20 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Với hai số thực \(a,\,\,b\) không âm thì\[\sqrt {a \cdot b} \] bằng
\(ab\).
\(\sqrt a \cdot b\).
\(\sqrt a \cdot \sqrt b \).
\[a\sqrt b \].
Đáp án đúng là: C
Tính chất liên hệ giữa khai căn bậc hai và phép nhân:
Với hai số thực \(a,\,\,b\) không âm thì\[\sqrt {a \cdot b} = \sqrt a \cdot \sqrt b \].
Biểu thức \(\sqrt 3 \cdot \sqrt {16} \cdot \sqrt {14} \) bằng
\(\sqrt 3 \cdot 16 \cdot \sqrt {14} \).
\(\sqrt 3 \cdot \sqrt 4 \cdot \sqrt {14} \).
\(\sqrt {3 \cdot 16 \cdot 14} \).
\[ - \sqrt 3 \cdot 16 \cdot \sqrt {14} \].
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt 3 \cdot \sqrt {16} \cdot \sqrt {14} = \sqrt {3 \cdot 16 \cdot 14} \).
Với số thực \(a\) không âm và số thực \(b\) dương thì \[\sqrt {\frac{a}{b}} \] bằng
\(\frac{a}{b}\).
\(\frac{{\sqrt a }}{b}\).
\(\frac{a}{{\sqrt b }}\).
\(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\).
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất căn thức bậc hai của một thương:
Với số thực \(a\) không âm và số thực \(b\) dương, ta có \[\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\].
Biểu thức \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\) bằng
\[\sqrt {\frac{3}{7}} \].
\(\frac{3}{{\sqrt 7 }}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{7}\).
\(\frac{3}{7}\).
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia, ta có \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{3}{7}} \).
Biểu thức \[\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \] với \(x \ge 0\) bằng với biểu thức nào sau đây?
\( - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 2} }}\).
\(\frac{{\sqrt {x + 1} }}{{x + 2}}\).
\(\frac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 2} }}\).
\(\frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 2} }}\).
Đáp án đúng là: D
Với \(x \ge 0\), áp dụng tính chất căn bậc hai của một thương, ta có: \[\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 2} }}\].
Giá trị của biểu thức \(M = \left( {\sqrt {\frac{2}{3}} + \sqrt {\frac{{50}}{3}} - \sqrt {24} } \right) \cdot \sqrt 6 \) là
–1.
0.
1.
2.
Đáp án đúng là: B
\(M = \left( {\sqrt {\frac{2}{3}} + \sqrt {\frac{{50}}{3}} - \sqrt {24} } \right) \cdot \sqrt 6 \)
\[ = \sqrt {\frac{2}{3}} \cdot \sqrt 6 + \sqrt {\frac{{50}}{3}} \cdot \sqrt 6 - \sqrt {24} \cdot \sqrt 6 \]
\( = \sqrt {\frac{2}{3} \cdot 6} + \sqrt {\frac{{50}}{3} \cdot 6} - \sqrt {24 \cdot 6} \)
\( = \sqrt 4 + \sqrt {100} - \sqrt {144} \)
\[ = 2 + 10-12 = 0.\]
Giá trị của biểu thức \[\left( {1 + \sqrt {\frac{3}{5}} } \right)\left( {1 - \sqrt {\frac{3}{5}} } \right)\] là \(\frac{a}{b}\). Khi đó tích \(ab\) bằng
10.
15.
20.
25.
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\left( {1 + \sqrt {\frac{3}{5}} } \right)\left( {1 - \sqrt {\frac{3}{5}} } \right)\]\[ = {1^2} - {\left( {\sqrt {\frac{3}{5}} } \right)^2}\]\( = 1 - \frac{3}{5}\)\( = \frac{2}{5}\).
Suy ra \(a = 2\), \(b = 5\).
Vậy \(ab = 2.5 = 10\).
Với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\), rút gọn biểu thức \(\sqrt {12\left( {x + 2} \right)} \cdot \sqrt {\frac{1}{{6\left( {{x^2} - 4} \right)}}} \) ta được
\(\frac{{12}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\).
\(\sqrt {\frac{2}{{{x^2} - 4}}} \).
\(\frac{2}{{\sqrt {x + 2} }}\).
\(\sqrt {\frac{2}{{x - 2}}} \).
Đáp án đúng là: D
Với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\), ta có \(\sqrt {12\left( {x + 2} \right)} \cdot \sqrt {\frac{1}{{6\left( {{x^2} - 4} \right)}}} \)
\( = \sqrt {12\left( {x + 2} \right) \cdot \frac{1}{{6\left( {{x^2} - 4} \right)}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{12\left( {x + 2} \right)}}{{6\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \)\( = \sqrt {\frac{2}{{x - 2}}} \).
