22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:
Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.
Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng hồ.
Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ.
Đáp án đúng là: B
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5},\cos \alpha = - \frac{4}{5}\) và các biểu thức:
\(A = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\pi + \alpha } \right)\), \(B = \cos \left( {\pi - \alpha } \right) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\).
a) \(A = \cos \alpha - \sin \alpha \).
b) \(B = \cos \alpha + \tan \alpha \).
c) \(A + B = \frac{{27}}{{20}}\).
d) \(A - B = - \frac{{29}}{{20}}\).
Ta có \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\pi + \alpha } \right) = \cos \alpha - \sin \alpha = - \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{7}{5}\).
Ta có \(B = \cos \left( {\pi - \alpha } \right) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \alpha + \tan \alpha \)\( = - \cos \alpha + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{4}{5} + \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = \frac{1}{{20}}{\rm{. }}\)
Vậy \(A + B = - \frac{7}{5} + \frac{1}{{20}} = - \frac{{27}}{{20}}\) và \(A - B = - \frac{7}{5} - \frac{1}{{20}} = - \frac{{29}}{{20}}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\pi {\rm{ rad }} = 1^\circ .\)
\(\pi {\rm{ rad }} = 60^\circ .\)
\(\pi {\rm{ rad }} = 180^\circ .\)
\(\pi {\rm{ rad }} = \left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array}.\)
Đáp án đúng là: C
\(\pi {\rm{ rad}}\) tướng ứng với \(180^\circ \).
Cho với
a) \(\cos x > 0\).
b) \(\cos x = - \frac{4}{5}\).
c) \(\tan x = \frac{3}{4}\).
d) \(\cot x = \frac{4}{3}\).
Do \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos x < 0\).
Ta có \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\).
\( \Rightarrow \cos x = - \frac{4}{5};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{3}{4};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{4}{3}\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
Cho \(\cos x = \frac{1}{4}\) với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\).
a) \(\sin x < 0\).
b) \(\sin x = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
c) \(\tan x = \sqrt {15} \).
d) \(\cot x = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\).
Do \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin x > 0\).
Ta có \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}}\)
\( \Rightarrow \sin x = \frac{{\sqrt {15} }}{4};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt {15} ;\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}.\)
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Đổi số đo của góc \( - \frac{{3\pi }}{{16}}{\rm{ rad}}\) sang đơn vị độ, phút, giây.
\(33^\circ 45'.\)
\( - 29^\circ 30'.\)
\( - 33^\circ 45'.\)
\( - 32^\circ 55.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \[a = \left( {\frac{{\alpha .180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = \left( {\frac{{ - \frac{{3\pi }}{{16}}.180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\\{}\\{}\end{array} = \left( { - \frac{{135}}{4}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = - 33^\circ 45'.\]
Cho với
a) \(\sin x < 0\).
b) \(\tan x = \frac{{12}}{5}\).
c) \(\cot x = \frac{5}{{12}}\).
d) \(\sin x - \cos x = - \frac{{12}}{{13}}\).
Do \(180^\circ < x < 270^\circ \Rightarrow \sin x < 0\).
Ta có \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}\)
\( \Rightarrow \sin x = - \frac{{12}}{{13}};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{12}}{5};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{5}{{12}}{\rm{. }}\)
Khi đó, \(\sin x - \cos x = - \frac{7}{{13}}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) < 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) \le 0.\)
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) \ge 0.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có π<α<3π2→0<3π2−α<π2→sin3π2−α>0cos3π2−α>0→tan3π2−α>0.
Từ một vị trí ban đầu trong không gian, vệ tinh \(X\) chuyển động theo quỹ đạo là một đường tròn quanh Trái Đất và luôn cách tâm Trái Đất một khoảng bằng \(9200\;\,{\rm{km}}\). Sau 2 giờ thì vệ tinh \(X\) hoàn thành hết một vòng di chuyển.
a) Quãng đường vệ tinh \(X\) chuyển động được sau 1 giờ là: \[ \approx 28902,65\,\,{\rm{(km)}}{\rm{. }}\]
b) Quãng đường vệ tinh \(X\) chuyển động được sau 1,5 giờ là: \( \approx 43353,98\,\,{\rm{(km)}}\).
c) Sau khoảng 5,3 giờ thì \(X\) di chuyển được quãng đường \(240000\;\,{\rm{km}}\).
d) Giả sử vệ tinh di chuyển theo chiều dương của đường tròn, sau 4,5 giờ thì vệ tinh vẽ nên một góc \(\frac{{9\pi }}{2}\)rad?
