a) \(\overrightarrow {\rm{u}} = (1; - 1;\sqrt 2 )\) là một vectơ chỉ phương, không cùng phương với vectơ có toạ độ \((1;1;\sqrt 2 ).\)

=> Sai

b) \(\overrightarrow {\rm{n}} = (1;1; - \sqrt 2 )\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(({\rm{P}}).\)

=> Đúng

c) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {\rm{u}} (1; - 1;\sqrt 2 ),\overrightarrow {\rm{v}} (1;1; - \sqrt 2 )\) bằng:

\(1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 1 + \sqrt 2 \cdot ( - \sqrt 2 ) = - 2.\)

=> Sai

d) \(\sin (\Delta ,({\rm{P}})) = |\cos (\overrightarrow {\rm{u}} ,\overrightarrow {\rm{n}} )| = \frac{{|\overrightarrow {\rm{u}} \cdot \overrightarrow {\rm{n}} |}}{{|\overrightarrow {\rm{u}} | \cdot |\overrightarrow {\rm{n}} |}} = \frac{{| - 2|}}{{2 \cdot 2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \) Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(({\rm{P}})\) là \({30^o}.\)

=> Sai

a) \({f^\prime }(x) = 1 - \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}.\)

=> Đúng

b) \({f^\prime }(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 3; - 2) \cup ( - 2; - 1),{f^\prime }(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 3) \cup ( - 1; + \infty ).\)

=> Đúng

c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \({\rm{y}} = {\rm{x}}\) và đường tiệm cận đứng là \(x = - 2.\)

=> Sai

d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình sau:

a) Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ là \(\frac{{89}}{{240}}.\)

=> Đúng

b) Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ là \(\frac{{132}}{{240}}.\)

=> Đúng

c) Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ biết học sinh đó là nữ bằng \(\frac{{47}}{{132}}.\)

=> Sai

d) Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ biết học sinh đó bị tật khúc xạ bằng \(\frac{{47}}{{89}}.\)

=> Sai

a) \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2.\)

=> Đúng

b) \(\int {\left( {{x^2} - 4} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 4x + C.\)

=> Sai

c) \(\left| {{{\rm{x}}^2} - 4} \right| = 4 - {{\rm{x}}^2}\quad \forall {\rm{x}} \in [ - 2;2]\)

=> Sai

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(({\rm{P}})\) và Ox bằng:

\(\int_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx = - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}\)

=> Đúng

Đáp số: 45.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng \({\rm{ABCD}},{\rm{O}}\) là tâm của hình vuông ABCD.

Tam giác SAC cân tại S, ngoài ra \({\rm{S}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{S}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}.\)

Tam giác SAC vuông cân tại S.

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng \(\widehat {{\rm{SAO}}} = \widehat {{\rm{SAC}}} = {45^o }.\)

Đáp số: 1.

\({\log _3}\left( {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 5} \right) = {\log _3}{\rm{x}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{{x^2} - 3x - 5 = x}\end{array} \Leftrightarrow x = 5} \right.\)

Đáp số: 10.

Gọi M là số lượng lá bèo lúc đầu được thả vào hồ nước.

Sau 1 giờ thì hồ có 10 M lá bèo. Sau 2 giờ thì hồ có \(10(10{\rm{M}}) = {10^2}{\rm{M}}\) lá bèo.

Sau k giờ thì hồ có \({10^{\rm{k}}}{\rm{M}}\) lá bèo. Sau 10 giờ thì có \({10^{10}}{\rm{M}}\) lá bèo (đầy hồ). \(\frac{1}{4}\) hồ là \(\frac{{{{10}^{10}} \cdot {\rm{M}}}}{4}\) lá bèo.

Cho \({10^{\rm{k}}}.{\rm{M}} = \frac{{{{10}^{10}} \cdot {\rm{M}}}}{4} \Rightarrow {\rm{k}} = \log \left( {\frac{{{{10}^{10}}}}{4}} \right) \approx 9,4\) (giờ).

Đáp số: 1,41.