Với \(a > 0\), biểu thức \[\frac{{\sqrt {{a^6}} }}{{\sqrt {{a^4}} }} - \frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{\sqrt a }}\] có giá trị là
\(a\) và \( - a\).
\(a\).
0.
\( - a\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\frac{{\sqrt {{a^6}} }}{{\sqrt {{a^4}} }} - \frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{\sqrt a }}\]\( = \sqrt {\frac{{{a^6}}}{{{a^4}}}} - \sqrt {\frac{{{a^3}}}{a}} \)
\[ = \sqrt {{a^2}} - \sqrt {{a^2}} = 0.\]
Với \(a < 0\,,\,\,b > 0\), biểu thức \[ - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{{b^6}}}} \] có giá trị là
\( - {a^2}\).
\({a^2}\).
\({a^2}{b^2}\).
\( - {a^2}{b^2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[ - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{{b^6}}}} \]\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{\sqrt {9{a^2}} }}{{\sqrt {{b^6}} }}\]
\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {{b^3}} \right)}^2}} }}\]\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{\left| {3a} \right|}}{{\left| {{b^3}} \right|}}\]
\[ = - \frac{1}{3}a{b^3} \cdot \frac{{ - 3a}}{{{b^3}}}\]\( = {a^2}\).
Cho \({u_1} = \sqrt {4 - \sqrt 7 } \) và \({u_2} = \sqrt {4 + \sqrt 7 } \). Khi đó:
\({u_1} \cdot {u_2} = 9\).
\(u_1^2 + u_2^2 = 8\).
\({\left( {{u_1} - {u_2}} \right)^2} = - 10\).
\(u_1^3 + u_2^3 = 5\sqrt {14} \).
a) Sai.
Ta có: \({u_1}{u_2} = \sqrt {4 - \sqrt 7 } .\sqrt {4 + \sqrt 7 } = \sqrt {\left( {4 - \sqrt 7 } \right).\left( {4 + \sqrt 7 } \right)} = \sqrt {16 - 7} = \sqrt 9 = 3\).
b) Đúng.
\(u_1^2 + u_2^2 = {\left( {\sqrt {4 - \sqrt 7 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {4 + \sqrt 7 } } \right)^2} = 4 - \sqrt 7 + 4 + \sqrt 7 = 8\).
c) Sai.
\({\left( {{u_1} - {u_2}} \right)^2} = u_1^2 - 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 - 2.3 = 2\).
d) Đúng.
Ta có: \({\left( {{u_1} + {u_2}} \right)^2} = u_1^2 + 2{u_1}{u_2} + u_2^2 = 8 + 2.3 = 14\)
\(u_1^3 + u_2^3 = \left( {{u_1} + {u_2}} \right)\left( {u_1^2 - {u_1}{u_2} + u_2^2} \right) = \sqrt {14} .\left( {8 - 3} \right) = 5\sqrt {14} \).
Cho \({x_1} = \sqrt {3 + \sqrt 5 } \) và \({x_2} = \sqrt {3 - \sqrt 5 } \). Khi đó:
\({x_1}{x_2} = 2\).
\(x_1^2 + x_2^2 = 6\).
\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 8\).
\(x_1^3 + x_2^3 = 4\sqrt {10} \).
a) Đúng.
\[{x_1}{x_2} = \sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\].
b) Đúng.
\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 = 6.\)
c) Sai.
Ta có: \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 2{x_1}{x_2} = 6 + 2.2 = 10\).
d) Đúng.
Cách 1.\(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\)
\( = \left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)\left( {6 - 2} \right)\)
\( = 4\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)\)
\( = 4\sqrt {3 + \sqrt 5 } + 4\sqrt {3 - \sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 16\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 16\sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 2.8\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 2.8\sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 } + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt 8 .\sqrt 5 } \)
\( = \sqrt {48 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} } + \sqrt {48 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} } \)
\( = \sqrt {40 + 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8} + \sqrt {40 - 2.\sqrt 8 .\sqrt {40} + 8} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 8 + \sqrt {40} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {40} - \sqrt 8 } \right)}^2}} \)
\( = \sqrt 8 + \sqrt {40} + \sqrt {40} - \sqrt 8 \)
\( = 2\sqrt {40} \)
\( = 4\sqrt {10} \).
Cách 2. Có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 10\) nên \(\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {10} \) hay \({x_1} + {x_2} = \sqrt {10} \).
Do đó, \(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \sqrt {10} .\left( {6 - 2} \right) = 4\sqrt {10} \).
Cho \(A = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } \) và \(B = \sqrt {13 - 4\sqrt 3 } \). Không sử dụng máy tính cầm tay, khi đó:
\(A = 3 - \sqrt 5 \).
\(B = 4 - \sqrt 3 \).
\(A > 1\).
\(A < B.\)
a) Đúng.