a) Một vòng di chuyển của \(X\) chính là chu vi đường tròn:
\(C = 2\pi R = 2\pi .9200 = 18400\pi \,\,{\rm{(km)}}{\rm{. }}\)
Sau 1 giờ, vệ tinh di chuyển nửa đường tròn với quãng đường là:
\(\frac{1}{2}C = 9200\pi \approx 28902,65\,\,{\rm{(km)}}{\rm{. }}\)
b) Sau 1,5 giờ, vệ tinh di chuyển được \(\frac{{1,5.1}}{2}\) đường tròn (hay \(\frac{3}{4}\) đường tròn), quãng đường là:
\(\frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \cdot 18400\pi = 13800\pi \approx 43353,98\,\,{\rm{(km)}}\).
c) Số giờ để vệ tinh \(X\) thực hiện quãng đường \(240000\;\,\,{\rm{km}}\) là: \(\frac{{240000}}{{9200\pi }} \approx 8,3\) (giờ).
d) Sau 4,5 giờ thì số vòng tròn mà vệ tinh \(X\) di chuyển được là: \(\frac{{4,5}}{2} = \frac{9}{4}\) (vòng).
Số đo góc lượng giác thu được là: \(\frac{9}{4} \cdot 2\pi = \frac{{9\pi }}{2}\,\,{\rm{(rad)}}\).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): \[\alpha = - \frac{{5\pi }}{6},\] \[\beta = \frac{\pi }{{\rm{3}}}\], \[\gamma = \frac{{{\rm{25}}\pi }}{{\rm{3}}},\] \[\delta = \frac{{{\rm{19}}\pi }}{{\rm{6}}}\]. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
\[\alpha \] và \[\beta \]; \[\gamma \] và \[\delta \].
\(\beta \) và \[\gamma \]; \[\alpha \] và \[\delta \].
\[\alpha ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \beta ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \gamma \].
\[\beta ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \gamma ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \delta \].
Đáp án đúng là: B
Cách 1. Ta có \(\delta - \alpha = 4\pi \,\, \Rightarrow \) hai cung \(\alpha \) và \(\delta \) có điểm cuối trùng nhau.
Và \(\gamma - \beta = 8\pi \,\, \Rightarrow \) hai cung \(\beta \) và \(\gamma \) có điểm cuối trùng nhau.
Cách 2. Gọi \(A,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} B,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} C,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} D\) là điểm cuối của các cung \(\alpha ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \beta ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \gamma ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \delta \)
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có \(B \equiv C,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} A \equiv D.\)
Tính giá trị của \(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right].\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = - \frac{1}{2}.\)
\(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{4} + 2k\pi } \right) = \cos \frac{{5\pi }}{4}\)\( = \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Tính giá trị biểu thức \(P = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .....\tan 80^\circ .\)
\(P = 0.\)
\(P = 1.\)
\(P = 4.\)
\(P = 8.\)
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức \(\tan x.\tan \left( {90^\circ - x} \right) = \tan x.\cot x = 1.\)
Do đó \(P = 1.\)
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Khi đó \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng
\( - \frac{2}{3}.\)
\( - \frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2} - 2\pi } \right) = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha = \frac{1}{3}.\)
Biết \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) là các góc của tam giác \[ABC,\]mệnh đề nào sau đây đúng:
\(\sin \left( {A + C} \right) = - {\mkern 1mu} \sin B.\)
\(\cos \left( {A + C} \right) = - {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cos B.\)
\(\tan \left( {A + C} \right) = \tan B.\)
\(\cot \left( {A + C} \right) = \cot B.\)
Đáp án đúng là: B
Vì \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) là ba góc của một tam giác suy ra \(A + C = \pi - B.\)
Khi đó \(\sin \left( {A + C} \right) = \sin \left( {\pi - B} \right) = \sin B;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cos \left( {A + C} \right) = \cos \left( {\pi - B} \right) = - {\mkern 1mu} \cos B.\)
\(\tan \left( {A + C} \right) = \tan \left( {\pi - B} \right) = - {\mkern 1mu} \tan B;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cot \left( {A + C} \right) = \cot \left( {\pi - B} \right) = - {\mkern 1mu} \cot B.\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({\rm{cot}}\alpha = \frac{1}{3}.\) Tính \(P = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}.\)
\(P = - \frac{{15}}{{13}}.\)
\(P = \frac{{15}}{{13}}.\)
\(P = - 13.\)
\(P = 13.\)
Đáp án đúng là: D
Chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\sin \alpha \) ta được \(P = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }} = \frac{{3 + 4.\frac{1}{3}}}{{2 - 5.\frac{1}{3}}} = 13\).
Biểu thức lượng giác \({\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \sin \left( {10\pi + x} \right)} \right]^2} + {\left[ {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {8\pi - x} \right)} \right]^2}\) có giá trị bằng?
