10 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Chu kỳ của\[{\rm{sin}}\frac{{\rm{x}}}{{\rm{2}}}\]là \[{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\left| {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right|}}{\rm{ = 4\pi }}\]và Chu kỳ của\[{\rm{cos}}\frac{{{\rm{3x}}}}{{\rm{2}}}\]là \[{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\left| {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}} \right|}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{3}}}\]

Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T₁ và T₂ vừa tìm được ở trên.

Chu kì của hàm ban đầu \[{\rm{T = 4\pi }}\]Đáp án cần chọn là: C

Xét hàm số\[{\rm{y = sinx}}\] trên đoạn\[\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]\] 

Hàm số đồng biến trên khoảng\[\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right)\]

Vậy\[\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]} {\rm{y = sin}}\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }} - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}\];\[\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]} {\rm{y = sin}}\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{1}}\]

Đáp án cần chọn là: B

\[{\rm{y = sinx; y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x; y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}\] có chu kì tuần hoàn lần lượt là\[{\rm{2\pi ; \pi ; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}\] nên hàm số\[{\rm{y = sinx + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}\]có  chu kì tuần hoàn bội chung nhỏ nhất của\[{\rm{2\pi ; \pi ; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}\]

Vậy\[{\rm{y = sinx + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}\] có  chu kì tuần hoàn là\(2\pi \)

Đáp án cần chọn là: A

\[{\rm{y = f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}\]có tập xác định D.\[{\rm{D = }}\left\{ {\left. {{\rm{x}} \in \mathbb{R}} \right|\sin {\rm{x}} \ne 0} \right\}\]

Ta có\[{\rm{sinx}} \ne 0 \Rightarrow {\rm{sin}}\left( { - {\rm{x}}} \right) \ne 0 \Rightarrow \forall {\rm{x}} \in {\rm{D}} \Rightarrow - {\rm{x}} \in {\rm{D}}\]

\[{\rm{f}}\left( { - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}\left( { - {\rm{x}}} \right)}}{\rm{ = }} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}} \Rightarrow {\rm{f}}\left( { - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\]

Từ đó suy ra hàm số\[{\rm{y = f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}\] là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: A

Đk:\[ - 2019 \le {\rm{x}} \le 2019\]

Nhận xét x = 0 là nghiệm của phương trình.

Nếu \[{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}\] là nghiệm của phương trình thì \[x {\rm{ = }} - {{\rm{x}}_0}\] cũng là nghiệm của phương trình

Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn \[\left[ {{\rm{0; 2019}}} \right]\]. Vẽ đồ thị của hàm số \[{\rm{y = sinx}}\] và \[{\rm{y = }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{2019}}}}\]. Ta thấy

Trên đoạn \[\left[ {{\rm{0; 2\pi }}} \right]\]phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng \[\left( {{\rm{2\pi ; 4\pi }}} \right]\]phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng \[\left( {{\rm{4\pi ; 6\pi }}} \right]\] phương trình có hai nghiệm phân biệt

…

Trên nửa khoảng \[\left( {{\rm{640\pi ; 642\pi }}} \right]\]phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng \[\left( {{\rm{642\pi ; 2019}}} \right]\]phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy trên đoạn \[\left[ {{\rm{0; 2019}}} \right]\]phương trình có một nghiệm x = 0 và \[{\rm{321x2 + 1 = 643}}\]nghiệm dương phân biệt. Mà do \[{\rm{x = }}{{\rm{x}}_0}\] là nghiệm của phương trình thì \[{\rm{x = }} - {{\rm{x}}_0}\] cũng là nghiệm của phương trình nên trên nửa khoảng \[\left[ { - {\rm{2019; }}0} \right)\]phương trình cũng có 643 nghiệm âm phân biệt.

Do đó trên đoạn \[\left[ { - 2019;2019} \right]\]phương trình có số nghiệm thực là \[{\rm{643x2 + 1 = 1287}}\]nghiệm

Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là 1287 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

\[{\rm{x}} \in \left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right] \Rightarrow - 1 \le {\rm{sinx}} \le \frac{1}{2}\]

Đặt\[{\rm{t = sinx; x}} \in \left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right] \Rightarrow - 1 \le {\rm{t}} \le \frac{1}{2}\]

Ta có  có hoành độ đỉnh\[{\rm{t = }}1 \notin \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]\]

Giá trị lớn nhất của hàm số là \[{\rm{f}}\left( { - 1} \right){\rm{ = 7}}\]

Giá trị lớn nhất của hàm số là \[{\rm{f}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{7}}}{{\rm{2}}}\]

Đáp án cần chọn là: B

\[{\rm{h = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ + 3}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 3 = }}\frac{{\rm{7}}}{{\rm{2}}}\]

Đẳng thức xảy ra khi\[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ = k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 14k}}\]

Do\[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]và \[0\left( {\rm{h}} \right) \le {\rm{t}} \le 24\left( {\rm{h}} \right)\]nên k = 1. Vậy t = 14(h)

Đáp án cần chọn là: D

Đặt\[{\rm{y = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 4co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 2cos2x + 3}}}}\]

(Do\[{\rm{sin2x + 2cos2x + 3 > 0,}}\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R} \Rightarrow \]hàm số xác định trên\(\mathbb{R}\))

\[ \Leftrightarrow \left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right){\rm{sin}}\,{\rm{2x + }}\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right){\rm{cos2x = 3y}}\]

Suy ra\[\left[ {{{\left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right)}^{\rm{2}}}} \right]\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{2x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{2x}}} \right) \ge {\rm{9}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5y}} - 5 \le 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{y}} \le \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]

\[ \Rightarrow \max {\rm{y = }}\frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]. Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{m + 1}} \Leftrightarrow {\rm{m}} \ge \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4}\]

Đáp án cần chọn là: C

Vì\[{\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right| \le {\rm{1}} \Rightarrow {\rm{y = 4sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ + 10}} \le {\rm{14}}} \right|\]

Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất

\[ \Leftrightarrow {\rm{y = 14}} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right|{\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 149 + 356k}}\]

Mà \[0 < {\rm{t}} \le 365 \Leftrightarrow 0 < 149 + 356{\rm{k}} \le 365 \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < {\rm{k}} \le \frac{{54}}{{89}}\]

Vì\[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\] nên k = 0.

Với k = 0 t = 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện \[0 < t \le 365\]thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Đáp án cần chọn là: B

Đặt\[{\rm{t = cos2x,}}\, - 1 \le {\rm{t}} \le 1\]

Phương trình\[{\rm{3f}}\left( {{\rm{cos2x}}} \right) - {\rm{4 = 0}}\]trở thành\[{\rm{3f}}\left( {\rm{t}} \right) - {\rm{4 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}\]

Từ bảng biến thiên ta có\[{\rm{t = 1,}}\,{\rm{t = a}} \in \left( { - 1;0} \right)\]

Ta có bảng biến thiên của\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]

* Với\[{\rm{t = 1}} \Rightarrow {\rm{cos2x = 1}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 2}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm 1\]

Từ bảng biến thiên của hàm\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }} \pm 1\] có bốn nghiệm phân biệt

*Với \[{\rm{t = a,}}\,{\rm{a}} \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow {\rm{cos2x = a}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = a + 1}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \]

Khi đó, từ bảng biến thiên của hàm \[{\rm{y = cosx}}\] trên \[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }}\sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( {0;1} \right)\] có ba nghiệm phân biệt; \[{\rm{cosx = }} - \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( { - 1;0} \right)\] có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 11 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C