Ta có:
\(A = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } = \sqrt {9 - 2.3.\sqrt 5 + 5} = \sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5 \).
b) Sai.
Ta có:
\(B = \sqrt {13 - 4\sqrt 3 } = \sqrt {12 - 2.2.\sqrt 3 + 1} = \sqrt {4.3 - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + {1^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2.\sqrt 3 - 1\).
c) Sai.
Ta có: \(\sqrt 5 > \sqrt 4 \) hay \(\sqrt 5 > 2\), suy ra \( - \sqrt 5 < - 2\) nên \(3 + \left( { - \sqrt 5 } \right) < 3 + \left( { - 2} \right)\) hay \(3 - \sqrt 5 < 1\).
Vậy \(A < 1.\)
d) Đúng.
Ta có: \(\sqrt 3 > 1\) nên \(2.\sqrt 3 > 2\), do đó \(2.\sqrt 3 - 1 > 2 - 1\) hay \(B > 1\).
Vì \(A < 1\) và \(B > 1\) nên \(A < 1 < B\).
Vậy \(A < B\).
Cho \(D = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } \) và \(E = \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } \). Khi đó:
\(D = \sqrt 5 + 2.\)
\(E = \sqrt 3 + \sqrt 2 \).
\(D > E.\)
Có một số nguyên nằm giữa \(D\) và \(E\).
a) Đúng.
Ta có: \(D = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 + 2.2\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 2\).
b) Sai.
Ta có: \(E = \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 + \sqrt 2 \).
c) Sai.
Ta có: \({D^2} = 9 + 4\sqrt 5 = 9 + \sqrt {16.5} = 9 + \sqrt {80} \)
\({E^2} = 11 + 6\sqrt 2 = 9 + 6\sqrt 2 + 2 = 9 + \sqrt {36.2} + 2 = 9 + \sqrt {72} + 2\).
Nhận thấy \(\sqrt {72} + 2 > \sqrt {64} + 2\) hay \(\sqrt {72} + 2 > 10\); \(\sqrt {80} < \sqrt {100} \) nên \(\sqrt {80} < 10\).
Do đó, \(9 + \sqrt {80} < 9 + \sqrt {72} + 2\) hay \({D^2} < {E^2}\).
Suy ra \(D < E.\)
d) Sai.
Ta có \(3 + \sqrt 2 > 3 + 1\) hay \(3 + \sqrt 2 > 4\); \(\sqrt 2 + 3 < 3 + 2\) hay \(\sqrt 2 + 3 < 5\).
Do đó, \(4 < D < E < 5.\)
Từ đó ta thấy không có số nguyên nào nằm giữa \(D\) và \(E\).
Cho biểu thức \[A = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2\] với \(x = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\). Đặt \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \,\,\,\left( {a > 0} \right)\). Khi đó:
\(a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } \).
\[x = 1 + \sqrt 2 \].
\[{x^2} + 2x - 1 = 0\].
\[A = 1.\]
a) Đúng.
Ta có: \(a = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \)
Suy ra \[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2}\]
\[{a^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + {\left( {\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } } \right)^2} + 2\sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } .\sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \]
\[{a^2} = 2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right).\left( {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)} \]
\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {{\left( {\sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } \right)}^2}} \]
\[{a^2} = 4 + 2\sqrt {4 - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \]
\[{a^2} = 4 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \]
\[{a^2} = 4 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \]
\[{a^2} = 4 + \sqrt 5 - 1\]
\[{a^2} = 3 + \sqrt 5 \]
\[a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } \].
b) Sai.
Ta có: \(x = \sqrt {2 + \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } + \sqrt {2 - \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\)
\[x = \sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } - 1\].
Lại có \[{\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = 3 + \sqrt 5 + 3 - \sqrt 5 - 2\sqrt {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} = 2\]
Suy ra \[\sqrt {3 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } = \sqrt 2 \]
Vậy \[x = \sqrt 2 - 1\].
c) Đúng.
Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] vào \[{x^2} + 2x - 1\] được
\[{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1 = 2 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 - 2 - 1 = 0\].
d) Đúng
Ta có: \[A = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 2\]
\[ = 2{x^3} + 4{x^2} - 2x - {x^2} - 2x + 2\]
\[ = 2x\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + 1\]
Thay \[x = \sqrt 2 - 1\] và \[{x^2} + 2x - 1 = 0\] vào \[A\], ta được:
\(A = 2.\left( {\sqrt 2 - 1} \right).0 - 0 + 1 = 1\).
Khi một quả bóng rổ được thả xuống, nó sẽ nảy trở lại, nhưng do tiêu hao năng lượng nên nó không đạt được chiều cao như lúc bắt đầu. Hệ số phục hồi của quả bóng rổ được tính theo công thức
\[{C_R} = \sqrt {\frac{h}{H}} \].