Gọi cạnh đáy là 2x, độ dài chiều cao mặt bên là y.

Diện tích đáy là \({(2x)^2} = 4{x^2}\), diện tích xung quanh là 4xy.

Đường cao hình chóp bằng \(\sqrt {{{\rm{y}}^2} - {{\rm{x}}^2}} \), thể tích của vật thể là \({\rm{V}} = \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{3}\sqrt {{{\rm{y}}^2} - {{\rm{x}}^2}} .\)

Ta có: \(4{x^2} + 4xy = 8 \Leftrightarrow {x^2} + xy = 2.\)

\( \Rightarrow y = \frac{{2 - {x^2}}}{x} = \frac{2}{x} - x \Rightarrow V = \frac{{4{x^2}}}{3}\sqrt {{{\left( {\frac{2}{x} - x} \right)}^2} - {x^2}} \)

\( = \frac{{4{x^2}}}{3}\sqrt {\frac{4}{{{x^2}}} - 4}  = \frac{8}{3}\sqrt {{x^2} - {x^4}} \)\(f(x) = {x^2} - {x^4},x \in (0; + \infty ) \Rightarrow {f^\prime }(x) = 2x - 4{x^3} = 2x\left( {1 - 2{x^2}} \right)\),

\({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{1}{2}} .\)

Lập bảng biến thiên hàm thể tích trên khoảng \((0; + \infty )\), ta có thể tích của khối thuỷ tinh lớn nhất khi cạnh của đáy bằng \(2\sqrt {\frac{1}{2}}  = \sqrt 2  \approx 1,41({\rm{dm}}).\)

Đáp số: 42,4.

Gắn hệ toạ độ Oxy với đơn vị của mỗi trục là dm, trục Ox trùng đường thẳng \(\Delta \), gốc toạ độ trùng đỉnh parabol (Hình bên).

Parabol có phương trình chính tắc \({{\rm{y}}^2} = 2{\rm{px}}.\)

Parabol đi qua điểm \({\rm{A}}(3;3)\) nên \({3^2} = 2\) p. 3, suy ra \(2{\rm{p}} = 3.\)

Phương trình parabol là \({y^2} = 3x.\)

Một nửa parabol phía trên trục Ox là đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = \sqrt {3{\rm{x}}} .\)

 Thể tích của vật thể bằng

\(\pi \int_0^3 {({\rm{f}}(} {\rm{x}}){)^2}{\rm{dx}} = \pi \int_0^3 3 {\rm{xdx}} = \left. {\pi \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{2}} \right|_0^3 = \frac{{27\pi }}{2}\)

Đáp số: 0,57.

Gọi A_i là biến cố lần thứ i lấy được thẻ chẵn ( \({\rm{i}} = 1,2,3\) ). Ta cần tính

\({\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right)}}\)

\({\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_1}} \right) = \frac{7}{{15}},{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = \frac{8}{{15}},{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid {{\rm{A}}_1}} \right) = \frac{6}{{14}} = \frac{3}{7},{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}\)

\({\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right) = {\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid {{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = \frac{7}{{15}} \cdot \frac{3}{7} + \frac{8}{{15}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{{15}}\)

\({\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)\)

(sử dụng tính chất \({\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)\) với \(\left. {{\rm{A}} = \overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right)\).

\({\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid {{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_1}} \right)\)

\( = \frac{8}{{13}} \cdot \frac{6}{{14}} \cdot \frac{7}{{15}}\)

\({\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2} \cdot \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)\)

\( = \frac{7}{{13}} \cdot \frac{7}{{14}} \cdot \frac{8}{{15}}.\)

\({\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right)}} = \frac{{{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right)}} = \frac{{\frac{8}{{13}} \cdot \frac{6}{{14}} \cdot \frac{7}{{15}} + \frac{7}{{13}} \cdot \frac{7}{{14}} \cdot \frac{8}{{15}}}}{{\frac{7}{{15}}}}\)

\( = \frac{{\frac{{7.8}}{{14 \cdot 15}}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{14}} \approx 0,57.\)