\(1.\)
\(2.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{3}{4}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x;\) \(\sin \left( {10\pi + x} \right) = \sin x.\)
Và \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) = \cos \left( {2\pi - \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = - {\mkern 1mu} \sin x;\) \(\cos \left( {8\pi - x} \right) = \cos x.\)
Khi đó \({\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \sin \left( {10\pi + x} \right)} \right]^{{\kern 1pt} 2}} + {\left[ {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {8\pi - x} \right)} \right]^{{\kern 1pt} 2}}\)
\( = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2} + {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2}\)
\( = {\cos ^2}x + 2.\sin x.\cos x + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2.\sin x.\cos x + {\sin ^2}x = 2.\)
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha = - \frac{4}{3}\) và \(\frac{{2017\pi }}{2} < \alpha < \frac{{2019\pi }}{2}\). Tính \(\sin \alpha .\)
\(\sin \alpha = - \frac{3}{5}.\)
\(\sin \alpha = \frac{3}{5}.\)
\(\sin \alpha = - \frac{4}{5}.\)
\(\sin \alpha = \frac{4}{5}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\\frac{{2017\pi }}{2} < \alpha < \frac{{2019\pi }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( { - \frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\\frac{\pi }{2} + 504.2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + 504.2\pi \end{array} \right.\)
→cosα=−35. Mà tanα=sinαcosα⇔−43=sinα−35→sinα=45 .
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Biểu thức \(S = \frac{{\sin \left( {\frac{{15\pi }}{2} - x} \right) - 2\cos \left( {x - \pi } \right)}}{{\cos \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right)}} = k\cot x\). Khi đó \(k = ?\)
Ta có \(S = \frac{{\sin \left( {7\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) - 2\cos \left( {\pi - x} \right)}}{{\cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)}} = \frac{{\sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) + 2\cos x}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}\)
\( = \frac{{ - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + 2\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{ - \cos x + 2\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x\).
Đáp án: 1.
Cho \[\cos x = \frac{1}{2}\]. Tính giá trị của biểu thức \(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x\) và viết kết quả dưới dạng số thập phân.
Ta có \(\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Khi đó \(P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x = 3 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{{13}}{4}\) = 3,25.
Đáp án: 3,25.
Cho \[\sin a + \cos a = \frac{1}{3}\] với \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\]. Biết \[A = \sin a - \cos a = - \frac{{\sqrt m }}{n}\] với m là số nguyên tố. Tính\[m + n\]?
Ta có \[{\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{9}\]\[ \Leftrightarrow \sin a\cos a = - \frac{4}{9}\].
Ta có \[{\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = 1 - 2\sin a\cos a = 1 + \frac{8}{9} = \frac{{17}}{9}\].
Do \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\] nên \[\sin a < 0,\cos a > 0\]\[ \Rightarrow \]\[A = \sin a - \cos a < 0\]\[ \Rightarrow \]\[A = - \sqrt {\frac{{17}}{9}} = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\].
Vậy \[m + n = 17 + 3 = 20\].
Đáp án:20.
Bánh xe của người đi xe đạp quay được 10 vòng trong 5 giây. Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút (đơn vị tính bằng mét và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy \(\pi = 3,14\)), biết rằng đường kính của bánh xe đạp là \(0,68\,\,{\rm{m}}\).
Chu vi bánh xe: \(C = \pi .d = 3,14.0,68\,\,{\rm{(m)}}\).
Trong 1 giây bánh xe quay được số vòng: \(\frac{{10}}{5} = 2\).
Số vòng bánh xe quay được trong 1 phút là: \(60.2 = 120\) (vòng).
Vậy quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút là: \(S = 3,14.0,68.120 \approx 256\,\,{\rm{(m)}}\).
Đáp án:256.
Một chiếc đu quay có bán kính \(75\;\,{\rm{m}}\), tâm của vòng quay ở độ cao \(90\;\,{\rm{m}}\), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Do tính đối xứng, dù đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ, ta đều thấy rằng độ cao của người đó là như nhau sau cùng một khoảng thời gian. Ở đây ta xét đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Gắn đu quay có bán kính \(75\;\,{\rm{m}}\), tâm của vòng quay ở độ cao \(90\;\,{\rm{m}}\) vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) ta được hình bên:
Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là \(\frac{{20}}{{30}} \cdot 360^\circ = 240^\circ \) tức là đến vị trí điểm \(H\).
Khi đó \(\widehat {HOJ} = 30^\circ \) và \(HJ = OH\sin 30^\circ = 37,5\,\,{\rm{(m)}}\).
Vậy sau 20 phút quay, người đó ở độ cao \(37,5 + 90 = 127,5\,\,{\rm{(m)}}\).
Đáp án:127,5.