Trong đó \(H\) là độ cao mà quả bóng được thả rơi;
\(h\) là độ cao mà quả bóng bật lại.
Một quả bóng rổ rơi từ độ cao \[5,76{\rm{ m}}\]và bật lại độ cao \[3,24{\rm{ m}}.\] Hỏi hệ số phục hồi của quả bóng là bao nhiêu?
Đáp án: 0,75
Thay \[H = 5,76\,\,{\rm{m}}\] và \[h = 3,24\,\,{\rm{m,}}\] ta được:
\[{C_R} = \sqrt {\frac{h}{H}} = \sqrt {\frac{{3,24}}{{5,76}}} = \sqrt {\frac{{324}}{{576}}} = \frac{{\sqrt {324} }}{{\sqrt {576} }} = \frac{{18}}{{24}} = \frac{3}{4} = 0,75\].
Vậy hệ số phục hồi của quả bóng là \({C_R} = 0,75\).
Trong Vật lí, ta có định luật Joule – Lenz để tính nhiệt lượng toả ra ở dây dẫn khi có dòng điện chạy qua:
\[Q = {I^2}Rt\].
Trong đó: \[Q\] là nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn tính theo Jun (J);
\[I\] là cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn tính theo Ampe (A);
\[R\] là điện trở dây dẫn tính theo Ohm (Ω);
\[t\] là thời gian dòng điện chạy qua dây dẫn tính theo giây.
Một bếp điện khi hoạt động bình thường có điện trở \[R = 80\,\,\Omega .\] Biết nhiệt lượng mà dây dẫn toả ra trong 1 giây là 500 J, Cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn là bao nhiêu Ampe?
Đáp án: 2,5
Theo bài, ta có\[R = 80\,\,\Omega ,\]\[t = 1\] (s), \[Q = 500\] (J).
Áp dụng công thức \[Q = {I^2}Rt\], ta có:\[500 = {I^2} \cdot 80 \cdot 1\]
Suy ra \(80{I^2} = 500\), nên \[{I^2} = \frac{{500}}{{80}} = \frac{{25}}{4}\].
Do đó \[I = \sqrt {\frac{{25}}{4}} = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt 4 }} = \frac{5}{2} = 2,5\] (A).
Vậy cường độ dòng điện chạy trong dây dẫn là \[2,5\] Ampe.
Vận tốc m/s của một vật đang bay được cho bởi công thức
\(v = \sqrt {\frac{{2E}}{m}} \).
Trong đó \[E\] là động năng của vật (tính bằng Joule, kí hiệu là J);
\[m\] là khối lượng của vật\[\left( {{\rm{kg}}} \right)\].
Vận tốc bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng \[2,5{\rm{ kg}}\] và động năng \[281,25{\rm{ J}}\] là bao nhiêu m/s?
Đáp án: 15
Vận tốc bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng \[2,5{\rm{ kg}}\] và động năng \[281,25{\rm{ J}}\] là:
\[v = \sqrt {\frac{{2E}}{m}} = \sqrt {\frac{{2.281,25}}{{2,5}}} = \sqrt {\frac{{562,5}}{{2,5}}} = \sqrt {\frac{{5625}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {5625} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{75}}{5} = 15\,\,\left( {{\rm{m/}}\,{\rm{s}}} \right)\].
Vậy vận tốc bay của vật đó là 15 m/s.
Tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \).
Đáp án: 2
Ta có: \(A = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {15} .\sqrt {10} - \sqrt {15} .\sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\)
\( = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)
\( = 5 - 3\)
= 2.
Vậy \(A = 2\).
Cho biểu thức \(E = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \) với \(a,\,\,b > 0\). Biết rằng giá trị của biểu thức \(E\) tại \(a = 7,25;\,\,b = 3,25\)có dạng phân số tối giản \(\frac{m}{n}\) (với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}\)). Tính giá trị của biểu thức \(T = m + n\).
Đáp án: 8
Ta có: \(E = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} :\sqrt {\frac{{\sqrt b - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}} .\sqrt {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt b + 1}}.\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt b - 1}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt b + 1} \right)\left( {\sqrt b - 1} \right)}}} \)
\( = \sqrt {\frac{{a - 1}}{{b - 1}}} \).
Thay \(a = 7,25;\,\,b = 3,25\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(E\), ta có:
\(E = \sqrt {\frac{{7,25 - 1}}{{3,25 - 1}}} = \sqrt {\frac{{6,25}}{{2,25}}} = \sqrt {\frac{{625}}{{225}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{25}}{{15}}} \right)}^2}} = \frac{{25}}{{15}} = \frac{5}{3}\).
Vậy \(\frac{m}{n} = \frac{5}{3}\) hay \(m = 5;\,\,\,n = 3.\)
Vậy \(T = m + n = 5 + 3 = 8.\)
